Основные понятия стереометрии
методическая разработка по геометрии (10 класс) по теме

План-конспект урока

Тема: «Основные понятия стереометрии»

Геометрия 10 класс: 1-2 урок, форма урока: лекция;

                              3 урок, форма урока: урок-практикум.

Составители: Т. А. Щукина, МОУ СОШ № 133

                           Н. П. Василевич, МОУ СОШ № 160

                 Л. М. Милакина, МОУ СОШ № 8

                 Т. П. Оглоблина, МОУ СОШ № 160

                 Т. М. Шохина, МОУ СОШ № 160

Омск 2009

Цель: сформировать понятие стереометрии как части предмета геометрия.

Задачи: сформировать понятие стереометрии

Изучить аксиомы стереометрии

Доказать следствия из аксиом

Применить изученную теорию при решении простейших задач.

Оборудование: интерактивная доска, презентация к 1 уроку, работа в интерактивном режиме на каждом уроке соответственно в файлах «вводная лекция по стереометрии1», «вводная лекция по стереометрии2», «вводная лекция по стереометрии3».

План-конспект:

1. Организационный момент                                                                                                  
2. Постановка цели урока, предъявление плана лекции                                                
3. Работа по первому вопросу «Предмет стереометрии и его история»                  
4. Работа по второму вопросу «Неопределяемые понятия стереометрии»            
5. Работа по третьему вопросу «Аксиомы стереометрии»                                          
6. Работа по четвертому вопросу «Следствия из аксиом»                                            
7. Математический диктант                                                                                                  
8. Взаимопроверка                                                                                                                  
9. Анализ ошибок                                                                                                                      
10. Решение задач № 3, 8, 10, 13 с комментированием, № 1, № 12, № 7                              
11. Итоги урока                                                                                                                              
12. Домашнее задание                                                                                                                

Ход урока.

1. Здравствуйте, ребята. Проверьте у себя на столах наличие тех принадлежностей, которые будут сегодня необходимы: тетрадь, учебник, ручка и чертежные инструменты.
2. Сегодня мы проведем с вами урок-лекцию. Откройте тетради, запишите число и тему урока. (демонстрируется слайд № 1):

Целью нашей лекции является знакомство со стереометрией как  одним из разделов геометрии, с понятиями и их свойствами, теоремами, которые будут изучаться в дальнейшем. Сегодня мы изучаем или вспоминаем из курса черчения, как изображаются пространственные фигуры на плоскости. Как вы уже заметили, третий вопрос нашей лекции не имеет названия, поэтому вам будет необходимо, прослушав освещение этой части лекции, дать ей заголовок.

3. Итак, перейдем к первому вопросу нашего урока, который называется «Предмет стереометрии и его история». Некоторые сообщения нам необходимо будет занести в тетрадь, какие именно, я уточню. Как вы уже знаете, школьный курс геометрии состоит из двух частей. Каких? (планиметрия и стереометрия).  Давайте вспомним, что изучает планиметрия (после ответа учащихся). Правильно, изучает свойства геометрических фигур на плоскости. (слайд 2)

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» - объемный, пространственный и «метрео» - измерять. Вы знаете, что мы живем в пространстве, которое является (каким?) трехмерным и поэтому нам нужно в нем уметь ориентироваться, понимать, как оно устроено. Стереометрия и как раз помогает это понять. (слайд 3)

Лишь профессиональные математики обращались к трудам великих ученых Архимеда, Апполония и геометров более позднего времени. Об Евклиде история сохранила мало сведений, поэтому часто возникает вопрос, а существовал ли он вообще. До нас дошел каталог греческих геометров Прокла Диадоха Византийского, жившего в V веке нашей эры – первый источник сведений о греческой геометрии. Из каталога следует, что Евклид был современником царя Птолемея I, который царствовал с 306 по 283 год до нашей эры. Евклид должен быть старше Архимеда, который ссылался на «Начала». До наших времен дошли сведения, что он преподавал в Александрии, столице Птолемея I, начинавшей превращаться в один из центров научной жизни.

В настоящее время в школе изучают лишь евклидову геометрию. Явное подтверждение этому в том, что многие геометрические термины переведены с древнегреческого языка. (слайд 4)

Это был прообраз школы, в которой основной целью являлось всестороннее развитие обучающихся. Одной из самых первых и самых известных была пифагорейская школа (VI-V  вв. до н.э.), названная в честь (кого, как вы думаете?) – Пифагора. Знаком пифагорейцев была пентаграмма. Она, то есть правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник, который можно получить из правильного выпуклого пятиугольника путем продолжения его сторон до их пересечения. Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых духов. Подтверждение этому у Гете в «Фаусте»  (слайд 5)

Мефистофель:

                        Нет, трудновато выйти мне теперь,

                        Тут кое-что мешает мне немного:

                        Волшебный знак у вашего порога.

Фауст:

                        Не пентаграмма ль этому виной?

                        Но как же, бес, пробрался ты за мной?

                        Каким путем  впросак попался?

Мефистофель:

                        Изволили ее вы плохо начертить

                        И промежуток в уголку остался,

                        Там, у дверей - и я свободно мог вскочить.

Пифагорейцы специально изучали правильные многогранники, так как считали формы этих тел присущи элементам первооснов бытия, а именно: огню – тетраэдр, земле – гексаэдр, воздуху – октаэдр, воде – икосаэдр. Названия этих многогранников тоже имеют древнегреческое происхождение и в них зашифровано число граней. Что же такое грань? В отличие от реальных предметов геометрические тела, как и всякие геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами. Мы представляем (слайд 6)

А теперь, зная, что является гранью, сделаем перевод с древнегреческого: (слайд 7 и 8)

Обратите внимание на пятый правильный многогранник – додекаэдр, форму которого, по мнению древних, имела вся вселенная. Не зря на картине Сальвадора Дали «Тайная вечеря» Христос со своими учениками изображены на фоне огромного прозрачного додекаэдра. (слайд 9)

При изучении стереометрии важное значение имеет изображение пространственных фигур на плоскости. Давайте из курса черчения вспомним, а кто забыл – на странице 169 вашего учебника прочтем, основные свойства параллельного проектирования и изображения плоских фигур. А теперь на странице 173-174 посмотрите, как изображаются пространственные фигуры. Обратите внимание на изображение видимых и невидимых линий.

Многие формы многогранников придумал не сам человек, их создала природа в виде кристаллов. Кристаллы – это природные многогранники, наверняка они известны вам из курса химии и физики. Например:

• исландский шпат имеет форму наклонного параллелепипеда
• пирит встречается в виде октаэдра, иногда куба или усеченного октаэдра

Приведите примеры вещей, встречающихся в жизни, моделями которых являются геометрические тела (капли жидкости – шар, граница шара – сфера)

4. Второй вопрос нашей лекции звучит так: «Неопределяемые понятия».

Давайте вспомним, какие неопределяемые понятия были в планиметрии? (Точка, прямая). Как мы обозначали точку? Как мы обозначали прямую?

В стереометрии остаются эти же понятия, но добавляется еще одна основная фигура – плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стены, стола и т.д. Плоскость будем обозначать греческими буквами , , , х, у или тремя заглавными буквами латинского алфавита. На рисунках плоскости мы будем изображать в виде фигуры, ограниченной двумя параллельными прямыми и двумя произвольными кривыми или произвольной области. В каждой плоскости лежат какие-то точки пространства, но не все точки лежат в одной и той же плоскости. (далее идет работа с доской в интерактивном режиме: на заранее заготовленной странице выполняется рисунок, последовательность выполнения см. в файле приложения «вводная лекция по стереометрии1», слайды 1-4, заранее готовится слайд 1, остальные показывают последовательность действий на данной странице)

5. Итак, приготовьтесь, у вас есть задание для третьего вопроса нашей лекции: вам нужно дать название этой части. Я вам дам небольшую подсказку: вспомним, как в планиметрии назывались математические высказывания, принимаемые без доказательства. (первая аксиома рассматривается с помощью интерактивного режима доски: на заранее приготовленной странице с текстом аксиомы выполняется рисунок, ее иллюстрирующий, последовательность выполнения смотри в файле «вводная лекция по стереометрии1, слайды 5-8, заранее готовятся слайды 5, 7, 8, слайд 6 показывает изменения на странице со слайдом 5)

Если взять четыре точки, то через них может не проходить ни одна плоскость. Наглядное подтверждение – стол (легче установить стол на трех ножках, чем на четырех). (слайд 10 презентации)

В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую. Это свойство используется для проверки чертежной линейки. Линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный, то он всеми своими точками примыкает к поверхности стола, если край неровный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет. Из этого свойства следует, что если прямая не лежит в плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. (слайд 11 презентации, затем слайд 12)

Примером может служить пересечение двух смежных стен.

На любой плоскости все ранее изученные аксиомы и теоремы справедливы, в том числе и признаки равенства и подобия треугольников справедливы и для треугольников, расположенных в разных плоскостях. Ну а как же называются предложения, в которых выражены основные свойства точек, прямых и плоскостей, принимающиеся без доказательства? (аксиомы). Как же называется третий пункт нашего плана? Посчитайте, сколько аксиом мы записали. Но на этом набор аксиом не ограничивается. Откройте страницу 174 вашего учебника и посмотрите, сколько приведено всего аксиом? (20). Какой признак равенства треугольников доказывается? (первый, по двум сторонам и углу между ними).

6. Работа по четвертому вопросу «Следствия из аксиом»

(теорема 1 доказывается с помощью интерактивного режима доски учителем, см. слайд 1 файла «вводная лекция по стереометрии2», сначала доказательство идет устно, единственность плоскости иллюстрируется с помощью движения, затем ластиком стираем краску с доказательства, ученики фиксируют его в тетрадях).

 (Формулировка теоремы 2 заранее учителем готовится на доске, затем в интерактивном режиме доски 1 ученик выполняет рисунок двух пересекающихся прямых и запись условия, 2 ученик чертит плоскость, записывает заключение теоремы и совмещает плоскость с пересекающимися прямыми, 3 ученик проводит доказательство, смотри файл «вводная лекция по стереометрии2», заранее готовится слайд 2, последовательность выполнения операций на странице - слайды 2-7)

Ребята, а можно ли доказать эту теорему, используя другой теоретический материал? (Можно  использовать аксиому 1). Верно, посмотрите на рисунок, дополните его и оформите доказательство.

 (для работы с теоремой 3 заранее готовятся страницы со слайдами 8, 9, 11, 12 файла «вводная лекция по стереометрии2», слайд 10 демонстрирует результат работы ученика по созданию рисунка к теореме, доказательство каждый из учеников проводит самостоятельно в два этапа, сначала существование плоскости, потом - единственность, затем свое доказательство сверяет с доказательством, выписанным на доске, при этом единственность демонстрируется с помощью движения плоскости ).

7. А теперь мы проведем небольшой математический диктант. (на доске демонстрируется задание, смотри файл «вводная лекция по стереометрии2», слайд 13, ответы для взаимопроверки на слайде 14 закрыты с помощью маркера, появляются с использованием ластика).
8. Взаимопроверка                                                                                                                  

Ключ оценки работы:

9. Анализ ошибок  
10. Решение задач № 3, 8, 10, 13 с комментированием, № 1, № 12 – с использованием ИД, № 7

Описание решения задачи № 1:      

Заранее готовятся страницы 1 и 2 файла «вводная лекция по стереометрии3», демонстрируется слайд 1, затем собирается тетраэдр из готовых граней, переходим к следующей странице с готовым чертежом к задаче, ученики фиксируют ответы на вопросы к задаче 1 в тетради, проверка осуществляется с помощью доски, растаскивая грани, дополняя недостающие имена точек, процесс смотри на слайдах 3, 4.

Описание решения задачи № 12:

Заранее готовится страница со слайдом 5, с помощью движения последовательно показываем, что через точки А, В, С проходит плоскость желтого цвета, через точки А, В, D – синего цвета, проводим прямые АВ, АС, ВС желтого цвета, группируем их и переносим на желтую плоскость, аналогично поступаем для точек A, B, D, потом совмещаем группы прямых и убеждаемся, что желтая и синяя прямые АВ совпадают, что показывает пересечение плоскостей по прямой АВ.

11. Итоги урока      

Сегодня на уроке мы с вами познакомились с новым разделом евклидовой геометрии – стереометрией, изучили три основные аксиомы, доказали три теоремы, выражающие основные свойства точек, прямых и плоскостей.

12. Домашнее задание            

Пункт 1-3, № 2, № 4, № 5, № 9.

Спасибо за урок, до свидания.

Литература:

1. Атанасян «Геометрия 10-11» М., Просвещение, 2002
2. Л. И. Груденов «Совершенствование методики работы учителя математики». М., Просвещение, 1980
3. А. П. Киселев «Элементарная геометрия». М., Просвещение, 1980
4. И. М. Смирнова «О преподавании стереометрии в гуманитарных классах». Журнал «Математика в школе» № 1, 1984