Симметрия в нашей жизни
творческая работа учащихся по геометрии (6 класс) по теме

Омский Научный центр Сибирского отделения Российской академии наук

Омское региональное отделение Всероссийской общественной организации

«Русское географическое общество»

Детская областная общественная организация

«Научное общество учащихся «Поиск»

МБОУ «Гимназия №117»

«Симметрия в нашей жизни»

Научно-практическая работа

Секция: математика

Выполнила:

ученица 6 кл.                  Грицай Алёна Игоревна

Научный руководитель: 

учитель математики            

Петрова Валентина Александровна

                Омск – 2012

Содержание

Введение                                                                                        3

Глава 1. Понятие симметрия. Виды симметрии.                                4

Глава 2. Симметрия в окружающем мире                                                12

2.1 Симметрия в живой природе                                                12

2.2 Симметрия в неживой природе                                                15

2.3 Симметрия человека                                                        17

Глава 3. Симметрия в архитектуре                                                        19

Заключение                                                                                22

Список литературы                                                                        24

Введение

…Здесь  мало увидеть

                                                Здесь нужно всмотреться.

                                                …Здесь мало услышать,

                                                Здесь вслушаться нужно,

                                                  Чтоб в душу созвучья

                                                  Нахлынули дружно.

Н.Заболоцкий

Прекрасный мир геометрии постепенно открывает свои тайны. Ничто не ускользает от её внимательного взгляда. Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека.

Сегодня часто ведутся разговоры об эталонах красоты. Действительно, почему одни вещи мы находим красивыми, а другие нет? Почему некоторые люди кажутся нам более привлекательными, а другие менее? Как ни странно, но объяснить это можно даже с помощью математики, в частности – симметрии.

Мы редко воспринимаем математику в контексте культуры и истории, а ведь симметрия окружает нас буквально повсюду. В науках, в природе, в архитектуре, живописи и даже литературе и музыке мы можем проследить различные виды симметрии. Мне стала интересна эта тема, и я решила рассмотреть симметрию в разных областях и формах.

Гипотеза: что если существует связь между симметрией и окружающим миром, тогда симметрия тесно связана с нашей жизнью.

Цель исследования: выяснить, почему симметрия является неотъемлемой частью нашей жизни.

Для наиболее полного раскрытия цели я поставила ряд задач:

1.Выяснить, что такое симметрия, какие виды симметрии существуют.

2.Выяснить значение симметрии для окружающего мира.

3.Рассмотреть особенности симметрии в живой и неживой природе.

4.Показать использование симметрии в человеческой деятельности.

Глава 1. Понятие симметрия. Виды симметрии.                        

Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Многие народы с древних времён владели представлением о симметрии в широком смысле - как эквиваленте уравновешенности и гармонии.

По преданию термин «симметрия» придумал скульптор Пифагор Регийский, живший в городе Регул. Отклонение от симметрии он определил термином «асимметрия». О нём говорили как о первом скульпторе, в                творчестве которого была сделана попытка соблюсти ритм и соразмерность. Кроме того, Пифагор прославился реалистическим изображением человеческих жил, вен и волос.

Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что она прекрасна. Считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, они делали вывод о сферичности Земли и её движении по сфере вокруг некоего «центрального огня», где двигались также 6 известных тогда планет вместе с Луной, Солнцем, звёздами. Древнегреческий философ и математик Пифагор Самосский (VI в. до н.э.) и пифагорейцы предпочитали вместо слова «симметрия» пользоваться словом «гармония». Последователи Пифагора Самосского пытались связать симметрию с числом. Каждой вещи, учили пифагорейцы, соответствует определённое отношение чисел, которое они называли логосом. Поэтому познание вещей заключалось для них познанием логоса. Гармония является божественной и заключается в числовых отношениях.

Широко используя идею гармонии и симметрии, учёные древности любили обращаться не только к сферическим формам, но и к правильным многогранникам, для построения которых они использовали «золотое отношение». У правильных многогранников грани - правильные многоугольники одного вида, а углы между гранями равны. Древние греки установили поразительный факт: существует всего пять правильных выпуклых многогранников, названия которых связаны с числом граней, - тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр. (Приложение 1, рис.1).

Все правильные многогранники обладают и зеркальной, и поворотной симметрией. (Приложение 1, рис.2). А идея симметрии являлась отправным пунктом для учёных прошлых веков в теориях о строении материи и Вселенной. Правильные многогранники изучал и сам Пифагор Самосский (V в. до н.э.), математик, философ, религиозный авторитет, основатель одной из первых математических школ. Но впервые их подробно описал Платон, поэтому математики стали называть эти фигуры Платоновыми телами. Платон сводил гармонию к пространственной симметрии. По Платону космос сферичен, а в центре сферы расположена Земля. И пифагорейцы, и Платон полагали, что материя состоит из четырёх основных элементов - огня, земли, воздуха и воды. Согласно их теории, атомы этих элементов имели форму Платоновых тел: атомы огня - форму тетраэдра, земли - форму куба, воздуха - форму октаэдра, а атомы воды - форму икосаэдра. Додекаэдр считался местожительством богов, неким эфиром.

«Симметрия - это некая «средняя мера», - считал Аристотель. Аристотель говорил о симметрии, как о таком состоянии, которое характеризуется соотношением крайностей. Из этого высказывания следует, что Аристотель, пожалуй, был ближе всех к открытию одной из самых фундаментальных закономерностей природы - закономерности о ее двойственности. Проходя сквозь века термин «симметрия» обрастал различными толкованиями. Римский врач Гален (II в. н. э.) из Пергама под симметрией понимал покой души и уравновешенности.

Идея симметрии увлекла немецкого астронома Иоганн Кеплера. Кеплер пытался построить геометрическую модель мира. Модель Солнечной системы Кеплера была создана 400 лет назад. В сферу Сатурна он вписал куб, а в куб вписал сферу Юпитера. В сферу Юпитера он вписал тетраэдр - сферу Марса, а в сферу Марса был вписан додекаэдр, в который Кеплер вписал сферу Земли. Вычислив в соответствии со своей схемой радиусы планетных сфер, он обнаружил, что отношения этих радиусов хорошо согласуются с данными, полученными из наблюдений. Это побудило Кеплера думать, что ему удалось объяснить строение солнечной системы на основе единой геометрической схемы, использующей 6 планет и 5 Платоновых тел. Но Кеплер заблуждался: планет в Солнечной системе было не 6, а 9. отношения радиусов планетных сфер случайно совпали с отношениями в геометрической схеме. Современная наука рассматривает Вселенную с позиций единства симметрии и асимметрии.

Герман Вейль - это немецкий математик. Его деятельность приходится на первую половину XX века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким образом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно - в начале XX века. Оно достаточно сложное.

Герман Клаус Хуго Вейль родился в городе Эльмсхорне (Германия). В 1908 году окончил Геттингенский университет, в том же году защитил диссертацию и получил степень доктора философии. С 1908 до 1913 г. читал лекции в Геттингенском университете в качестве приват-доцента. С 1913 по 1930 г. - профессор Цюрихского политехнического института. В 1930 - 1933 гг. работает в Геттингенском университете. 1933 по 1955 г.г. читает лекции в Принстонском институте перспективных исследований (США). Член Национальной Академии Наук США. Автор книги «Симметрия». Герман Вейль - один из крупнейших ученых XX века, оставил глубокий след во многих разделах математики и математической физики. Вейлю, в частности, мы обязаны тем, что отдаем себе сегодня полный отчет в значении для математики и физики общего понятия симметрии. Герман Вейль сказал: "Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство ".

Что же такое симметрия? Почему симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир? Существуют, в принципе, две группы симметрий.

К первой относится симметрия положений, форм, структур. Это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией.

Вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе естественно научной картины мира: ее можно назвать физической симметрией.

В древности слово «симметрия» употреблялось в значении «гармония», «красота».

Действительно слово «симметрия» в переводе с греческого означает одинаковость в расположении частей соразмерность, пропорциональность.

Соразмерность – таково древнее значение слова «симметрия». Древние философы считали симметрию, порядок и определенность сущностью прекрасного. Архитекторы, художники, даже поэты и музыканты с древнейших времен знали симметрию. Строго симметрично строятся геометрические орнаменты; в классической архитектуре господствуют прямые линии, углы, круги, равенство колон, окон, арок, сводов.

Конечно, симметрия в искусстве не буквальная - мы не увидим на картине человека слева и точно такого же справа. Законы симметрии художественного произведения подразумевают не однообразие форм, а глубокую согласованность элементов.

Как мы знаем, слово «симметрия» означает одинаковость в расположении частей. В таком широком понимании симметрия не имеет математического содержания. Математики вкладывают в это понятие точный математический смысл, рассматривают некоторые специальные виды симметрии. В результате симметрия становится мощным средством математических исследований, помогает решать задачи.

Осевая симметрия. Самая простая из геометрических симметрий - осевая симметрия. Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (или тела) преобразуется в симметричную ей относительно некоторой оси L точку А1, при этом отрезок АА1   ^  L, называется осевой симметрией. На языке рисунков она означает, что при перегибании плоскости по некоторой прямой совмещаются либо две половинки одной фигуры, либо две различные фигуры. При этом прямая называется осью симметрии, а сами фигуры называются симметричными.

Шар обладает и центральной, и зеркальной, и осевой симметрией. Центром симметрии является центр шара, плоскость симметрии – плоскость любого большого круга, осью – любой диаметр шара. Порядок оси – любое число.

Примерами осевой симметрии являются: равнобедренный треугольник (одна ось симметрии – серединный перпендикуляр, проведенный к его основанию) и пятиконечная звезда имеющая пять осей симметрии (имеет также поворотную симметрию с углом поворота).

Центральная симметрия.   Преобразование, переводящее каждую точку А фигуры (тела) в точку А’, симметричную ей относительно центра О, называется преобразованием центральной симметрии или просто центральной симметрией.

Точка О называется центром симметрии и является неподвижной. Других неподвижных точек это преобразование не имеет. Если при образовании центральной симметрии относительно центра О фигура F преобразуется в себя, то она называется симметричной относительно центра О. При этом центр О называется центром симметрии фигуры F.

Примерами фигур, обладающих центром симметрии, являются параллелограмм, окружность.

Поворотная симметрия. Говорят, что объект обладает поворотной симметрией, если он совмещается сам с собой при повороте на угол 2/n, где n может равняться 2, 3, 4 и т.д. до бесконечности. Ось симметрии называется ось осью n-го порядка.

Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (тела) поворачивается на один и тот же угол вокруг заданного центра О, называется вращением или поворотом плоскости.  Точка О называется центром вращения, а угол  - углом вращения. Точка О является неподвижной точкой этого преобразования.

Зеркальная симметрия. Она хорошо знакома каждому из нас из повседневного наблюдения. Геометрическое определение зеркальной симметрии таково: две фигуры называются симметричными относительно плоскости.

Важно отметить, что два симметричных друг,  другу тела, вообще говоря, не могут быть «вложены друг в друга»; иначе, одно из этих тел не может занять места другого. Так, перчатка с левой руки не годится для правой руки.

Симметричные фигуры при всем их сходстве существенно отличаются друг от друга.

Симметричные предметы нельзя назвать равными в узком смысле этого слова. Их называют зеркально равными. Вообще зеркально равными телами (или фигурами) называют тела (или фигуры) в том случае, если при надлежащем их смещении они могут образовывать две половины зеркально симметричного тела (или фигуры).

Примерами фигур – зеркальных отражений одна другой – могут служить правая и левая рука человека, правый и левый винты, части архитектурных форм, некоторые природные кристаллы и орнаменты.

    Фигуры также  могут иметь одну, несколько осей симметрии, или не иметь вообще.

Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии, а равносторонний треугольник три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много – любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии (Приложение 2).

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник, клякса.

Иногда фигуры могут обладать различными типами симметрии.

Я провела эксперимент. С помощью зеркала я определила, что одни буквы имеют горизонтальную ось симметрии,  другие – вертикальную, третьи – и горизонтальную и вертикальную.

Затем я выяснила, какие буквы обладают поворотной или зеркальной симметрией, а какие нет. Для этого я отражала одну половинку буквы в зеркале. Если изображение совпадало с другой половинкой, то буква обладает зеркальной симметрией. Что касается буквы «И», то у нее есть так называемая поворотная симметрия. Если повернуть букву «И» на 180° вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой. Иными словами, буква «И» симметрична относительно поворота на 180°. Заметим, что поворотной симметрией обладает также буква «Ф».

        Глава 2. Симметрия в окружающем нас мире.

2.1 Симметрия в живой природе.

Симметрия пронизывает весь окружающий нас мир. Огромное большинство тел природы после тщательного изучения, измерения размеров и описания форм позволяет заметить определённые математические отношения. Эти отношения выражаются симметрией между частями тела и могут быть сведены к геометрической форме.  (Приложение 3).

Совершенно иной характер носит связь математики с красотой в природе, где с помощью математики красота не создается, как в технике и в искусстве, а лишь фиксируется, выражается.

В основе строения любой живой формы лежит принцип симметрии. Из прямого наблюдения мы можем вывести законы геометрии и почувствовать их несравненное совершенство.

Зубчатые ели, величавые сосны… Их даже в темноте не спутаешь. У каждого вида деревьев своя форма, своя симметрия. 

Дерево имеет вертикальную поворотную ось (ось конуса) и вертикальные плоскости симметрии.

Отметим, что вертикальная ориентация оси конуса, характеризующего симметрию дерева, определяется направлением силы тяжести.

Обратим внимание на расположение ветвей у ели. (Приложение 4). Ствол прямой, и ветки расположены равномерно относительно ствола. К вершине дерева ветви становятся короче: дерево приобретает форму конуса. (Приложение 4).

Посмотрим на листья клёна, дуба, вербы. Как они симметричны! Для листьев характерна зеркальная симметрия

Если прочертить вертикальную прямую вдоль центральной прожилки листа и поставить зеркальце вдоль прочерченной прямой, то отраженная в зеркальце половинка фигуры дополнит ее до целой (такой же, как исходная фигура). (Приложение5).

Эта же симметрия встречается и у цветов, однако у них зеркальная  симметрия чаще выступает в сочетании с поворотной симметрией.

         Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть на некоторый угол так, что каждый лепесток займёт положение соседнего, иными словами, цветок совместится сам с собой. Такой цветок обладает поворотной осью симметрии. Необходимый для совмещения угол поворота в разных случаях неодинаков. Для цветка колокольчика он равен 72о, для нарцисса – 60о. Цветок анютины глазки совместится сам с собой только при повороте на 360о. Это значит, что цветок обладает лишь осью первого порядка. (Приложение 6, рис.1)

В многообразном мире цветов встречаются поворотные оси разных порядков. Однако наиболее распространена поворотная симметрия 5-го порядка. Эта симметрия встречается у многих полевых цветов (колокольчик, незабудка, герань, гвоздика, зверобой, лапчатка), у цветов плодовых деревьев (вишня, яблоня, груша, мандарин и др.), у цветов плодово-ягодных растений (земляника, малина, калина, черёмуха, рябина, шиповник, боярышник) и др.

Центральную симметрию можно наблюдать на изображении следующих цветов: цветок одуванчика, цветок мать-и-мачехи, цветок кувшинки, сердцевина ромашки. В некоторых случаях центральной симметрией обладает и изображение всего цветка ромашки. (Приложение 6, рис.2)

         Весь же цветок обладает центральной симметрией только в случае четного количества лепестков. В случае же нечетного количества лепестков, вспомните анютины глазки, он обладает только осевой.        

Если внимательно приглядеться к стеблю растения, то окажется, что и здесь действует закон симметрии. Стебель обладает винтовой осью симметрии. У подсолнечника каждый листок появляется после поворота на 72о. Листья на стебле располагаются по спирали так, чтобы, не мешая друг другу, воспринимать солнечный свет.

Под симметрией у животных понимают соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии. 

Симметрию живого существа определяет направление его движения. Для живых существ, для которых ведущим направлением является направление движения “вперед”, наиболее характерна осевая симметрия. Так как в этом направлении животные устремляются за пищей и в этом же спасаются от преследователей. А нарушение симметрии привело бы к торможению одной из сторон и превращению поступательного движения в круговое. Центральная симметрия чаще встречается в форме животных, обитающих под водой.

Поворотная симметрия имеет место у радиолярий и солнечников, тела которых сферической формы, а части распределены вокруг центра сферы и отходят от неё. У таких организмов нет ни передней, ни задней, ни боковых частей тела, любая плоскость, проведённая через центр, делит животное на одинаковые половинки.

Однако в отличие от мира растений поворотная симметрия в животном мире наблюдается редко. Симметрия у живых организмов (поворотная симметрия) служит не только для красоты; она, прежде всего, связана с приспособлением их к окружающему миру, с их жизнестойкостью. Одним из наиболее ярких примеров данного явления может служить морская звезда с поворотной симметрией пятого порядка (Приложение 7). Этот тип симметрии наиболее распространен в живой природе. Симметрию пятого порядка называют симметрией жизни, так как это механизм против окаменения и сохранения живой индивидуальности.

Для насекомых, рыб, птиц, животных характерно несовместимое с поворотной симметрией различие между направлениями «вперед» и «назад».

 Зеркальная симметрия – характерная симметрия всех представителей животного мира.

Все – и дети, и взрослые – удивляются, разглядывая бабочек. Какие лаборатории есть у Природы, что она творит такие чудеса?! Если бабочка сложит свои крылья, то они совпадут, так как крылышки у неё одинаковые. Но одинаковость эта не простая! Если на тельце бабочки провести вертикальную среднюю линию и поставить вдоль этой прямой линии зеркало. То одна половинка бабочки спрячется за зеркало. Но зато другая - отразится в зеркале и перед нами опять появится такая же бабочка. Половинка бабочки и её отражение в зеркале составили целую бабочку. Поэтому говорят, что бабочка зеркально симметрична. (Приложение 8)

Симметрия левого и правого крыла проявляются здесь с почти математической строгостью.

Можно сказать, что каждое животное (а также насекомое, рыба, птица) состоит из двух энантиоморфов – правой и левой половин. Энантиоморфами являются также парные детали, одна из которых попадает в правую, а другая в левую половину тела животного. Так, энантиоморфами являются правое и левое ухо, правый и левый глаз, правый и левый рог и т. д.

При зеркальной симметрии осей симметрии три, но симметричных сторон только одна пара. Потому что две другие стороны - брюшная и спинная - друг на друга не похожи. Этот вид симметрии характерен для большинства животных, в том числе насекомых, рыб, земноводных, рептилий, птиц, млекопитающих. 

2.2. Симметрия в неживой природе.

Говоря о симметрии в неживой природе, возникает мнение, что симметрия в неживой природе – нечастый гость. (Приложение 9). Например, нагромождение камней, неправильная линия холмов на горизонте. И в тоже время есть точка зрения, что симметрия и строгая точность холодна и враждебна живому. Примером может быть безжизненный замок снежной королевы из сказки Андерсена, который изображён как симметричное сооружение, сверкающее зеркальными гранями правильных форм. Кто-то видит в неживой природе беспорядок и нагромождение. Это заблуждение. Конечно груда камней это беспорядок, но каждый камень состоит из кристаллов. А кристаллы вносят в мир неживой природы очарование симметрии. Вспомним снежинки. Это маленькие кристаллы замёрзшей воды. Каждая снежинка - это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией - поворотной симметрией 6-го порядка и, кроме того, зеркальной симметрией. Характерная особенность того или иного вещества состоит в постоянстве углов между соответственными гранями и ребрами для всех образов кристаллов одного и того же вещества.

Что же касается формы граней, числа граней и ребер и величины снежинок, то они могут значительно отличаться друг от друга, в зависимости от высоты, с которой они падают. (Приложение 10, рис. 1).

Вспомним отрывок из сказки Г.Х.Андерсена «Снежная королева»:

«Каждая снежинка казалась под стеклом куда больше, чем была на самом деле, и походила на роскошный цветок или десятиугольную звезду.

Чудо что такое!

- Видишь, как искусно сделано!- сказал Кай.- Это куда интереснее настоящих цветов! И какая точность! Ни единой неправильной линии!»

Андерсен, конечно, был прав, сравнив снежинку с роскошным цветком и отметив «правильность» и точность ее линий. Но ошибся, сказав, что она похожа на десятиугольную звезду. Снежинка представляет собой ледяной кристалл в форме шестилучевой звездочки. Ее совершенный внешний вид подчинен строгим законам симметрии и является следствием внутреннего строения. В данном случае мы имеем дело с поворотной симметрией шестого порядка (достаточно распространенной и среди цветов).

Тысячи разнообразных форм снежинок объединены законом поворотной симметрии 6-го порядка. Иоганн Кеплер посвятил снежинкам трактат «О шестиугольных снежинках». Он Иоганн Кеплер объяснил, почему снежинки всегда имеют правильную шестиугольную форму. Оказывается, любая снежинка развивается из обладающего поворотной симметрией зародыша. Падая в атмосфере, он увеличивается в размерах, стремясь при этом сохранить первичную структуру. Непрерывно изменяющиеся условия роста (ветер, температура, влажность) позволяют каждой снежинке сохранить индивидуальность; в то же время из-за малых размеров зародыша эти условия остаются одинаковыми со всех шести сторон, способствуя сохранению ее симметрии.

Рассматривая различные снежинки, можно увидеть, что все они разные по форме, но любая из них представляет симметричное тело. Снежинки — очаровательный пример красоты порядка в природе и замечательное воплощение принципа единства в многообразии. Снежинки изучал Рене Декарт, а американский ученый Уильям Бентлей собрал коллекцию более 6000 микрофотографий снежинок. Снежинки являются кристаллами, а все кристаллы симметричны. Это значит, что в каждом кристаллическом многограннике можно найти плоскости симметрии, оси симметрии, центры симметрии и другие элементы симметрии так, чтобы совместились,  друг с другом одинаковые части.

И действительно симметричность - это одно из основных свойств  кристаллов. В течение  долгих лет геометрия кристаллов казалась таинственной и неразрешимой загадкой. Симметричность кристаллов всегда привлекала внимание ученых. (Приложение 10, рис.2). 

                     2.3 Симметрия у человека.

Не станем пока разбираться, существует ли на самом деле абсолютно симметричный человек. У каждого, разумеется, обнаружится родинка, прядь волос или какая-нибудь другая деталь, нарушающая внешнюю симметрию. Левый глаз никогда не бывает в точности таким, как правый, да и уголки рта находятся на разной высоте, во всяком случае, у большинства людей.

        И все же это лишь мелкие несоответствия. Довольно загадочным является тот факт, что в этом симметричном, симметричном, симметричном мире несимметричность не только, уцелела, но продолжает играть весьма важную роль. Правда, все симметричное в природе считают отражением фундаментальных качеств мира, а несимметричное — игрой случая.

Никто не усомнится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая и обе руки совершенно одинаковы! 

НО! Здесь стоит остановиться. Если бы наши руки и в самом деле были совершенно одинаковы, мы могли бы в любой момент поменять их. Было бы возможно, скажем, путем трансплантации пересадить левую ладонь на правую руку, или, проще, левая перчатка подходила бы тогда к правой руке, но на самом деле это не так.

        Каждому известно, что сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале. Именно вопросам симметрии и зеркального отражения здесь и уделяется внимание.

        А существует ли на самом деле абсолютно симметричный человек?

Я решила проверить, измерив себя. (Приложение 11).

Опыт показал, что тело человека нельзя считать абсолютно симметричное. Тело человека можно назвать относительно симметричным.

Лицо человека, как и всё его тело, представляет собой обыкновенную зеркальную симметрию, осью которой является вертикальная линия, начинающаяся на лбу, проходящая через нос до подбородка…

        Но абсолютно точного соответствия правилам симметрии в живой природе нет – всегда имеют место хотя бы небольшие отличия. Даже правая и левая половинки лица неодинаковы. И, чтобы доказать, что лицо человека можно назвать лишь ОТНОСИТЕЛЬНО симметричным, проведём эксперимент. Разрежем прямое и зеркальное фотоизображения по оси симметрии и составим новые портреты из двух правых и двух левых половинок. У нас получились два новых изображений. (Приложение 12).

        Судя по эксперименту видно, что, при сложении одинаковых частей фотографий, получаются абсолютно другие лица.

        Таким образом, следует считать, что лицо человека можно назвать лишь ОТНОСИТЕЛЬНО симметричным, что и требовалось доказать. И всё же есть исключения из правил. Крайне редко, но встречаются симметричные лица. Рассмотрим лица известных людей и определим по фотографиям,         у кого из них было симметричное лицо. В результате своего исследования, я пришла к выводу, что у А. П. Чехова было лицо симметричным. (Приложение 13).

Глава 3. Симметрия в архитектуре.

Симметричность творений природы имеет большое влияние и на художественное творчество человека. Орнаменты, которыми издавна украшаются архитектурные сооружения, как правило, имеют симметричные части. Самосовмещение изображений (симметрии, повороты, параллельные переносы) играют важную роль в творчестве дизайнеров, придающих техническим конструкциям современную красивую форму.

Красота является самым крепким связующим звеном между наукой и искусством. Искусство есть проявление красоты. Красота необходимое условие искусства. Искусство существует столько, сколько существует человек.

Большинство ученых говорят: «Математика есть прообраз красоты мира». Естественно, что все попытки отыскать математические законы в искусстве, а значит, и в прекрасном начинались с простейшего компонента прекрасного – формы прекрасного. Например, пропорции античной и готической архитектуры есть структурно-математические объективные законы  формы прекрасного.

Архитектура – удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника, искусство.  Только соразмерное, гармоничное сочетание этих начал делает возводимое человеком сооружение памятником архитектуры.

Симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, а значит внутреннего порядка. Внешне этот внутренний порядок воспринимается как красота.

Человеческое творчество во всех своих проявлениях тяготеет к  симметрии. Нагляднее всего видна симметрия в архитектуре. Особенно блистательно использовали симметрию в архитектурных сооружениях древние зодчие. Причём древнегреческие архитекторы были убеждены, что   в своих произведениях они руководствуются законами, которые управляют природой. В сознании древних греков симметрия стала олицетворением закономерности, целесообразности, красоты. Ведь симметричные предметы обладают большей устойчивостью и равной функциональностью в разных направлениях. Все это привело человека к мысли, о том, что чтобы сооружение было красивым оно должно быть симметричным.

Покажем симметрию в архитектуре Древнего мира  на примере пирамиды Хеопса. (Приложение 14).

Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из семи чудес древности. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. Во времена своего создания Великая пирамида была самым высоким сооружением в мире. И удерживала она этот рекорд, по всей видимости, почти 4000 лет.

По измерениям пирамиды Хеопса учёными мы знаем, что в основании пирамиды лежит квадрат со сторонами 227,5м. При строительстве высота пирамиды составляла 146,6м, а сейчас пирамида на 9м, ниже: верхние блоки, скорее всего, упали во время землетрясений. Грани пирамиды ориентированы по сторонам света, а угол наклона их к основанию равен 51°52’. Из этих фактов мы можем сделать вывод, что пирамида симметрична.

С тех пор и до наших дней симметрия в сознании человека стала объективным признаком красоты.

Соблюдение симметрии является первым правилом архитектора при проектировании любого сооружения. Стоит только посмотреть на великолепное произведение А.Н.Воронихина Казанский собор в Санкт - Петербурге, чтобы убедиться в этом. (Приложение 15).

Если мы мысленно проведем вертикальную линию через шпиль на куполе и вершину фронтона, то увидит, что с двух сторон от нее абсолютно одинаковые части сооружения (колоннады и здания собора). Но возможно, что вы не знаете, что в Казанском соборе есть еще одна, если можно так сказать «несостоявшаяся» симметрия. Дело в том, что по канонам православной церкви вход в собор должен быть с востока, т.е. он должен быть с улицы, которая находится справа от собора и идет перпендикулярно Невскому проспекту. Но, с другой стороны Воронихин понимал, что собор должен быть обращен к главной магистрали города. И тогда он сделал вход в собор с востока, но задумал еще один вход, который украсил прекрасной колоннадой. Чтобы сделать здание совершенным, а значит симметричным, такая же колоннада должны была располагаться с другой стороны собора. Тогда, если бы мы посмотрели на собор сверху, то план его имел бы не одну, а две оси симметрии. Но замыслам архитектора было не суждено сбыться.

В геометрических орнаментах всех веков запечатлены неиссякаемые фантазия и изобразительность художников и мастеров, чьё творчество было ограничено жёсткими рамками, установленными неукоснительным следованием принципам симметрии. Трактуемые несравненно шире идеи симметрии нередко можно встретить в живописи, скульптуре, музыке и поэзии. Во многих случаях именно язык симметрии оказывается особенно пригодным для обсуждения произведений искусства, даже если последние отличаются отклонениями от симметрии или их создатели стремились умышленно её избежать.

Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения искусства: архитектура, живопись, скульптура и т. п. Элементы симметрии можно увидеть в общих планах зданий. (Приложение 16).

Заключение.

В результате проведённой работы мы выяснили, что же такое симметрия и как симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир. Рассмотрели использование симметрии в разных областях (науке, природе, искусстве), тем самым решили поставленные задачи.

Симметрия присутствует в нашей жизни буквально во всём, но мы настолько к ней привыкли, что не замечаем этого. Некоторым она кажется скучной, некоторые любят её за спокойствие, которое она вносит в нашу жизнь, некоторые пытаются противостоять ей. Но как бы мы к ней не относились, она есть в нашей жизни буквально во всём, добавляя в неё мир, спокойствие и состояние чего-то нечуждого глазу.

Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Принципы симметрии играют важную роль           в  математике, биологии,  архитектуре, живописи и скульптуре. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии. Существует множество видов симметрии, как в растительном, так и в животном мире,    но при всем многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт еще раз подчеркивает гармоничность нашего мира.

Симметрия вносит в наш многообразный мир порядок. Мало видеть, что происходит в окружающем нас мире, надо внимательно всмотреться. Нужно всматриваться, вслушиваться, и тогда мы узнаем, что такое красота.

Действительно, симметричные объекты окружают нас буквально со всех сторон, мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Симметрия противостоит хаосу, беспорядку. Я в своей работе доказала, что  связь между симметрией и окружающим миром существует, симметрия  тесно связанна с нашей жизнью и является неотъемлемой частью нашей жизни.

Тема моей работы не исчерпывается только теми моментами, которые были выделены. Мы рассмотрели только некоторые вопросы, связанные с использованием симметрии в окружающем нас мире. На самом деле эта тема намного обширнее и охватывает и другие вопросы, поэтому она имеет продолжение.

Список литературы.

1.Большая Советская Энциклопедия. – Электронная версия, 2003 ЗАО «ГЛАСНЕТ».

2.Волошинов А.В. Математика и искусство: Кн. для тех, кто не только любит математику или искусство, но и желает задуматься о природе прекрасного и красоте науки. – 2-е изд., дораб. и доп. – М.: Просвещение, 2000. – 399 с.: ил.

3. Глейзер Г. И. История математики в школе. М.,1982.

4.Калинина М. И. Открываю математику. – М.: Просвещение, 2005.

5.Леонович А.А. Я познаю мир. Детская энциклопедия: Тайны природы. – М.: ООО «Издательство АСТ», 2003.

6.Новая детская энциклопедия. Пер. с англ. С. В. Морозова и др. – М.: ЗАО «РОСМЭН – ПРЕСС», 2008.

7.Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир. – М.,1996.

8.Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии — М.: Мысль, 1974г.

9.Что? Зачем? Почему? Большая книга вопросов и ответов. Пер. Мишиной К., Зыковой А. – М.: ЭКСМО, 2007.

10.Шубников А.В., Копцик В.А.Симметрия в науке и искусстве. М.: Наука, 1972., 340с.

11.Ресурсы ИНТЕРНЕТ