Биссектриса параллелограмма
презентация к уроку по геометрии (7 класс) по теме

Биссектрисы параллелограмма. Исследовательский проект

I. Введение.

1.1. Все ли мы узнали о четырехугольниках?

Изучая тему "Четырехугольники", мы познакомились с их различными видами, узнали свойства и признаки, научились решать задачи. Особенно богат своими удивительными свойствами квадрат. Знакомый нам с детского сада, он, оказывается, объединил в себе свойства прямоугольника, ромба, да и параллелограмма. Решая задачи, мы учились применять полученные знания. Казалось, я знаю все: задачи мне были подвластны, трудностей нет. Однако одна из задач не то, чтобы вызвала у меня затруднения, но очень меня заинтересовала.

№425 ("Геометрия 7-9" Л.С.Атанасян)

Периметр параллелограмма АВСД равен 46см, АВ=14см. какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.

1.2 Немного из истории...

Термин "ПАРАЛЛЕЛОГРАММ" греческого происхождения и был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны ещё пифагорейцам.

В "Началах" Евклида доказывается теорема о том, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба. Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь в XVII веке. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на аксиоме параллельности Евклида.

"ТРАПЕЦИЯ" - слово греческое, означавшее в древности "столик" (по-гречески "трапедзион" означает столик, обеденный столик). В "Началах" термин "трапеция" применяется не в современном, а в другом смысле: любой четырёхугольник (не параллелограмм). "Трапеция" в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посидония. Лишь в XVIII веке это слово приобретает современный смысл.

Предположение о том, что средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, было известно древним египтянам, оно содержится в папирусе- Ахмеса и фигурирует в виде инскрипции на стенах храма Эдфу в Верхнем Египте. Это предложение было также известно вавилонским землемерам, оно содержится и в трудах Герона Александрийского.

Термин "КВАДРАТ" происходит от латинского "квадратум" ("Квадрате" - сделать четырёхугольным). Первый четырёхугольник, с которым познакомилась геометрия, был квадрат.

Вычислением площадей фигур занимались ещё в древности. Ещё 4-5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. А в древнем Китае мерой площади был прямоугольник.

Древние египтяне пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника и трапеции: для трапеций сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту. Для вычисления площади четырёхугольника со сторонами а, b, с, d (рис.1)

применялась формула , т.е. умножались полусуммы противоположных сторон. Эта формула верна только для прямоугольника. С её помощью можно вычислить приближённо площадь таких четырёхугольников, у которых углы близки к прямым.

В своих "Началах" Евклид не употреблял слово "площадь", так как он под самим словом "фигура" понимал часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид не выражал результат измерения площади числом, а сравнивал площади разных фигур между собой.

Слово "РОМБ", как и параллелограмм, греческого происхождения, оно означает вращающееся тело. В "Началах" Евклида термин "ромб" встречается только один раз в определениях, свойства ромба вообще не изучаются. Ромб также имел смысл бубна, который в древности был не круглым, а четырёхугольным.

В полученных мною сведениях нигде не встретилось упоминания о биссектрисах параллелограмма.

II. Основная часть

2.1 Формулировка и доказательство свойств биссектрис параллелограмма

Я попыталась подойти к этому вопросу практически. Изображая различные параллелограммы, при помощи транспортира проводила в них биссектрисы, анализировала рисунки и пыталась сделать выводы. Так же я использовала бумажные модели параллелограммов. Проведенная работа позволила мне сформулировать и доказать свойства биссектрис параллелограмма, а так же придумать способ проведения биссектрисы параллелограмма без транспортира.

Свойства биссектрис параллелограмма.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом

Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются на большей стороне параллелограмма, если она в два раза больше меньшей стороны.

Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины большей стороны

Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины большей стороны

Биссектрисы соседних углов параллелограмма могут пересекать противоположную сторону или ее продолжение

Биссектрисы соседних углов параллелограмма равны и параллельны

Биссектрисы параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник.

Доказательства этих свойств я оформила в виде презентации, чтобы затем познакомить с ними других учащихся (Приложение. Презентация)

Изучая школьные учебники по геометрии авторов А.В. Погорелова, Л.С. Атанасяна, И.Ф. Шарыгина, я увидела, что как теоретический материал свойства биссектрис параллелограмма не встречаются, а даются как задачи на доказательство.

А это приводит к тому, что учащиеся не помнят сформулированные в них факты, так как повторяют пройденный материал по выделенным в учебнике формулировкам теорем, свойств геометрических фигур. А знание их очень полезно, так как значительно сокращает время, необходимое для решения задачи.

Формулировки некоторых из этих свойств я встретила позднее в сборниках олимпиадных задач, сборниках задач для подготовки к ЕГЭ, итоговой аттестации в 9 классе.

В книге И.Шарыгина "Математика для поступающих в ВУЗы" я познакомилась еще с одним свойством и его доказательством (стр.176):

Площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами параллелограмма, со сторонами a и b и углом ? , равна 1/2 (a-b)2sin ?.

Так же я встретилась с понятием "биссектриса внешнего угла параллелограмма" и свойства этих биссектрис. Они сформулированы в виде задач и приведены в разделе "Задачи".

III. Практическая часть.

При рассмотрении данной темы меня постоянно мучил один вопрос: почему в учебниках геометрии так мало задач на применение свойств биссектрис параллелограмма, а в сборниках для подготовки к экзаменам их довольно много? За разъяснениями я обратилась к учителю математики Никитиной Г.И.

Введение в школьный курс новой формы экзамена, в форме ЕГЭ, приводит к тому , что у учащихся должно формироваться целостное представление о математике. Применить свои знания учащимся необходимо по двум предметам: алгебре и началам анализа и геометрии. Однако при подготовке к экзамену в форме ЕГЭ очень ярко видны пробелы изучения геометрии в школе. На экзаменах по математике задачи по геометрии являются самыми трудными заданиями. Задачи по геометрии требуют применения сведений из разных разделов курса планиметрии и стереометрии. Таким образом, для их решения нужно ориентироваться во всей совокупности знаний о свойствах рассматриваемой фигуры, которые могли изучаться в разных классах основной и старшей школы. Решение задач требует комплексного применения 2 - 3 геометрических фактов , свойств из разных разделов курса.

Кроме того задания, которые используются и на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы, состоят из задач в которых ситуация применения геометрических фактов не является для учащихся привычной и отработанной в ходе обучения. Проанализировав решение задач ЕГЭ, можно сказать, что в школе очень многое изучается как бы вскользь, чуть затрагивая свойство или теорему. Анализ решений задач привел к необходимости анализа школьных учебников и по такому аспекту, как построение теоретического материала. Работая и изучая школьные учебники по геометрии авторов А.В. Погорелова, Л.С. Атанасяна, И.Ф. Шарыгина, можно сказать, что в них к теоретическим фактам (теоремам) отнесены в основном только те утверждения, которые необходимы для построения теории. При этом многие утверждения, весьма полезные для решения большого числа задач, даются как задачи на доказательство. К таким теоретическим фактам (не приведенным в учебниках) можно отнести, например, свойства биссектрисы угла параллелограмма.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны.

Так в учебнике под редакцией Л.С. Атанасяна приведена задача на выявление 1 свойства: Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.

Аналогичная задача приведена в учебнике под редакцией А.В. Погорелова.

На формулировку 2 свойства в учебнике под ред. Л.С. Атанасяна приведена задача на доказательство: в параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.

В учебнике под редакцией А.В. Погорелова не приводятся задачи на применение этого свойства.

Аналогичная ситуация складывается и при подготовке к экзамену по геометрии в новой форме в 9 классе. Задачи на применение свойств биссектрисы параллелограмма в основном предлагаются во второй части работы.

Учитывая эти слова, я сделала следующее:

составила ряд несложных заданий для устного решения, которые предложила своим одноклассникам;

самостоятельно составила тестовую работу по теме "Биссектрисы параллелограмма";

сделала подборку задач по данной теме из различных сборников для подготовки к экзаменам и сборников олимпиадных заданий;

решила самостоятельно те задачи, которые смогла, а более трудные попросила решить учеников 11 класса: им это тоже необходимо при подготовке к ЕГЭ.

Далее я провела эксперимент. Предложила ряд задач ученикам 9 класса. В основном они затруднились в решении их, так как не владели данными знаниями, а пытались каждый раз сначала доказать очевидные для меня теперь свойства. Я познакомила их с содержанием теоретической части моей работы и

несколько задач мы решили вместе. Затем я предложила им выполнить тестовую работу, которую составила сама. Результаты ее выполнения следующие:

выполнили полностью правильно - 7 чел. (63%)

сделали 8 заданий из 11 правильно - 3 чел. (27%)

сделали 5 заданий правильно - 1 чел. (9%).

Проделанная работа убедила меня в необходимости изучения данного вопроса более глубоко, чем это предложено в учебнике.

IV. Заключение.

Рассмотрение вопроса о свойствах биссектрис параллелограмма позволило мне приобрести новые знания. Я увидела необходимость этих свойств для решения большого количества задач. В своей работе я не только сама сформулировала, доказала свойства, но и попыталась применить их к решению задач. Я думаю, что на следующий год этот материал будет необходим мне при подготовке к экзамену по геометрии. Буду рада, если другие ребята воспользуются им.

Список литературы:

Атанасян Л.С. Геометрия 7-9 Учебник для общеобразоват.учреждений М..2002.

Безрукова Г.К. Геометрия. Тематические тренировочные задания ГИА 2009 М.,2009.

Глейзер Г.И. История математики в школе. М.,1983.

Денищева Л.О. ЕГЭ Универсальные материалы для подготовки учащихся М.2009.

Лысенко Ф.Ф. Математика ЕГЭ - 2009 Изд-во "Легион" 2009.

Свечников А. Путешествие в историю математики М., 1995.

Шарыгин И. Математика для поступающих в ВУЗы 1995.

Сборники олимпиадных заданий.

Приложение. Биссектрисы параллелограмма. Исследовательский проект

.