теорема синусов и косинусов
презентация к уроку по геометрии (9 класс) на тему

Слайд 1

Теорема косинусов. Теорема синусов. Д оклад подготовил ученик 9 «В» класса Полутов В адим

Слайд 2

Теорема косинусов. История. Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.

Слайд 3

Теорема косинусов. История. Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях математиков стран Средней Азии. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан , назвав её «теоремой Альбатегния » (по имени ал-Баттани ).

Слайд 4

Теорема косинусов. История. В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Слайд 5

Теорема косинусов Теорема: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Слайд 6

Теорема косинусов Доказательство: Пусть в треугольнике ABC AB = c, BC=a, CA=b . Докажем, например, что: Введем систему координат с началом в точке A так, как показано на рисунке. Тогда точка B имеет координаты ( c ;0), а точка C имеет координаты ( bcosA ; bsinA ) . По формуле расстояния между двумя точками получаем: BC 2 = a 2 = ( bcosA -c) 2 + b 2 sin 2 A= b 2 cos 2 A+ b 2 sin 2 A-2bccosA+c 2 =b 2 +c 2 -2bccosA Теорема доказана. Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике ABC угол A прямой, то cosA = cos90 0 = 0 и по формуле Получаем: a 2 = b 2 +c 2 , то есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Слайд 9

Теорема синусов. История. Самое древнее доказательство для теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике » написанной в XIII веке. Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере Насир ад-Дин Ат-Туси

Слайд 10

Теорема синусов Теорема: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Слайд 11

Теорема синусов Доказательство: Пусть в треугольнике ABC AB=c, BC=a, CA=b. Докажем, что По теореме о площади треугольника: S=1/2absinC, S=1/2bcsinA, S=1/2casinB Из первых двух равенств получаем: 1 /2absinC=1/2bcsinA, откуда = . Точно также из второго и третьего равенств следует: = . Итак, . Теорема доказана.

Слайд 12

Теорема синусов Замечание: Можно доказать, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Следовательно, для любого треугольника ABC со сторонами AB=c, BC=a, CA=b имеют место равенства Где R – радиус описанной окружности.

Слайд 15

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!