Евклид "Начала"
книга по геометрии на тему

Эвклидовых начал восемь книг.

А именно первые шесть, одиннадцатая и двенадцатая,

содержащие в себе основания геометрия.

Перевод с греческого Ф.Петрушевского.

Книга I.

Определения.

Требования. Аксиомы или общие понятия.

Предложение I. На данной определенноя прямой составить равносторонний треугольник.

Предложение II. При данной точке положить прямую, равную данной прямой.

Предложение III. Из двух данных неравных прямых от большей отнять прямую, равную меньшей.

Предложение VI. Ежели два треугольника имеют две стороны, равные двум сторонам; и один угол, равный одному углу, а именно, кои содержатся сими равными сторонами, то и основание будут иметь равное основанию; и треугольник будет равен треугольнку; и прочие углы будут равны прочим углам, каждый каждому, кои противолежат равным сторонам.

Предложение V. Равнобедренных треугольников углы при основании взаимно равны; и если продолжить равные прямые, то и углы под основанием взаимно равны.

Предложение VI. Ежели треугольника два угла взаимно равны, то и равным углам противолежащие стороны будут взаимно равны.

Предложение VII. На той же прямой, от двух различных по ту же сторону лежащих точек, не могут быть составлены двум прямым другие две прямые, равные каждая каждой, и оканчивающиеся вместе с первыми прямыми.

Предложение VIII. Ежели два треугольника имеют две стороны равные двум сторонам, каждую каждой, и основание равное основанию, то и угол будут иметь равный углу, а именно, кои содержатся теми равными сторонами.

Предложение IX. Данный прямолинейный угол разделить пополам.

Предложение X. Данную определенную прямую разделить пополам.

предложение XI. К данной прямой от данной на ней точки провести под прямыми углами прямую линию.

Предложение XII. К данной неопределенной прямой от данной вне ее точки провести перпендикулярную прямую линию.

Предложение XIII. Как бы прямая, на прямую поставленная, углы ни делала, она сделает или два прямые, или равные двум прямым.

Предложение XIV. Ежели при какой ни есть прямой и точке на ней две прямые, не лежащие по то жу сторону, делают смежные углы равные двум прямым, то сии прямые будут взаимно впрям.

Предложение XV. Ежели две прямые взаимно пересекутся, то сделают противоположные углы взаимно равные.

Предложение XVI. Всякого треугольника ежели одна из сторон продолжена, то внешний угол больше каждого из внутренних противолежащих углов.

Предложение XVII. Всякого треугольника два угла, всячески перебранные, меньше двух прямых.

Предложение XVIII. Всякого треугольника большая сторона противолежит большему углу.

Предложение XIX. Всякого треугольника большему углу противолежит большая сторона.

Предложение XX. Всякого треугольника две стороны, всячески перебранные, больше остальной.

Предложение XXI. Ежели на одной из сторон треугольника от концов ее будут составлены внутри его две прямые, то составленные прямые будут меньше прочих двух сторон треугольника, но больший угол содержать будут.

Предложение XXII. Из трех прямых равных трем данным прямым составить треугольник. Но надлежит двум из трех прямых, всячески перебранных, быть больше остальной.

Предложение XXIII. На данной прямой и при данной на ней точке составить прямолинейный угол, равный данному прямолинейному углу.

Предложение XXIV. Ежели два треугольника имеют две стороны равные двум сторонам, каждую каждой, а угол одного больше угла другого, а именно, кои содержатся сими равными сторонами, то и основание одного будет больше основания другого.

Предложение XXV. Ежели два треугольника имеют две стороны равные двум сторонам, каждую каждой, а основание одного больше основания другого, то и угол одного будет больше основания другого, а именно, кои содержатся теми равными прямыми.

Предложение XXVI. Ежели два треугольника имеют два угла равные двум углам, каждый каждому, и одну сторону, равную одной стороне, а именно, кои прилежат равным углам, то и прочие стороны будут иметь равные прочим сторонам, каждую каждой, и остальной угол равный остальному углу.

Предложени XXVII. Ежели на две прямые падает третья прямая и делает накось лежащие углы взаимно равными, то оные прямые будут параллельны.

Предложение XXVIII. Ежели на две прямые падает третья прямая и делает внешний угол равный внутреннему противолежащему и по ту же сторону; или делает внутренние углы и по ту же сторону равные двум прямым, то оные прямые будут взаимно параллельны.

Предложение XXIX. Ежеди на параллельные прямые падает прямая, то она делает накось лежащие углы взаимно равные; и внешний угол равнай внутреннему противолежащему и по ту же сторону; и внутренние углы и по ту же сторону равные двум прямым.

Предложение XXX. Прямые параллельные к той же прямой суть и взаимно параллельны.

Предложение XXXI. Через данную точку провести прямую параллельную к данной прямой.

Предложение XXXII. Всякого треугольника ежели одна из сторон продолжена, внешний угол равен двум внутренним противолежащим. И три угла прямоугольника внутренние равны двум прямым.

Предлоение XXXIII. Прямые, соединяющие концы равных и параллельных прямых с той же стороны, суть и сами равны и параллальны.

Предложение XXXIV. Параллелограммов как противолежащие стороны, так и противолежащие углы суть взаимно равны; и поперечник делит сии фигуры пополам.

Предложение XXXV. Параллелограммы, стоящие на том же основании и между теми же параллельными, суть взаимно равны.

Предложение XXXVI.Параллелограммы, стоящие на равных основаниях и между теми же параллельными, суть взаимно равны.

Предложение XXXVII.Треугольники, стоящие на том же основании и между теми же параллельными, суть взаимно равны.

Предложение XXXVIII. Треугольники, стоящие на равнух основаниях и между теми же параллельными, суть взаимно равны.

Предложение XXXIX. Равные треугольники, стоящие на том же оснвании и по ту же сторону, суть между теми же параллельными.

Предложение XL. Равные треугольники, стоящие на равных оснваниях и по ту же сторону, суть между теми же параллельными.

Предложение XLI. Ежели параллелограмм и треугольник стоят на том же основании и между теми же параллельными, то параллелограмм будет двукратный треугольник.

Предложение XLII. Составить равный данному треугольнику параллелограмм в угле, равном данному прямолинейному углу.

Предложение XLIII. Во всяком параллелограмме дополнения параллелограммов, кои около поперечника, суть взаимно равны.

Предложение XLIV. На данной прямой поставить равный данному треугольнику параллелограмм в угле, равном данному прямолинейному углу.

Предложение XLV. составить равный данной прямолинейной фигуре параллелограмм в данном прямолинейном угле.

Предложение XLVI. Из данной прямой написать квадрат.

Предложение XLVII. В прямоугольных треугольниках квадрат из стооны, противолежащей прямому углу, равен квадратам из сторон, содержащих прямой угол.

Предложение XLVIII. Ежели треугольника квадрат одной из сторон равен квадратам из двух прочих сторон, то угол, содержимый двумя прочими сторонами треугольника, есть прямой.

Книга II.

Определения.

Предложение I. Ежели будут две прямые, и одна из них рассечена на несколько отрезков, то прямоугольник, содержимый в сих двух прямых, равен всем прямоугольникам, содержимым в нерассеченной и в каждом из отрезков рассеченной.

Предложение II. Ежели прямая линия рассечена как ни есть, то прямоугольники, содержимые в целой и в каждом из ее отрезков, равны квадрату из целой прямой.

Предложение III. Ежели прямая линия рассечена как ни есть, то прямоугольники, содержимые в целой и в одном из ее отрезков, равен прямоугольнику, содержимому в обоих отрезках, вместе с квадратом из отрезка прежде взятого.

Предложение IV. Ежели прямая линия рассечена как ни есть, то квадрат из целой равен квадратам из отрезков и вместе дважды взятому прямоугольнику, содержимому в сих отрезках.

Предложение V. Если прямая линия рассечена на равные и неравные, то прямоугольник в неравных отрезках содержимый, вместе с квадратом из прямой, которая между сечениями, равен квадрату из половины целой прямой.

Предложение VI. Ежели прямая линия рассчена пополам, и приложена к ней впрям другая какая ни есть прямая, то прямоугольник, содержимый в целой с приложенной, и в приложенной вместе с квадратом из половины целой, равен квадрату, написанному из прямой, сложенной из оной половины, и приложенной, как из оной.

Предложение VII. Ежели прямая линия рассечена как ни есть, то квадраты из целой и одного из ее отрезков, оба вместе, равны дважды взятому прямоугольнику, содержимому в целой и в сказанном отрезке, вместе с квадратом из остального отрезка.

Предложение VIII. Ежели прямая линия рассечена как ни есть, то четырежды взятый прямоугольник, содержимый в целой и в одном из ее отрезков, вместе с квадратом из остального отрезка, равен квадрату из целой и прежде сказанного отрезка, как из одной прямой.

Предложение IX. Ежели прямая линия рассечена на равные и неравные, то квадраты из неравных отрезков прямой суть двукратные квадрата из половины и квадрата из прямой между сечениями.

Предложение X. Ежели прямая линия рассечена пополам, и приложена к ней впрям другая какая ни есть прямая, то квадраты из целой с приложенной и из приложенной, оба вместе, суть двукратные квадрата из половины и еще квадрата, написанного из прямой, сдлженной из оной половины и приложенной, как из одной.

Предложение XI. Данную прямую рассечь так, чтобы прямоугольник, содержимый в целой и в одном из ее отрезков, был равен квадрату из остального отрезка.

Предложение XII. В тупоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей тупому углу, больше квадратов из сторон, содержащих тупой угол, дважды взятым прямоугольником, содержимым в одной из сторон около тупого угла, на которую продолженную падает перпендикуляр, и в прямой при тупом угле перпендикуляром вне отнимаемой.

Предложение XIII. В остроугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей острому углу, меньше квадратов из сторон, содержащих острый угол, дважды взятым прямоугольником, содержимым в одной из сторон около острого угла, на которую продолженную падает перпендикуляр, и в прямой при остром угле перпендикуляром внутрь отнимаемой.

Книга III.

Определения.

Предложение I. Данного круга найти центр.

Предложение II. Ежели на окружности круга взяты какие ни есть две точки, то прямая, протянутая через сии точки, упадет внутри круга.

Предложение III. Ежели в круге прямая какая ни есть, проходящая через центр, прямую какую ни есть, не проходящую через центр, рассекает пополам, то рассечет оную под прямыми углами, и ежели рассекает под прямыми углами, то рассечет оную и пополам.

Предложение IV. Ежели в круге две прямые взаимно пересекаются и не проходят обе через центр, то обе не пересекутся взаимно пополам.

Предложение V. Ежели два круга взаимно пересекаются, то их центр не будет тот же.

Предложение VI. Ежели два круга касаются внутри, то их центр не будет тотже.

Предложение VII. Ежели на поперечнике круга взята будет какая ни есть точка, которая не есть центр его, и от сей точки упадут в круг какие ни есть прямые, то наибольшая будет та, на коей центр, а наименьшая остальная. Из других же ближайшая к проходящей через центр всегда больше дальнейшей. И только две равные прямые от той же точки могут упасть в круг по обеим сторонам наименьшей.

Предложение VIII. Ежели вне круга взята будет какая ни есть точка, и от сей точки проведены будут к кругу прямые, одна из них через центр, а прочая какая ни есть, то из прямых, попадающих на вогнутую окружность, наибольшая есть проходящая через центр. Из других же ближайшая к проходящей через центр всегда больше дальнейшей. А из прямых, попадающих на выпуклую окружность, наименьшая есть та, которая между точкой и поперечником. Из других же ближайшая к наименьшей всегда меньше дальнейшей. И только две равные падают от точки к кругу по обеим сторонам наименьшей.

Предложение XI. Ежели внутри круга взята будет какая ни есть точка, и от сей точки в круг упадут больше нежели две равных прямых, то взятая точка есть центр круга.

Предложение X. Круг не пересекает другого в точках больше двух.

Предложение XI. Ежели два круга взаимно касаются внутри, и взяты будут их центры, то прямая, протянутая через их центры, будучи продолжена, упадет на прикосновение кругов.

Предложение XII. Ежели два круга взаимно касаются вне, то прямая, протянутая через их центры, пройдет через прикосновение.

Предложение XIII. Круг не касается к другому в точках больше одной, хотя коснется внутри, хотя вне его.

Предложение XIV. В круге равные прямые равно отстоят от центра, и которые прямые равноотстоят от центра суть взаимно равны.

Предложение XV. В круге наибольшая прямая есть поперечник, из других же ближайшая к центру всегда больше дальнейшей.

Предложение XVI. Прямая, проведенная от конца поперечника круга под прямыми к оному углами, падает вне круга. В пространстве же между прямой и окружностью не может упасть другая прямая. И угол полукружия есть больше всякого прямолинейного острого угла, а остальной меньше.

Предложение XVII. От данной точки провести прямую динию, касательную к данному кругу.

Предложение XVIII. Ежели прямая касается к кругу, и от прикосновения проведена будет прямая под прямыми углами к касательной, то на проведенной прямой будет центр круга.

Предложение XX. В круге угол при центре есть двукратный угла при окружности, когда они ту же дугу имеют основанием.

Предложение XXI. В круге в том же отрезке углы взаимно равны.

Предложение XXII. В кругах четырехугольников противолежащие углы равны двум прямым.

Предложение XXIII. На той же прямой и по ту же сторону не могут быть составлены два отрезка кругов подобные и неравные.

Предложение XXIV. На равных прямых подобные отрезки кругов взаимно равны.

Предложение XXV. Дописать круг, коего отрезок дан.

Предложение XXVI. В равных кругах равные углы стоят на равных дугах, хотя будут стоять при центрах, хотя при окружностях.

Предложение XXVII. В равных кругах на равных дугах стоящие углы взаимно равны, хотя будут стоять при центрах, хотя при окружностях.

Предложение XXVIII. В равных кругах равные прямые отнимают равные дуги, большую дугу равную большей, а меньшую — меньшей.

Предложение XXIX. В равных кругах равные дуги стягиваются равными прямыми.

Предложение XXX. Данную дугу разделить пополам.

Предложение XXXI. В круге угол в полукружии есть прямой, в отрезке же большем полукружия угол меньше прямого, а в отрезке меньшем угол больше премого.

Предложение XXXII. Ежели прямая касается к кругу, и от прикосновения проведена будет в круг какая ни есть прямая, секущая сей круг, то углы, которые она делает при касательной, будут равны углам в накосьлежащих отрезках круга.

Предложение XXXIII. На данной прямой написать отрезок круга, равный данному прямолинейному углу.

Предложение XXXIV. От данного круга отнять отрезок, вмещающий угол равный данному прямолинейному углу.

Предложение XXXV. Ежели в круге две прямые взаимно пересекутся, то прямоугольник, содержимый в отрезках одной, равен прямоугольнику, содержимому в отрезках другой.

Предложение XXXVI. Ежели вне круга взята будет какая ни есть точка, и от нее упадут на круг две прямые, из коих одна пересекает круг, а другая к нему касается, то прямоугольник, содержимый в целой и в прямой, которая вне круга между точкой и выпуклой окружностью, равен квадрату из касательной.

Предложение XXXVII. Ежели вне круга взята будет какая ни есть точка, и от нее упадут на круг две прямые, из коих одна пересекает круг, а другая к нему падает, и будет прямоугольник, содержимый в целой и в прямой, которая вне круга между точкой и выпуклой окружностью, равен квадрату из падающей, то падающая будет касаться к кругу.

Книга IV.

Определения.

Предложение I. В данном круге поместить прямую, равную данной прямой, которая не больше поперечника оного круга.

Предложение II. В данном круге вписать треугольник, равноугольный данному треугольнику.

Предложение III. Около данного круга описать треугольник, равноугольный данному треугольнику.

Предложение IV. В данном треугольнике вписать круг.

Предложение V. Около данного треугольника описать круг.

Предложение VI. В данном круге вписать квадрат.

Предложение VII. Около данного круга описать квадрат.

Предложение VIII. В данном квадрате вписать круг.

Предложение IX. Около данного квадрата описать круг.

Предложение X. Составить равнобедренный треугольник, имеющий каждый из углов при основании двукратный остального.

Предложение XI. В данном круге вписать равносторонний и равноугольный пятиугольник.

Предложение XII. Около данного круга описать равносторонний и равноугольный пятиугольник.

Предложение XIII. В данном равностороннем и равноугольном пятиугольнике вписать круг.

Предложение XIV. Около данного равностороннего и равноугольного пятиугольника описать круг.

Предложение XV. В данном круге вписать равносторонний и равноугольный шестиугольник.

Предложение XVI. В данном круге вписать равносторонний и равноугольный пятнадцатиугольник.

Книга V.

Определения.

Предложение I.Ежели будет сколько ни есть величин, кои других равномногих величин равнократны, то сколько одна из величин есть кратная одной, столько и все будут кратны всех.

Предложение II. Ежели первая величина второй и третья четвертой равнократны, и также пятая второй и шестая четвертой равнократны, то и совокуплено, первая с пятою второй, и третья с шестою четвертой, будут равнократны.

Предложение III. Ежели первая величина второй, и третья четвертой равнократны, и взяты будут первой и третьей равнократные, то равноместно,сии взятые кратные будут равнократны каждая каждой, одна второй, а другая четвертой.

Предложение IV. Ежели первая величина ко второй имеет то же отношение, что и третья к четвертой, то и равнократные первой величины и третьей, к равнократным второй величины и четвертой, по какому ни есть кратствованию, будут иметь то же отношение, взятые попеременно.

Предложение V. Ежели целая величина целой и отнятая от оной отнятой от другой суть равнократные, то и остальная остальной и целая целой будут равнократные.

Предложение VI. Ежели две величины равнократны двух величин, и отнятые некие будут равнократны их самих, то остальные будут или равные им же или равнократные им.

Предложение VII. Равные величины к той же имеют то же отношение, и та же величина к равным "имеет то же отношение".

Предложение VIII. Из неравных величин большая к той же имеет большее отношение, нежели меньшая, и та же величина к меньшей имеет большее отношение, нежели к большей.

Предложение IX. Величины, к той же величине имеющие то же отношение, взаимно равны, и к которым та же величина имеет то же отношение, и те взаимно равны.

Предложение X.Из величин к той же величине имеющих отношение, которая имеет большее отношение, та есть большая, и к которой величине та же имеет большее отношение, та етсь меньшая.

Предложение XI. Отношения, которые суть те же с тем же отношением, суть и взаимно те же.

Предложение XII. Ежели будет сколько ни есть велечин пропорциональных, то как одна предыдущая к одной последующей, так все предыдущие ко всем последующим.

Предложение XIII. Ежели первая величина ко второй имеет то же отношение, что и третья к четвертой, третья же к четвертой имеет большее отношение, нежели пятая к шестой, то и первая ко второй будет иметь большее отношение, нежели пятая к шестой.

Предложение XIV. Ежели первая величина ко второй имеет то же отношение, что и третья к четвертой, и первая больше третьей, то и вторая будет больше четвертой, и ежели равна, то равна, и ежели меньше, то меньше.

Предложение XV. Частные величины к своим равнократным имеют то же отношение, взятые попеременно.

Предложение XVI. Ежели четыре величины пропорциональны, то и переменением будут пропорциональные.

Предложение XVII. Ежели совокупленные величины пропорциональны, то и отдельные будут пропорциональны.

Предложение XVIII. Ежели отделенные величины пропорциональны, то и совокупленные будут пропорциональны.

Предложение XIX. Ежели будет как целая величина к целой, так и отнятая к отнятой, то и остальная будет к остальной как целая к целой.

Предложение XX. Ежели будут три величины и другие, им равномногие, взятые по две в том же отношении, и ежели равноместно первая больше третьей, то и четвертая будет больше шестой, и ежели равна, то равна, и ежели меньше, то меньше.

Предложение XXI. Ежели будут три величины и другие, им равномногие, взятые по две в том же отношении, пропорция же их будет обратная, и ежели равноместно первая больше третьей, то и четвертая будет больше шестой, и ежели равна, то равна, и ежели меньше, то меньше.

Предложение XXII. Ежели будет сколько ни есть величин и других, им равномногих, взятых по две в том же отношении, то и равноместно будут в том же отношении.

Предложение XXIII. Ежели будут три величины и другие, им равномногие, взятые по две в том же отношении, пропорция же их будет обратная, То и равноместно будут в том же отношении.

Предложение XXIV. Ежели первая величина ко второй имеет то же отношение, что и третья к четвертой, и также пятая ко второй имеет то же отношение, что и шестая к четвертой, то и совокупленно первая с пятой ко второй будут иметь то же отношение, что и третья с шестой к четвертой.

Предложение XXV. Ежели четыре величины пропорциональны, то наибольшая с наименьшей суть больше двух прочих.

Книга VI.

Определения.

Предложение I. Треугольники и параллелограммы, имеющие ту же высоту, суть взаимно как основания.

Предложение II. Ежели к одной из сторон треугольникапроведется какая ни есть параллельная прямая, то она рассечет прочие стороны треугольника пропорционально; и ежели стороны треугольника рассечены пропорционально, то прямая, протянутая через сечения, будет параллельна к остальной стороне треугольника.

Предложение III. Ежели треугольника угол разделится пополам, и прямая, рассекающая угол, рассечет и основание, то основания отрезки будут иметь то же отношение, что и прочие стороны треугольника, И ежели основания отрезки будут иметь то же отношение, что и прочие стороны треугольника, то прямая, от вершины к сечению протянутая, разделит угол треугоьлника пополам.

Предложение IV. Равноугольных треугольников стороны, кои около равных углов, суть пропорциональны, и равным углам противолежат сходственные стороны.

Предложение V. Ежели два треугольника имеют стороны пропорциональные, то они будут равноугольные, и будут иметь равные углы те, которым противолежат сходственные стороны.

Предложение VI. Ежели два треугольника имеют один угол равный одному углу, и около равных углов стороны пропорциональны, то треугольники будут равноугольные, и будут иметь равные углы те, которым противолежат сходственные стороны.

Предложение VII. Ежели два треугольника имеют один угол равный одному углу, и около других углов стороны пропорциональны, и ежели из остальных углов каждый меньше или не меньше прямого, то треугольники будут равноугольные, и будут иметь равные углы те, около которых стороны пропорциональны.

Предложение VIII. Ежели в прямоугольном треугльникеот прямого угла к основанию проведена перпендикулярного, то треугольники, кои при перпендикулярной, подобны суть и целому треугольнику и взаимно.

Предложение IX. От данной прямой отнять назначенную часть.

Предложение X. Данную нерассеченную прямую рассечь подобна данной рассеченной прямой.

Предложение XI. Двум данным прямым найти третью, пропорциональную.

Предложение XII. Трем данным прямым найти четвертую, пропорциональную.

Предложение XIII. Двум данным прямым найти среднюю пропорциональную.

Предложение XIV. Равных параллелограммов и имеющих один угол равный одному углу, стороны, кои около равных углов, обратно суть пропорциональные, и которых параллелограммов, имеющих один угол равный одному углуб стороны около равных углов обратно пропорциональны, те суть равные.

Предложение XV. Равных треугольников и имеющих один угол равный одному углу, стороны, кои около равных углов, обратно суть пропорциональны, и которых треугольников, имеющих один угол равный одному углу, стороны около равных углов обратно пропорциональны, те суть равные.

Предложение XVI. Ежели четыре прямые пропорциональны, то прямоугольник, содержимый в крайних, равен прямоугольнику, содержимому в средних, и ежели прямоугольник, содержимый в крайних, равен прямоугольнику, содержимому в средних, то сии четыре прямые будут пропорциональны.

Предложение XVII. Ежели три прямые пропорциональны, то прямоугольник, содержимый в крайних, равен квадрату из средней, и ежели прямоугольник, содержимый в крайних, равен квадрату из средней, то сии три прямые будут пропорциональны.

Предложение XVIII. Из данной прямой написать прямолинейную фигуру, подобную данной прямолинейной фигуре и подобно положенную.

Предложение XIX. Подобные треугольники взаимно суть в удвоенном отношении сходственных сторон.

Предложение XX. Подобные многоугольники можно разделять на подобные треугольники и сходственные с целыми многоугольниками, и многоугольник к многоугольнику имеет удвоенное отношение сходственной стороны к сходственной стороне.

Предложение XXI. Прямолинейные фигуры, подобные той же прямолинейной фигуре, суть и взаимно подобны.

Предложение XXII. Ежели четыре прямые суть пропорциональны, то и прямолинейные фигуры, и подобно из них написанные, будут пропорциональны, и ежели прямолинейные фигуры, и подобно из четырех прямых написанные суть пропорциональны, то и сами прямые будут пропорциональны.

Предложение XXIII. Равноугольные параллелограммы взаимно имеют отношение, сложенное из отношений сторон, "кои около углов".

Предложение XXIV. Во всяком параллелограмме параллелограммы, кои около поперечника, подобны суть и целому и взаимно.

Предложение XXV. Составить прямолинейную фигуру, одной данной прямолинейной фигуре подобную, и другой данной равную.

Предложение XXVI. Ежели от параллелограмма отнимается параллелограмм, подобный целому и подобно положенный, имеющий ощий с ним угол, то он будет около того же поперечника, что и целый.

Предложение XXVII. Из всех поставляемых по той же прямой параллелограммов, коих недостатки суть параллелограммы подобные написанному из половины сей прямой и подобно положенные, параллелограмм, поставленный по половине, подобный своему недостатку, суть наибольший.

Предложение XXVIII. По данной прямой поставить равный данной прямолинейной фигуре параллелограмм, имеющий недостаток подобный данному параллелограмму.

Предложение XXIX. По данной прямой поставить равный данной прямолинейной фигуре параллелограмм, имеющий избыток подобный данному параллелограмму.

Предложение XXX. Данную определенную прямую рассечь в крайнем и среднем отношении.

Предложение XXXI. В прямоугольных треугольниках фигура из стороны, противолежащей прямому углу, равна фигурам подобнам и подобно написанным из сторон, содержащих прямой угол.

Предложение XXXII. Ежели два треугольника, имеющие две стороны пропорциональные двум сторонамбудут приставлены взаимно на одном угле так, чтобы сходственные их стороны были параллельны, то остальные стороны сих треугольников будут вмрям.

Предложение XXXIII. В равных кругах углы имеют то же отношение, что и дуги, на коих они стоят, при центрах ли они будут стоять или при окружностях.

Книга X.

Предложение I. Из двух неравных излагаемых величин, ежели от большей отнято будет больше половины, и от оставшейся больше половины, и сие всегда делаемо будет, то останется напоследок некая величина, которая будет меньше излагаемой меньшей величины.

Книга XI.

Определения.

Предложение I. Прямой линии одна часть не может быть на подлежащей плоскости, а другая часть на другой плоскости.

Предложение II. Ежели две прямые взаимно пересекутся, то они суть на одной плоскости, и всякий треугольник весь на одной плоскости.

Предложение III. Ежели две плоскости пересекаются, то взаимное оных сечение есть линия прямая.

Предложение IV. Ежели прямая к двум прямым пересекающимся взаимно, будет поставлена под прямыми углами при взаимном оных сечении, то сия прямая будет под прямыми углами и к плоскости, что на тех прямых.

Предложение V. Ежели прямая к трем прямым, взаимно встречающимнся в одной точке, будет поставлена под прямыми углами, то все три оные прямые будут на одной плоскости.

Предложение VI. Ежели две прямые суть под прямыми углами к той же плоскости, то оные прямые будут взаимно параллельные.

Предложение VII. Ежели две прямые суть параллельные, и на каждой из них взяты какие ни есть точки, то прямая, протянутая через сии точки, будет на одной плоскости с параллельными.

Предложение VIII. Ежели две прямые суть параллельные и одна из них будет к плоскости под прямыми углами, то и другая будет к той же плоскости под прямыми углами.

Предложение IX. Прямые, параллельные к той же прямой, хотя и не все на одной плоскости, суть и взаимно параллельные.

Предложение X. Ежели две прямые, взаимно встречающиеся, параллельны к другим двум взаимно встречающимся, но лежащим не на той же плоскости, то сии прямые будут содержать углы равные.

Предложение XI. К данной подлежащей плоскости от данной вне ее точки провести перпендикулярную прямую линию.

Предложение XII. К данной плоскости от данной на ней точки восставить под прямими углами прямую линию.

Предложение XIII. От той же точки данной плоскости не могут быть восставлены по ту же ее сорону две прямые под прямыми к ней углами.

Предложение XIV. Плоскости, к коим та же прямая есть перпендикулярная, суть взаимно параллельны.

Предложение XV. Ежели две прямые, взаимно встречающиеся, параллельны к другим двум прямым, взаимно встречающимся, но лежащим не на той же плоскости, то и плоскости на оных будут взаимно параллельны.

Предложение XVI. Ежели две параллельные плоскости пересечены какой ни есть плоскостью, то взаимные их пересечения суть параллельны.

Предложение XVII. Ежели две прямые пересечены будут параллельными плоскостями, то они рассекутся в том же отношении.

Предложение XVIII. Ежели прямая будет под прямыми углами к какой ни есть плоскости, то всякие плоскости, проходящие через сию прямую, будут к той же плоскости под прямыми углами.

Предложение XIX. Ежели две плоскости, взаимно пересекающиеся, перпендикулярны к какой ни есть плоскости, то и взаимное оных сечение будет к той же плоскости перпендикулярно.

Предложение XX. Ежели толстый угол будет содержим тремя плоскими углами, то два из сих плоских углов, всячески перебранные, суть больше остального.

Предложение XXI. Плоские углы, содержащие всякий толстый угол, суть меньше четырех углов прямых.

Предложение XXII. Ежели будут три плоских угла, из коих два, всячески перебранные, больше остального, содержать же их будут прямые все взаимно равные, то из прямых, сопрягающих в них равные прямые, возможно будет составить треугольник.

Предложение XXIII. Из трех плоских углов составить толстый угол. Но надлежит двум из сих данных трех углов, всячески перебранным, быть больше остального, и всем трем быть меньше четырех углов прямых.

Предложение XXIV. Ежели тело содержится параллельными плоскостями, то противолежащие оного плоскости суть параллельные и равные.

Предложение XXV. Ежели параллелепипед пересечен будет плоскостью, параллельной к противолежащим плоскостям, то оный рассечется на два тела, параллелепипеды же, кои суть взаимно как основания.

Предложение XXVI. При данной прямой и при данной на ней точке составить толстый угол, равный данному толстому углу.

Предложение XXVII. Из данной прямой написать параллелепипед, подобный данному параллелепипеду и подобно положенный.

Предложение XXVIII. Ежели параллелепипед пересечен будет плоскостью через диагонали противолежащих его плоскостей, то оный будет рассечен сей поскостью пополам.

Предложение XXIX. Параллелепипеды, имеющие то же основание и ту же высоту, и коих надстоящие оканчиваются на тех же прямых, суть взаимно равные.

Предложение XXX. Параллелепипеды, имеющие то же основание и ту же высоту, и коих надстоящие оканчиваются не на тех же прямых, суть взаимно равные.

Предложение XXXI. Параллелепипеды, имеющие то же основание и ту же высоту, суть взаимно равные.

Предложение XXXII. Параллелепипеды, имеющие ту же высоту, суть взаимно как основания.

Предложение XXXIII. Подобные параллелепипеды взаимно суть в утроенном отношении сходственных сторон.

Предложение XXXIV. В равных параллелепипедах основания суть обратно пропорциональны высотам, и которых параллелепипедов основания обратно пропорциональны высотам, те суть равные.

Предложение XXXV. Ежели будут два плоские угла равные, и от вершин их восставятся ввысоту прямые, содержащие со сторонами их углы равные, каждый каждому, и ежели на сих прямых взяты будут какие ни есть точки, и от сих точек проведутся перпендикулярные прямые к плоскостям данных углов, и ежели из точек, в коих они встретят плоскости, протянуты будут прямые к вершинам данных углов, то углы, содержимые сими прямыми с прямыми восставленными от вершин углов ввысоту их плоскостей, будут взаимно равные.

Предложение XXXVI. Ежели три прямые пропорциональны, то параллелепипед из всех трех равен равносторонному параллелепипеду из средней, и равноугольному с параллелепипедом прежде скзанным.

Предложение XXXVII. Ежели четыре прямые пропорциональны, то параллелепипеды из оных, подобные и подобно написанные будут пропорциональные, и ежели параллелепипеды подобные и подобно из четырех прямых написанные, пропорциональны, то и сами прямые будут пропорциональные.

Предложение XXXVIII. Ежели плоскость плоскости перпендикулярна и из какой ни есть точки, взятой на одной из них, проведена будет прямая, перпендикулярная к другой плоскости, то сия проведенная перпендикулярная упадет на общее плоскостей сечение.

Предложение XXXIX. Ежели параллеленипеда стороны двух каких ни есть противолежащих плоскостей будут рассечены пополам, и через сечения будут проведены плоскости, то общее сечение сих плоскостей и поперечник параллелепипеда пересекутся пополам.

Предложение XL. Ежели будут две призмы равновыстоные, и основание одной — параллелограмм, а другой — треугольник, и ежели параллелограмм будет двукратный треугольник, то сии призмы будут взаимно равные.

Книга XII.

Предложение I. Подобные многоугольники в кругах суть взаимно как квадраты из поперечников.

Предложение II. Круги суть взаимно как квадраты из поперечников.

Предложение III. Всякую пирамиду, треугольное основание имеющую, можно разделять на две треугольное же основание имеющие пирамиды, кои суть взаимно равны и подобны, и еще подобны целой, и на две призмы равные, и что сии две призмы суть больше половины целой пирамиды.

Предложение IV. Ежели будут две пирамиды, имеющие ту же высоту и треугольные основания, разделена же будет каждая из них на две пирамиды, равные взаимно и подобные целой, и на две призмы равные, ежели из сих произошедших пирамид каждая будет разделена таким же образом, сие же и всегда будет делаемо, то будет как основание одной пирамиды к основанию другой, так все призмы в одной пирамиде ко всем призмам равномногим в другой пирамиде.

Предложение V. Пирамиды, имеющие треугольные основания и ту же высоту, суть взаимно как основания.

Предложение VI. Пирамиды, имеющие ту же высоту и многоугольные основания, суть взаимно как основания.

Предложение VII. Всякую призму, имеющую треугольное основание, разделять можно на три пирамиды равные взаимно, имеющие треугольные основания.

Предложение VIII. Подобные пирамиды, имеющие треугольные оснвания, суть взаимно в утроенном отношении сходственных сторон.

Предложение IX. Равных пирамид, имеющих основания треугольные, основания суть обратно пропорциональны высотам, и которых пирамид, имеющих основания треугольные, основания обратно пропорциональны высотам, те суть равные.

Предложение X. Всякий конус есть третья чать цилиндра, имеющего то же основание и равную высоту.

Предложение XI. Конусы и цилиндры, имеющие ту же высоту, суть взаимно как основания.

Предложение XII. Подобные конусы и цилиндры суть взаимно в утроенном отношении поперечников оснований.

Предложение XIII. Ежели цилиндр пересечен плоскостью, параллельной к противолежащим плоскостям, то из произошедших цилиндров будет как один к другому, так и ось первого к оси второго.

Предложение XIV. Конусы и цилиндры, имеющие равные основания, суть взаимны как высоты

Предложение XV. Равных конусов и цилиндров основания суть обратно пропорциональны высотам, и которых конусов и цилиндров основания обратно пропорциональны высотам, те суть равные.

Предложение XVI. В большем из двух кругов, находящихся около того же центра, вписать многоугольник, имеющий равные стороны и в четном числе, не прикасающийся к меньшему кругу.

Предложение XVII. В большем из двух шаров, находящихся около того же центра, вписать многогранник, поверхностью своей не прикасающийся к меньшему шару.

Предложение XVIII. Шары суть взаимно в утроенном отношении поперечников.