Творческая работа "Геометрия четырёхугольников"
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс) по теме

Творческая работа.

«Геометрия четырехугольников».

Кром Ирины Владимировны

2011 год

Содержание.

Введение.                                                                                        

Роль геометрии в современном мире.                                                                                        

Глава 1. Геометрия четырехугольников. Классификация основных понятий.                                                                                                                                                                                                                  

2.1. Вписанный и описанный четырехугольник.                                                                

2.2. Параллелограмм  и прямоугольник.                                                                                          

2.3. Квадрат и ромб.                                                                                                                                        

2.4. Трапеция.                                                                                              

Глава 2.Свойства четырехугольников на примере прямоугольника, квадрата, ромба.                                                                                              

Глава 3. Метод площадей. Задачи.                                                          

 Приложение по теме « Четырехугольники». Тест.                                                      

Заключение.                                                                                            

Литература.                                                                                            

Введение. Роль геометрии в современном мире.

Вопрос о том, какую роль играет математика и её изучение в формировании личности, столь же древен , как и первые теоретические попытки его осмысления.

Выдающийся швейцарский математик И.Г. Песталоцци ( 1746 – 1827) утверждал, что знание математики позволяет более правильно воспринимать окружающий мир, находить истину, избегать искажений и предрассудков, укреплять здравый смысл. Он писал, что математика является  « фундаментом, на котором строится способность правильно воспринимать действительность , и создаёт основу для развития ума и сообразительности в отношении практических вопросов». [ 16, с. 280 ]

В настоящее время повсеместное применение компьютеров, строительство модели мира раздвинули границы прикладного аспекта математической науки до грандиозных масштабов. Схематизация конкретных объектов, построение математических моделей, анализ, дедукция, выделение и поддержание уровней абстракции, прогнозирование, конструирование  алгоритмов и их критериальная оценка – всё это далеко не полный перечень необходимого современного интеллекта.

Математика – метод и язык познания окружающего мира, это наука, прерогатива и обязанность которой – развитие абстрактного и логического мышления, т.е. качеств личности, которые необходимы для освоения новых областей знаний  и облегчения адаптации к постоянно меняющимся условиям жизни.

Так , размышляя о предназначении математики, следует отменить, что в глубине души  у каждого человека живет тайная надежда понять свой внутренний мир, совершенствовать себя и тем самым, возможно повлиять на действительность , а математика дает такую возможность.

Любая наука возникла из практических потребностей людей. Следуя этим потребностям, математика претерпела разделение на две самостоятельные ветви,  которые тесно взаимосвязаны друг с другом. Это алгебра и геометрия. Остановимся на геометрии.

В повседневной жизни человеку приходилось размышлять  о форме окружающих предметов, производить вычисления, связанные с землемерием, строительным делом, с нахождением объёмов различных тел. Такими задачами в разные времена приходилось заниматься всем народам, населяющим землю, что и способствовало возникновению и накоплению геометрических знаний.

Так, имеются сведения о значительном развитие этих знаний в Египте

более чем за 2 тысячи лет до нашей эры.

Известно, что при разливе реки Нил вода смывала границы земельных участков,  принадлежащих отдельным лицам. После спада воды эти границы приходилось восстанавливать, и человеку нужны были знания по измерению земли.

Историк того времени рассказывает: « Если  Нил заливал чей – либо участок, то пострадавший обращался к царю и докладывал ему о случившимся. Тогда царь посылал землемеров ( геометров): они замеряли, на сколько уменьшился участок, и сообразно этому понижали налог».

Благодаря мореплаванию и торговле с Египтом греки не только усваивали знания египтян, но и продолжали их накапливать и обобщать. Не случайно поэтому и происхождение слова « геометрия». « Геометрия» - слово греческое, в переводе на русский язык означает « землемерие».

Греки сумели привести разрозненные геометрические сведения в систему и придать геометрии вид науки. Попытку создать такую науку уже в V веке до н. э. предпринимает греческий ученый Гиппократ, а позднее Леон, но к этому времени накопленных геометрических сведений было еще мало. Поэтому их труды хотя и были шагом вперед в создании геометрической науки, но не получили широкого распространения.

Геометрия как наука о свойствах геометрических фигур наиболее удачно была изложена греческим ученым Евклидом в III в. до н. э. В своих тринадцати книгах под общим названием « Начала» Евклид не только

систематизировал тот геометрический материал, который был известен до него, но и дополнил его собственными изысканиями и открытиями.

Главная заслуга Евклида состояла в том, что он показал способ изложения геометрического материала, которым пользуются и теперь.

Практическая деятельность людей ставила все новые и новые задачи, решение которых способствовало дальнейшему развитию и совершенствованию геометрических знаний, относящихся не только к измерению земли, но и к другим видам человеческой деятельности. И теперь геометрия обогащается новыми знаниями, необходимыми людям.

Геометрия  является очень мощным средством развития личности в самом широком диапазоне. Геометрия, на фоне дисциплин математического цикла,  выделяется свободолюбивым характером, нежеланием подчиняться стандартам, нормам, алгоритмам.

Знания – основная цель изучения геометрии. Но нужно всегда помнить,  что геометрия есть феномен общечеловеческой культуры. Человек не может развиваться культурно  и духовно, если он не изучал геометрию. Таким образом, возникновение геометрии обусловлено не только практическими потребностями человека, но и духовными.

Своеобразие геометрии заключается в неразрывной связи живого воображения со строгой логикой. Можно сказать, что геометрия в своей сути и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой. Научной и нравственной основой геометрии является принцип доказательности всех утверждений. Во всяком  подлинно геометрическом предложении, будь то аксиома, определение, теорема или задача, непременно присутствуют два элемента : наглядная картинка и строгая формулировка, строгий логический вывод.

Наглядность, воображение принадлежат  больше искусству, а строгая логика – привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картинки – геометрия соединяет в себе эти две противоположности. При ее изучении в одно целое соединяются наглядные картинки и строгие формулировки и доказательства.

Геометрия способствует формированию навыков логического мышления, развитию пространственных представлений. На первое место выдвинуто формирование логического мышления – это далеко не случайно. Возникнув из практических нужд, уже со времён Евклида геометрия изучается не для того, чтобы «измерять землю» , а ради совершенствования мышления.(Царь Птолемей, который возжелал изучать геометрию и получил от Евклида легендарную отповедь: « В геометрии нет царского пути!» - конечно  же, не собирался стать землемером.) Совершенно четко высказался на этот вопрос А.В.Погорелов: «… Главная задача преподавания геометрии в школе – научить учащегося логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать…» и, далее, «…Вряд ли найдется хотя бы один , кому не придется рассуждать, анализировать, доказывать»…

Геометрия возникла из практических задач , ее предложения выражают реальные факты и находят многочисленные применения. В конечном счете в основе всей техники так или иначе лежит геометрия, потому что она проявляется везде, где нужна малейшая точность в определении формы и размеров. И технику, и инженеру, и рабочему , и архитектору, и модельеру необходимо геометрическое воображение.

Установлено , что каждое десятое изобретение сделано с применением геометрии , за счет выбора подходящей формы, удачного размещения и т.п. А ведь изобретений миллионы.

Математика, геометрия в частности, представляет собой могущественный инструмент познания природы и создания техники.

         Школьное образование в современных условиях призвано обеспечить функциональную грамотность и социальную адаптацию обучающихся на основе приобретения ими компетентного опыта в сфере учения, познания, личностного развития, ценностных ориентаций. Это определяет направленность целей обучения на формирование компетентной личности, способной к жизнедеятельности и самоопределения в информационном обществе, ясно представляющей свои потенциальные возможности, ресурсы и способы реализации выбранного жизненного пути.

        Изучение математики направлено на реализацию целей и задач, сформированных в Государственном стандарте общего образования по математике. Целями данной работы являются систематизация сведений о четырехугольниках и их свойствах, рассмотрение решений задач, в которых раскрываются свойства данных четырехугольников, обобщение понятия площади фигур, формирование практических навыков вычисления площадей четырехугольников в ходе решения задач, так как вычисление площадей фигур является составной частью решения задач на многогранники в курсе стереометрии.

        Данная работа определяет следующие задачи:

- совершенствование, развитие, углубление знаний, умений, навыков по данной теме;

- развитие мыслительной деятельности: умение анализировать, обобщать, классифицировать;

- освоение компетенций: учебно – познавательной, коммуникативной, рефлексивной, личностного саморазвития.

       Тема « Четырехугольники», в частности  задачи  на вычисления площадей четырехугольников стали традиционными для ЕГЭ и ГИА.

Творческая работа имеет следующую структуру.

Введение дает обобщенное представление о геометрии как актуальной востребованной науке, показывает связь между математикой в целом и окружающим миром.

Классификация основных понятий представляет систематизированный материал по каждому представителю четырехугольников и их характеристики.

Свойства четырехугольников на примере прямоугольника, квадрата, ромба – это обобщение и сравнение свойств данных фигур.

Применение темы « Площади четырехугольников» к решению задач в ГИА и ЕГЭ. Это основные понятия  темы, примеры типовых задач, актуальность данного материала.    

Глава 1. Геометрия четырехугольников. Классификация основных понятий.

Представление о некоторых геометрических фигурах  складывается с первых уроков математики. Знакомство с такими фигурами ,как треугольник, прямоугольник, окружность, круг и др., умение измерять отрезки с помощью линейки с миллиметровыми делениями, измерять углы с помощью транспортира – это лишь самые первые геометрические сведения.

При изучении геометрии состоится знакомство  с новыми фигурами и  со многими важными свойствами уже известных фигур. В планиметрии рассматриваются свойства фигур на плоскости. Примерами таких фигур являются отрезки, треугольники, многоугольники.

Подробно познакомимся с одним из видов фигур – четырехугольник.

2.1. Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырех последовательно соединяющих их непересекающихся отрезков (стороны).

Вершины четырехугольника называются соседними , если они являются концами одной из его сторон. Вершины , не являющиеся соседними , называются противоположными. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины  четырехугольника, называются диагоналями.

Четырехугольник ( как и любой многоугольник) называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону.

Познакомимся с одним из свойств четырехугольника.
 Теорема. Сумма углов четырехугольника равна 360о.
Действительно, поделив четырехугольник диагональю на два треугольника, получаем, что сумма его углов равна сумме углов этих двух треугольников. Зная, что сумма углов треугольника равна 180о, получаем искомое: 2180о=360о

Встречаются вписанные и описанные четырехугольники, имеющие определённые признаки и свойства.

Вписанный четырехугольник – четырехугольник, все вершины которого принадлежат данной окружности. Окружность называют описанной. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных ко всем его сторонам – это центр окружности, описанной около четырехугольника.

Теорема. У любого четырехугольника, вписанного в окружность, суммы пар противоположных углов равны 180о.
Углы А и С оба опираются на дугу BD только с разных сторон, то есть охватывают всю окружность, а сама окружность – это дуга величиной в 360о, но мы знаем теорему, которая гласит, что величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, поэтому можем утверждать, что сумма этих углов (А и С в частности) равна 180о. Тем же способом можно доказать эту теорему и для другой пары углов.

Существует обратная теорема данной.

Теорема  . Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов  равна 180 градусам.

Четырехугольник, каждая сторона которого касается данной окружности, называется описанным . Основной его признак звучит так: если в четырехугольнике сумма двух его противоположных сторон равна сумме двух других его сторон, то в четырёхугольник можно вписать окружность.

Теорема .Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.
Для доказательства этой теоремы воспользуемся теоремой ,которая гласит: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, т.е. ВК=ВР, СР=СН, DH=DT и АТ=АК. Суммируем стороны АВ и CD: AB+CD=(AK+KB)+(DH+HC)=AT+BP+DT+CP=(AT+TD)+(BP+PC)=AD+BC, ч.т.д.

Рассмотрим пример обратной теоремы.

Теорема . В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

Доказательство: Пусть ABCD - данный четырехугольник, у него AB + CD = AD + BC. Проведем биссектрисы его углов A и D. Эти биссектрисы не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке O. Опустим из точки O на стороны AB, AD и CD перпендикуляры OK, OL и OM. Тогда OK=OL, и OL=OM, а значит, окружность с центром в точке O и радиусом OK касается сторон AB, AD и CD данного четырёхугольника. Проведём из точки B касательную к этой окружности. Пусть эта касательная пересекает прямую CD в точке P.

Тогда ABPD - описанный четырёхугольник. Следовательно, по свойству описанного четырёхугольника, AB + DP = AD + BP. Также, по условию, AB+ CD = AD + BC. Следовательно, BP + PC = BC, а значит, по неравенству треугольника, точка P лежит на отрезке BC. Следовательно, прямые BP и BC совпадают, а значит, прямая BC касается окружности с центром в точке O, то есть ABCD - описанный четырёхугольник по определению. Теорема доказана.

 В окружающей нас жизни мы часто встречаемся с предметами, имеющими форму четырехугольника: оконная рама, нагрудный значок, панели для постройки домов и другие предметы. В большом мире геометрических фигур существуют яркие представители четырехугольника : параллелограмм  и прямоугольник, ромб и квадрат, трапеция. Рассмотрим каждый четырёхугольник, познакомимся с их свойствами .

2.2.Параллелограм  и прямоугольник.

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Существуют несколько признаков параллелограмма. Перечислим их.

Четырехугольник является параллелограммом,

если противоположные стороны четырехугольника  попарно равны; если противоположные углы попарно равны; если соседние углы четырехугольника, т.е. углы прилежащие к одной стороне,

составляют 180 градусов; если диагонали четырехугольника взаимно делятся в точке пересечения пополам; если четырехугольник имеет пару равных параллельных между собой сторон.

В геометрии рассматривают частные случаи параллелограмма: прямоугольник, ромб, квадрат.

Прямоугольник -  это параллелограмм, в котором все углы прямые. Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма: в прямоугольнике противоположные стороны равны , а диагонали точкой пересечения делятся пополам. Но есть и частные свойства. Рассмотрим их.

Теорема. Диагонали прямоугольника равны.

Для доказательства достаточно рассмотреть два прямоугольных треугольника ABD  и  ABC. Они равны по двум катетам( противолежащие стороны равны) , поэтому равны их гипотенузы – диагонали AC  и BD.

Прямоугольник также имеет признаки параллелограмма, но существуют частные признаки.

Теорема. Если в четырехугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является прямоугольником.

Из равенства диагоналей следует и равенство частей, на которые они разбиваются при пересечении, т.е. точка пересечения диагоналей равноудалена от вершин четырехугольника, а следовательно около него можно описать  окружность. Зная теорему: вписанные углы  опирающиеся на диаметр, равны 90 градусов, заключаем, что все углы данного четырехугольника прямые. Из этого доказательства также вытекает следующие утверждения:

-диаметр описанной около прямоугольника окружности равен его диагонали;              

                               -вокруг любого прямоугольника можно описать

                                                     окружность.

                              -квадрат диагоналей прямоугольника равен

                                  сумме квадратов двух соседних сторон.

                                                                            d2 = a2 + b2  ;

                            -периметр прямоугольника равен удвоенной                                                          сумме соседних сторон

                                  P = 2(a + b);

-при пересечение биссектрис внутренних углов произвольного параллелограмма образуется прямоугольник.

2.3. Ромб  и  квадрат.

Ромб и квадрат – это параллелограммы. Поэтому они обладают всеми свойствами параллелограмма. Но существуют свойства, принадлежащие только этим фигурам. Рассмотрим их.

Особые свойства ромба.

Теорема. Высоты ромба равны.    BK = BF.

Теорема. В любой ромб можно вписать окружность.

                                                                      r = =  =

 Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Прямоугольник является параллелограммом, поэтому и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, т.е. ромбом. Отсюда следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. Сформулируем основные свойства квадрата.    
1.Все углы квадрата равны. 2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам. 3.Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, являются биссектрисами его углов. 4. Диагональ квадрата в корень из двух раз больше его стороны.

                                                            d = a.

                                   Вокруг любого квадрата можно описать

                                               окружность      R =   =  .

В любой квадрат можно вписать окружность  r =.

2.4. Трапеция.

                     N                

   K                                M

          Трапеция - четырехугольник, две стороны которого параллельны, а другие две не параллельны. Основаниями трапеции называют её параллельные стороны. Боковыми сторонами трапеции называют её непараллельные стороны. Параллельные стороны не могут быть равными, т.к. в противном случае мы имели бы параллелограмм. Поэтому одну из них мы назовем большим, вторую - малым основанием трапеции. Высотой трапеции можно назвать любой отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины  на соответственно противоположную сторону (для каждой вершины есть две противоположные стороны), заключенный между взятой вершиной и противоположной стороной. Но можно выделить "особый вид" высот.
Высотой основания трапеции называют отрезок прямой, перпендикулярной основаниям, заключенный между основаниями.

Средняя линия – отрезок, который соединяет середины боковых сторон.

Рассмотрим еще один пример – свойство отрезка , параллельного основаниям трапеции. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно a и  b. Через точку Е, принадлежащую стороне AB и делящую ее в отношении  m : n, проведена прямая, параллельная основаниям трапеции и пересекающая сторону  CD в точке F. Доказать, что EF =  .

Решение. Проведем через точку С прямую параллельную АВ. Пусть она пересекает EF в точке  Р, а  AD  в точке О. Треугольники  CPF  и  CQD  подобны.

                    Q                       Следовательно,  = .

                                                    Учитывая, что , CP : CQ = n : ( m +

                            + n),  PF = EF – b, QD  =a – b,                          

                                                       получим   = . Отсюда следует, что   EF = .

Глава 2.  Свойства четырёхугольников на примере прямоугольника, ромба, квадрата.

Изучив  классификацию четырехугольников и их основные свойства , можно рассмотреть дополнительный материал к школьной программе. Материал содержит следующие темы:

1. Вписанные и описанные четырехугольники.
2. Свойство четырехугольников на примере прямоугольника, квадрата и ромба.
3. Трапеция.

Настоящее занятие посвящено задачам на нахождение элементов четырехугольников и радиусов вписанной и описанной окружности. Задачи направлены на развитие геометрических  представлений , выработку умений  и навыков нахождения элементов четырехугольников.

Вспомним теоретический материал.

Вписанный четырехугольник – четырехугольник, все вершины которого принадлежат данной окружности. Окружность называют описанной. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных ко всем его сторонам – это центр окружности, описанной около четырехугольника.

Важным признаком  вписанного четырехугольника является равенство суммы противоположных углов четырёхугольника 180 0 .

Четырехугольник, каждая сторона которого касается данной окружности, называется описанным . Основной его признак звучит так: если в четырехугольнике сумма двух его противоположных сторон равна сумме двух других его сторон, то в четырёхугольник можно вписать окружность.

Суммы противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равны 180о.

Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6.

Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной .

Меньшая сторона прямоугольника равна 5. Угол между диагоналями равен 60о. Найдите радиус описанной окружности

Задача. Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Решение. Пусть в выпуклом четырехугольнике ABCD  AB + CD = BC + AD. (1)

Точка О пересечение угла биссектрисы углов А и В равно удалены от сторон

AD, AB  и  BC, поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трех сторон. Докажем , что эта окружность касается также стороны CD и ,  значит , является вписанной в четырехугольник ABCD. Предположим, что это не так. Тогда прямая CD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем касательную C1D1 ,параллельную стороне CD ( C1  и   D1  - точки пересечения касательной со сторонами   BC и AD). Так как ABC1D1 – описанный четырехугольник, то по свойству его сторон AB + C1D1 = BC1 + AD1. (2)

Но BC1 = BC – C1C, AD1 = AD –D1D, поэтому из равенства (2) получаем:

C1D1 + C1C + D1D = BC + AD – AB.

Правая часть этого равенства в силу (1) равна CD. Таким образом, приходим к равенству C1D1 + C1C + D1D = CD,т.е. в четырехугольнике C1CDD1 одна сторона равна сумме трех других сторон. Но этого не может быть, и , значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD

не может быть секущей окружности. Следовательно , окружность касается стороны CD, что и требовалось доказать.

Рассмотрим задачу. Пусть в четырёхугольнике ABCD .        (1) Проведем окружность через три вершины фигуры: A,B,D – и докажем, что она проходит через вершину С , т.е. является описанной около четырехугольника ABCD. Предположим , что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга , либо вне его. Рассмотрим первый случай. В этом случае  ( DAB + EF) ,и, следовательно,   DAB. Так как   DEF, то   ( BED + DAB) =   360.

Итак, мы получили , что . Но это противоречит условию (1), и, значит , наше предположение не верно. Следовательно , вершина С лежит на окружности,  что и требовалось доказать.

Глава 4. Свойства прямоугольника, квадрата, ромба.

Цель данного занятия – обобщение и систематизация знаний о прямоугольниках, ромбах и квадратах, их свойствах и признаках. Задачи направлены на выработку умений и на развитие геометрических представлений о фигурах данной темы, а также на развитие навыков нахождения элементов четырехугольников. Решением одной из важных задач общеобразовательной и профессиональной школы является усиление прикладной направленности обучения. В этой связи важно выработать у учащихся умение при решении конкретных вопросов ориентироваться на существенные свойства объектов и явлений. Большие возможности для формирования такого умения имеются при изучении темы «Четырёхугольники".
Предлагаемый материал представляет большие возможности для организации разных форм коллективной учебно-познавательной деятельности учащихся, закладывает фундамент для развитая умения применять геометрические знания при решении вопросов жизненно–практического и производственного характера.
В качестве ведущей идеи берем идею четкого разграничения свойств и признаков параллелограмма и его частных видов.

Прежде всего нужно добиться, чтобы учащиеся научились различать понятия "свойство фигуры" и "признак фигуры". Если дано, что фигура параллелограмм, и исходя из этой посылки доказывают некоторые соотношения между элементами рассматриваемой фигуры, то каждое из этих соотношений называется свойством фигуры, о которой речь идет в условии теоремы.

Например, теорема: "У параллелограмма противоположные стороны равны, противоположные углы равны", кратко может быть записано так:

Дано:  АВСД – параллелограмм.

Доказать:  1) АВ = СД; АД = ВС

2) А = С; В = Д

Каждое из соотношений (1), (2) заключения теоремы дает свойство параллелограмма.

В теореме же "Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм" указаны соотношения между элементами некоторого четырехугольника (АО=ОС, ВО=ОД) и доказывается, что при их выполнении четырехугольник будет принадлежать к классу параллелограммов (будет являться параллелограммом).  В этом случае условия (АО=ОС, ВО=ОД) называют признаками параллелограмма, т. к. при их выполнении мы можем смело утверждать, что четырехугольник, для которого выполняются эти условия, обязательно будет параллелограммом (теорема).

Более глубокого и осознанного усвоения понятий "свойство" и "признак" можно добиться, если связать их с понятиями "необходимое условие", "достаточное условие", "необходимое и достаточное условие".

Сообщаем школьникам, что любая теорема может быть записана в виде АВ, где А — условие теоремы (что дано), а В — заключение теоремы (что требуется доказать).

Если доказана теорема АВ, то А является достаточным для В (как только есть А, то сейчас же будет и В), а В — необходимо для А, из А неизменно (необходимо) следует В.

Ещё более убедительное обоснование того, почему условие В считается необходимым для А, можно дать, если познакомить учащихся с вопросом о видах теорем и связи между ними. Записываем схему:

(1) АВ                  ВА (2)

(3) нет А  нет В   нет В  нет А (4)

Сообщаем, что если утверждение (1) назвать прямым, то утверждение (2) будет к нему обратным, утверждение (3) — противоположным прямому, а (4)—противоположно обратному. Далее доказывается, что из справедливости утверждения (1) следует справедливость утверждения (4) [(1)(4)] и наоборот, т. е. (4)(1).

Сообщается, что если (1)(4), то утверждения называются эквивалентными. Аналогично эквивалентны утверждения (2) и (3) [(2)(3)].

Словами формулу (1)(4) можно расшифровать так: если из условия А следует (вытекает) условие В, то без В нет и А, иными словами В необходимо для А (без В не будет и А).

А далее сообщаем, что необходимое условие дает нам свойство, а если условие не только необходимо, но и достаточно, то получаем признак.

Иными словами, чтобы получить свойство В какого-нибудь объекта А, достаточно доказать теорему АВ, а чтобы убедиться, что рассматриваемое свойство В является признаком, следует ещё доказать теорему ВА (обратную).

Вместе с учащимися вспоминаем все свойства параллелограмма и составляем таблицу.

Дано: АВСД – параллелограмм

Доказать:  1) АВ || СД

2. ВС || АД
3. АВ = СД
4. ВС = АД
5. АО = ОС
6. ВО = ОД
7. А = С
8. В = Д
9. А + В = 1800
10. С + В = 1800
11. С + Д = 1800
12. А + Д = 1800

Обращаем внимание на тот факт, что каждое из условий 1–12 вытекает из того, что АВСД — параллелограмм, следовательно, каждое из них является необходимым условием того, чтобы четырехугольник АВСД был параллелограммом. Легко убедиться, что из каждого из условий 1–12 не следует, что АВСД — параллелограмм (например, если дано, что АВ II СД, что имеем трапецию, ибо ВС || АД).

Таким образом, каждое из условий 1–12, взятое в отдельности, признаком параллелограмма не является. Теперь начнём комбинировать свойства по два (Сколько таких комбинаций будет? Как сосчитать все комбинации, чтобы быть убеждённым, что ни одна не пропущена?). Убеждаемся, что некоторые из комбинаций дают признак параллелограмма. Какие из комбинаций по два дают известные уже вам признаки параллелограмма? [(1, 2), (1, 3), (2, 4), (5, 6)].

В то же время легко видеть, что не каждая из комбинаций по два дает признак параллелограмма. Например, из того что АВ II СД и ВС = АД следует, что фигура АВСД — равнобочная трапеция, а не параллелограмм.

Естественно встает вопрос, сколько же всего признаков у параллелограмма? Для ответа на этот вопрос нужно перебрать все возможные комбинации и либо доказать полученную теорему, либо привести пример, опровергающий её (контрпример). Ясно, что эта работа на уроке проделана быть не может. Она может быть дана в качестве индивидуальных заданий на дом хорошо успевающим учащимся, или еще лучше, предложена в качестве коллективной работы кружковцам. Здесь встают интересные вопросы о планировании работы, о разделении труда при решении этой проблемы, об организации самоконтроля и взаимоконтроля, о подведении окончательных итoгoв, т.e. вопросы, возникающие при организации любой трудовой деятельности.

Далее аналогичную работу можно провести по выяснению признаков прямоугольника и ромба. Но этой работе должно предшествовать уточнение определений прямоугольника и ромба. Действительно, достаточно потребовать, чтобы у параллелограмма был один прямой угол, т. к. из условия (АВСД — параллелограмм; А=900) следует, что В=900, С=900, Д=900. Для доказательства этого факта достаточно воспользоваться известными свойствами углов параллелограмма.

Аналогично, легко доказать теорему (АВСД — параллелограмм, АВ=ВС АВ=ВС=СД=АД), из которой следует, что ромбом называется параллелограмм, у которого две смежные стороны равны.

Можно не менять привычные учащимся избыточные определения, но обязательно подчеркнуть тот факт, что, чтобы убедиться, что рассматриваемый параллелограмм будет ромбом, достаточно проверить равенство двух смежных сторон, а чтобы убедиться, что он будет прямоугольником, достаточно доказать, что один из его углов прямой.

После этого отмечаем особые свойства диагоналей прямоугольника и ромба и опять ставим вопрос, будут ли эти условия не только необходимыми, но и достаточными, т. е. являются ли эти условия признаками рассматриваемых фигур. Как это проверить? Учащиеся должны сообразить, что для ответа на поставленный вопрос следует сформулировать и доказать теоремы, обратные к теоремам, выражающим свойства диагоналей прямоугольника и ромба.

Запишем одну из этих теорем.

Дано: АВСД - прямоугольник. Доказать: АС=ВД.

Обратное к этой теореме утверждение записывается так:

Дано: в четырёхугольнике АВСД  АС=ВД .

Доказать: АВСД — прямоугольник.

Легко убедиться, что это утверждение несправедливо. Приведите примеры, подтверждающие этот факт. Учащиеся могут вспомнить, что диагонали равны у равнобочной трапеции, или начертить произвольный четырехугольник с равными диагоналями. Таким образом, мы убеждаемся, что равенство диагоналей не выделяет прямоугольник из класса четырехугольников (среди четырёхугольников с равными диагоналями есть и не являющиеся прямоугольниками).

Здесь учитель знакомит учащихся с еще одним способом получения утверждений, обратных данному. Замечает, что условие прямой теоремы может быть разбито на две части.

Дано: 1) АВСД — параллелограмм.

2)А=900.

Доказать: АС = ВД.

Если теперь поменять местами заключение и вторую часть условия, то мы получим утверждение:

Дано: АВСД — параллелограмм

АС=ВД.

Доказать: А=900.

Это утверждение легко доказать.  Докажите самостоятельно.

Если учащиеся затрудняются, то можно "навести" их на мысль, обратив внимание, что А + Д = 1800 (АВСД — параллелограмм ). Что осталось теперь доказать? (А =  Д).

Аналогичную работу проводим с установлением признаков ромба, основанных на свойствах его диагоналей. Вспоминаем теорему о

свойствах диагоналей ромба.

Дано: АВСД — ромб.

Доказать: 1) ВД   АС;

2)  ВАС =   САД.

Для этой теоремы можно составить две обратные:

Теорема 1                  Теорема 2

Дано: ВД  |  АС         Дано: ВАС = САД

Доказать: АВСД — ромб.     Доказать: АВСД — ромб.

Легко показать, что каждая из этих теорем несправедлива, приведя хотя бы по одному "контрпримеру";

Интересен вопрос. А как можно видоизменить первый чертеж чтобы его можно било использовать одновременно для "опровержения" и теоремы 1 и теоремы 2 (Достаточно взять АО=ОС и тогда треугольник AВД равен  треугольнику ДВС.

Используя второй способ образования обратных теорем, с которым учащиеся ознакомлены при установлении признака прямоугольника имеем:

Прямая теорема. Дано:

АВСД –параллелограмм, АВ = ВС.

Доказать: ВД   АС

Обратная теорема:

Дано: АВСД –параллелограмм, ВД  |  АС.

Доказать: АВ=ВС

Вспоминая уточненное определение ромба, даем такую формулировку обратной теоремы: "Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб".

Схема аналитического рассуждения при отыскании доказательства этой теоремы.

АВСД – ромб

АВСД – параллелограмм                                   АВ=ВС

АВО = СВО                АОВ = СОВ

                                      ВД  |  АС

АО = ОС                 ВО – общая          АОВ = СОВ

                                                                       

АВСД – параллелограмм                                    ВД  |  АС

Аналогично формулируем второй признак ромба: "Если в параллелограмме диагональ делит угол пополам, то этот параллелограмм — ромб". Аналитическое рассуждение проводится аналогично.

Схематическая запись доказательства

АВСД — параллелограмм АД II ВС (1 = 3, 1 = 2)

2 = 3 (АВ=BС, АВСД - параллелограмм)  АВСД — ромб.

Обобщая полученные результаты, полезно обратить внимание школьников на тот факт, что равенство диагоналей не выделяет прямоугольник из множества всех четырехугольников, но выделяет его из множества параллелограммов, и предложить им самостоятельно сформулировать аналогичные утверждения (их 2!) для ромба.

Для поверки того, владеют ли учащиеся признаками параллелограмма, ставим перед ними следующую проблему:

Как сформулировать признаки прямоугольника и ромба, основанные на свойствах их диагоналей, чтобы они выделяли прямоугольник и ромб из множества всех четырехугольников? Подсказка, если ученики не справляются: условие АВСД — параллелограмм, каким требованием относительно его диагоналей можно заменить.

Получаем признаки:

1.         Если в четырехугольнике диагонали равны и точкой их пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

2.         Если в четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

3.         Признак формулируем аналогично.

Переходя к выяснению признаков квадрата, подчеркиваем, что квадрат является как частным случаем прямоугольника, так и ромба и следовательно обладает всеми свойствами прямоугольника и всеми свойствами ромба. Ставится проблема: выделить комбинации свойств диагоналей, которые выделяли квадрат из множества прямоугольников, из множества ромбов, из множества параллелограммов, из множества четырехугольников.

Если ученики осмыслили рассмотренный   материал о признаках прямоугольника и ромба, то они легко ответят на поставленные вопросы и сформулируют следующие признаки квадрата:

Квадратом является:

Прямоугольник с взаимно–перпендикулярными диагоналями,

Прямоугольник, у которого диагональ делит угол пополам.

Ромб с равными диагоналями.

Параллелограмм, у которого диагонали равны и взаимно–перпендикулярны.

Параллелограмм, у которого диагонали рваны и делят угол пополам.

Четырехугольник, у которого диагонали равны, взаимно–перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

После этого можно перейти к решению задач, требующих применения изученных признаков.

Для приведения в систему материала по теме "Параллелограмм и его виды» очень хороша задача: «Определить вид четырехугольника, который получится, если последовательно соединить отрезками прямых середины сторон произвольного четырехугольника».

После доказательства того факта, что полученный четырехугольник будет параллелограммом, ставится вопрос: «Каким должен быть исходный четырехугольник, чтобы полученный оказался прямоугольником, ромбом, квадратом?».

2. Начертим произвольный четырехугольник.
3. Найдём середины сторон и изобразим схематично на чертеже равенство отрезков.
4. Соединим последовательно полученные точки E, F, M, N.

Вопрос: какой четырехугольник получился?

У разных учащихся ответ будет различным: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Учитель обращает внимание на то, что прямоугольник, ромб, квадрат — частные виды параллелограмма, поэтому всем придется доказывать, что четырехугольник EFMN — параллелограмм.

Дано: АЕ = ЕB, BF=FC, СМ=МД, ДN=NА.

Доказать: EFMN — параллелограмм.

Проводится анализ:

Вопрос: Для того, чтобы доказать, что EFMN — параллелограмм,  что достаточно доказать?

Ответ; параллельность прямых EF и MN, а также ЕN и MF.

Вопрос: Как можно доказать? (или, если не отвечают: Используя какой признак параллельности прямых можно это доказать?).

Ответ: Первый признак параллельности прямых т.к. в других признаках участвуют углы, а в условии задачи об углах ничего не сказано.

Вопрос: В первом признаке параллельности прямых говорятся о трех прямых. Где взять третью прямую?

Ответ: Соединить точки А и С. Получим два треугольника — АВС и АДС.

Вопрос: Какое соотношение известно в этих треугольниках? Или: Чем являются ЕF и MN в АВС и АДС?

Ответ; ЕF является средней линией АВС, ибо АЕ = FВ и ВГ = FC, а MN является средней линией АДС, т.к. СМ = МД и ДN = NА.

Вопрос: Какой признак средней линии мы знаем?

Ответ:  Средняя линия параллельна основанию.

Вопрос: Какой вывод можно сделать о ЕF и MN?

Ответ: ЕF || АС и МN || АС. Значит, по первому признаку параллельности прямых следует, что ЕF || MN.

Аналогично доказывается, что ЕN || FM.

Проведем так называемый «взгляд назад» и попробуем найти другое решение, более рациональное и короткое.

Вопрос: Как еще можно доказать, что четырехугольник EFMN — параллелограмм?

Или: Каким признаком параллелограмма можно воспользоваться,  чтобы доказать, что четырехугольник EFMN — параллелограмм?

Ответ: Воспользоваться признаком параллелограмма, который заключается в том, что если в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Значит надо доказать,  что EF || MN и EF = MN.

Вопрос: Параллельность прямых EF и MN доказывается так, как это было сделано выше. Как доказать равенство ЕF и МN? или: Какое свойство средней линии мы знаем?

Ответ: Так как ЕF — средняя линия  АВС, то ЕF равна половине основания АС; MN средняя линия АДС и М равна половине основания АС. Значит ЕF = MN.

Это решение является более рациональным и коротким.

Теперь надо записать решение задачи. Для этого уже используется синтез.

АЕ = ЕВ                    ЕF || AC

BF = FC                EF = 1/2 AC        EF || MN         EFMN – парал–

СМ = МД                MN || AC                EF = MN                 лелограмм

ДN = NA                MN = 1/2 AC

В классе всегда есть ученики, которые быстро найдут решение этой задачи. Для организации индивидуальной групповой деятельности более сильным учащимся можно дать дополнительные задания:

Какой вид должен иметь исходный четырехугольник, чтобы полученный был

а) прямоугольником?

б) ромбом?

в) квадратом?

В этом случае целесообразно подойти к распределению дифференцированно: наиболее сильным предложить вариант в), средним — вариант б), остальным — а).

Предлагая учащимся задачи с избыточной и неполной информацией,  мы воспитываем в них готовность к практической деятельности. Рассматривая изящное решение той или иной математической задачи, мы способствуем эстетическому воспитанию школьников.
Опыт показывает, что успешность в реализации воспитывающих функций математических задач во многом определяется пробуждением у учащихся интереса к данной задаче, возникновением у них устойчивой потребности в
её решении, наличием интереса к самому процессу решения задач на основе последнего часто возбуждается и формируется интерес учащихся к изучению
самой математики и смежных учебных дисциплин, интерес к учению в целом.
Факторы, существенно влияющие на формирование у учащихся устойчивого
интереса к решению математических задач, весьма разнообразны.

К ним  относится доступность предложенной задачи, внешняя или
внутренняя занимательность задачи, осознанная возможность проявить при
этом творческую самостоятельность.

Глава 3. Применение темы « Площадь четырехугольника» к решению задач в ГИА и ЕГЭ.

В своей практической деятельности человек часто имеет дело с площадями. Чтобы найти , например , урожайность с 1 га, надо знать площадь и сколько всего зерна собрано с этого поля. О площади , занимаемой каким- либо государством, узнаем из курса географии. Площадь опоры и поперечного сечения узнаем, решая задачи по физике.

Изучаемые в геометрии фигуры являются отражением реальных форм предметов, с которыми мы постоянно встречаемся в жизни.

Можно сказать , что площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения. За единицу измерения площадей принимают квадрат со стороной 1 см. такой квадрат называется квадратным сантиметром – см2. Аналогично определяется квадратный метр ( м2), квадратный миллиметр ( мм2) и т.д.

Как же решаются задачи, связанные с нахождением площадей? Для решения таких задач используется метод площадей. Метод площадей имеет много разновидностей. Его применяют, например, при замене отношения отрезков, расположенных на одной прямой, отношением площадей треугольников с общей вершиной, основаниями которых являются рассматриваемые отрезки. При решение задач используют следующие свойства площадей:

1. Площадь фигуры является положительным числом.
2. Площади равных фигур равны.
3. Если фигура разделена на две части, то площадь всей фигуры равна сумме площадей образовавшихся частей.

Фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.

При решение задач методом площадей  часто используются формулы, выражающие площадь треугольника.

Обозначим, через A, B ,C  величины соответствующих углов треугольника  ABC, а через a,b,c,как обычно, длины противоположных им сторон, 2p- периметр треугольника,  r и R – соответственно радиусы вписанной  и описанной окружности.

Для площади треугольника справедливы следующие формулы:

S = ab sin C,

S = ,

S = 2R2    sin A sin B sin C,

S = pr,

S =  .

При решение задач на нахождение площадей четырёхугольников используют формулы соответствующие определенному виду четырехугольников.

Так площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту трапеции     S =  .

                          а

                                 h      

                                       b

Или, площадь равна произведению средней линии на её высоту

S = mh.

А также площадь трапеции можно найти с помощью произведения её диагоналей на синус угла между ними.

Для нахождения площади параллелограмма можно воспользоваться несколькими формулами.

1. Площадь равна произведению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону :    S = aha = bhb  ;

                      b             h

                                     a

2. Площадь равна произведению его соседних сторон на синус угла между ними :        S = ab  ;
3. Площадь равна   полупроизведению его диагоналей  на синус угла между ними:         S =  d1d2 .

Для вычисления площади прямоугольника и квадрата используются следующие формулы.

Квадрат.

- площадь равна квадрату его сторон    S = a2  .

                                                a

                          a

- площадь равна половине квадрата его диагонали  S =  d2.

Прямоугольник.

- площадь равна  произведению его сторон    S = ad;

                     a

                                                  b

- площадь равна полупроизведению квадрата диагоналей на синус угла между ними              S = d2

Ромб. Его площадь можно найти , если она равна :

- произведению стороны и высоты ромба

S = ah;

- произведению квадрата его стороны на синус угла ромба

S =  ;

-полупроизведению его диагоналей

S =  .

-удвоенному произведению стороны на радиус окружности, вписанной в ромб                     S = 2ar.

Рассмотрим опорные  задачи , решаемые методом площадей.

Пример 1.Пусть О – точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Тогда имеет место равенство   =  .

Решение. Пусть  и h2 высоты треугольников ABD и  CBD, проведенные к стороне BD. Очевидно, что  =   =  = .

                                            C

           B                            h

                     h       O

            A                                            D

Пример 2. Стороны параллелограмма 10 см и 6 см, а угол между этими сторонами 150 градусов. Найдите площадь параллелограмма.

Решение.  .

Катет АЕ  лежит против угла 30, поэтому = АВ = 3 см.

 = BC  AE = 103 = 30 см2.

Пример 3. В треугольнике  ABC   . На  сторонах AC, BC, AB  соответственно взяты точки  М, Р, К так, что четырехугольник СМРК является квадратом АС =6 см, ВС = 14 см. Найдите  сторону МС.

Решение. 1)  AC  CB =  6 ).

2)  =  AM ( 6 – X)  

3)= ( 14 –x)  x ().

4) = MC2 = X2.

5)  =  +  +

42 =  ( 6 – x) (14 – x)

2x2 + 6x – x2  + 14x – x2 = 84

6x + 14x = 84

X = 4,2.                                   Ответ: МС = 4,2 см.

Задача.

Вычислить площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, а длины их равны 8 см и 12 см.

Задача.

Найти площадь равнобокой трапеции, если меньшее основание 18 см, высота 9 см, а острый угол 45 градусов.

Задача.

Два участка земли огорожены заборами одинаковой длины. Первый прямоугольный участок имеет стороны 220 м и 160 м, а второй имеет форму квадрата. Площадь какого участка больше и на сколько?

Задача.

Полкомнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 5,5 м и 6 м, нужно покрыть паркетом прямоугольной формы. Длина каждой дощечки паркета 30 см, а ширина 5 см. Сколько потребуется таких дощечек для покрытия пола?

Дидактический материал на применение метода площадей очень разнообразен. Он направлен на развитие геометрически представлений, выработку умений и навыков нахождения площадей  в ходе решения задач. Стали традиционными для ЕГЭ и ГИА по математике задачи на вычисление площади плоской фигуры.

Задание на вычисление площади четырехугольника ( треугольника, круга) представляет собой изображение фигуры, площадь которой требуется найти, на клетчатой бумаге (сетке) со стороной клетки 1.

Площадь искомой фигуры может  быть найдена по известной формуле. Например, для параллелограмма во многих случаях достаточно провести мысленно высоту к одной из сторон. Выбирать в качестве стороны и высоты нужно те длины, которые выражаются целыми числом делений сетки. В некоторых случаях для вычисления недостающих элементов можно использовать теорему Пифагора. Ряд задач можно решить, разбив фигуру на части, вычисление площадей которых не представляет труда, или, заметив, что фигура сама является частью другой фигуры, а площадь последней можно найти почти сразу.

Задача. ЕГЭ, 2010г.

Найти площадь квадрата, изображенного на клетчатой бумаге со стороной 1 см. ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение. Площадь квадрата равна квадрату его стороны, а квадрат стороны в данном случае можно найти по теореме Пифагора, он будет равен  42 + 22, т.е.20.   Ответ: 20см2.

Задача.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см  1 см изображена трапеция (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах

Задача. ЕГЭ, ДЕМО 2012Г.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

В 2009годудля ЕГЭ по математике использовались задачи на вычисление площади  фигуры расположенной на координатной плоскости.

Задача.

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (2;7), (10;5), (10;8), (2;10)

Задача.

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (2;7), (6;6), (6;9), (2;10).

.

Задача.

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (2;7), (8;6), (8;9), (2;10).

Приложение по теме « Четырехугольники».

В процессе обучения важное место отводится организации повторения изученного материала. Необходимость повторения обусловлена задачами обучения, требующие прочного и сознательного овладения ими.

Указывая на важность процесса повторения и обобщения изученного материала, современные исследователи показали значительную роль при этом таких дидактических приемов, как сравнение, классификация, анализ, синтез, обобщение, содействующие интенсивному протеканию процесса запоминания.

Для этих целей можно использовать тесты, которые являются итоговой формой диагностики знаний учащихся при завершении каждой темы курса.

Тест по теме « Четырехугольники».

Вариант 1.

1.Параллелограмм – это четырехугольник , у которого …

а)… противоположные стороны равны;

б)… противоположные углы равны;

в)… противоположные стороны параллельны.

2. Что означает следующая формула  Р = 2( a + b)

а) периметр трапеции равен удвоенной сумме сторон,

б) периметр ромба равен сумме сторон,

в) периметр прямоугольника равен удвоенной сумме соседних сторон.

3. Вписанный четырехугольник – это…

а) …, у которого суммы пар противоположных углов равны 180 градусов;

б) …, все вершины которого  не принадлежат данной окружности;

в) …, каждая сторона которой касается данной окружности.

4.Укажите на рисунке равнобокую трапецию.

а)                                             б)                                          в)

5. Найти углы ромба , если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30градусов меньше другого.

а) 30

6. Средняя линия трапеции равна 30, а меньшее основание равно 20. Найдите большее основание трапеции.

а) 40,  б) 20,  в)  60.

7. Укажите на рисунке вписанный прямоугольник.

а)                                  б)                                    в)

8.Угол А  четырехугольника ABCD вписанного в окружность, равен 100. Найти угол  С.

а) 80. б) 70, в) 60.

9.Площадь какой фигуры вычисляется по формуле  S = a b.

а) ромб, б) квадрат, в) прямоугольник.

10. Основания трапеции равны 10  и 35 , площадь равна 225. Найти ее высоту.

а) 15, б) 5,  в) 10.

Вариант 2.

1.Ромб – это параллелограмм, у которого …

а) … противоположные углы равны,

б) … диагонали являются биссектрисами его углов,

в) … все стороны равны.

2. Что означает следующая формула    d2 = a2 + b2.

а) сумма квадратов двух сторон равна  квадрату диагонали трапеции,

б) квадрат диагоналей прямоугольника равен сумме квадратов двух соседних сторон,

в) квадрат суммы диагоналей равен квадрату высот трапеции.

3.Описанный четырехугольник – это четырехугольник …

а) …, у которого сумма противоположных углов равна 180 градусов,

б) …, у которого суммы длин противоположных сторон равны,

в) …, у которого сумма углов равна 360 градусов.

4.Укажите на рисунке прямоугольную трапецию.

а)                                   б)                                  в)

5.В ромбе ABCD биссектриса угла BAC пересекает сторону ВС и диагональ BD соответственно в точках M   и   N.Найти угол ANB, если угол АМС равен 120 .

а)120,  б)  100,  в)110.

6. В прямоугольной трапеции один из углов равен 45 ,средняя линия = 24, основания относятся как 3:5. Найти меньшую боковую сторону трапеции.

а) 18. б) 24, в) 12.

7.Укажите на рисунке описанный четырехугольник.

а)                                   б)                                в)

8.В четырехугольник  ABCD  вписана окружность .АВ  равна 11, CD = 17. Найти периметр четырехугольника.

а) 80,  б) 50, в) 56

9.Площадь какой фигуры вычисляется по следующей формуле

S =  

а) трапеция, б) квадрат, в) прямоугольник.

10.  Основания трапеции равны 10  и 35 , площадь равна 225. Найти ее высоту.

а) 15, б) 5,  в) 10.

 ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Геометрия – один из важнейших компонентов математического образования, необходимый для приобретения конкретных знаний  о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, для развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, для эстетического воспитания учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления , в формирование понятия доказательства.

Предлагаемый мной материал предназначен для развития учебно – познавательной деятельности учащихся, представляет большие возможности для организации самостоятельной деятельности. Работа содержит необходимый справочный материал и набор типовых задач для подготовке к сдачи экзаменов. Педагогам теоретические сведения данной работы  предлагаются как дополнительный дидактический материал, который может помочь учителю в организации самостоятельной работы и контроля знаний учащихся на уроках, а также совершенствованию практических навыков и умений учащихся.  

Литература.

1.Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия 10 – 11 классы. Издательство « Просвещение» - 2001 г.

2.Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., и др. Геометрия 7 -9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений. Издательство – М: Просвещение, 2009.  

3.Гусев В.А., Мордкович А.Т. Математический справочный материал. Издательство « Просвещение» - 1986 г.

4.Смирнов В.А., Смирнова И.М. Геометрия. Издательство « Просвещение» - 2001 г.

5.Роганин А.Н., Немченко К.Э., Лысикова И.В. и др. Современный справочник школьника: 5-11 классы – М.Эксмо, 2011 г.

6.Мельникова Н.Б., Лепихова Н.М., Лудина Г.Б., Захарова Г.А.Задачник- практикум.Геометрия ( к уч. Л.С.Атанасяна и др.) 7 кл. Издательство Интелект Центр,2007 г.

7.Ященко И.В., Шестаков С.А., Захаров П.И.Математика. Рабочая тетрадь для подготовки к экзамену. Издательство МЦНМО. Изд. « Экзамен», 2010 г.

8.Мищенко Т.М. Тематические тесты по геометрии 8 кл., 9 кл. – М. Экзамен, 2005 г. по подготовке обучающихся к государственной аттестации по геометрии. Саратов: ГОУ ДПО « СарИПКиПРО», 2010 г.

9.Корнеева А.О., Миронова М.Г.Методические рекомендации

Ресурсы Internet.

1.Страница кафедры математического образования СарИПКиПРО на СарВики http://wiki.sfrihkro/ru

2.Сайт УМК Смирновых по геометрии 7-11 классов http://geometry2006.narod.ru/

 3.Геометрический портал http://www.neive.by.ru/

4.Задачи по геометрии: информационно – поисковая система http://tasks.ceemat.ru/