Задачи по на готовых чертежах при подготовки ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (11 класс) на тему

Слайд 1

Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ . Учитель математики МБОУ СОШ №1 Вольно- Надеждинское Приморский край Пентяшкина Татьяна Петровна

Слайд 2

1.Угол между двумя прямыми : . . 2.Угол между прямой плоскостью : 3. Угол между плоскостями: 1 2 3 4 6 5 9 8 7

Слайд 3

Угол между двумя прямыми : В правильной треугольной призме АВСА ₁В₁С₁, все ребра которой равны1найти угол между прямыми АС и ВС₁. А В С А ₁ В ₁ С ₁ Угол между прямыми АС и ВС ₁ равен углу между п рямыми ВС₁ и А₁С₁. Пусть А ₁С₁ B = . Так как призма правильная, то А ₁В=С₁В как диагонали равных квадратов( по условию все ребра призмы равны 1). Значит, А ₁ВС₁- равнобедренный. D Решение: Проводим высоту В D

Слайд 4

Угол между двумя прямыми: А В С А ₁ В ₁ С ₁ . D В В DC ₁ DC₁= А ₁С₁= . Из С ₁В₁В В =1+1=2; ВС ₁= . Тогда = = = = . Ответ: = arccos .

Слайд 5

Угол между двумя прямыми : . . 2.В единичном кубе А… D ₁ найти угол м ежду прямыми ВВ₁ и А₁С . А А ₁ В С С ₁ D D ₁ В ₁ По свойству прямоугольного параллелепипеда, имеем: А =А +В +А , или А ₁С = =а = , где а=1. Тогда = , откуда = arccos Пусть АА ₁С= , тогда из А ₁АС( А ₁АС=90°) имеем , где АА ₁=1, А₁С – диагональ куба. Заметим, что угол между прямыми ВВ ₁ и А₁С равен углу между прямыми АА₁ и А₁С.

Слайд 6

Угол между двумя прямыми : . . 3.В правильной четырехугольной пирамиде МАВС D , все ребра которой равны 1, найти угол между прямыми МО и ВЕ, где точка Е – середина ребра АМ. А В С D М Е• •О Реши задачу: подсказк а

Слайд 7

Угол между двумя прямыми : . . А В С D М Е• О Решение: В АОМ АО=МО, тогда А +М =А или 2А =1, А = , АО=МО= , КЕ= МО= . = = : = . = arccos Поскольку МО ЕК, то угол между прямыми МО и медианой ВЕ равен КЕВ= К Искомый угол из ЕКВ Проведу диагонали основания. Из точки Е –середины АМ опускаем перпендикуляр ЕК на плоскость АВС D . ЕК – средняя линия АОМ. Так как высота МО (АВС) и МО ЕК, то ЕК (АВС), значит, ЕК ВК. Все ребра пирамиды равны 1( по условию задачи ), то из АВЕ, где АВ=1,АЕ= , ВЕ= .

Слайд 8

Угол между прямой и плоскостью : . 4.В правильной четырехугольной призме АВС D А ₁В₁С₁ D₁ , стороны основания которой равны 2, а боковые ребра равны 4, найти угол между прямой АВ₁ и плоскостью В DD₁ . А В С С ₁ D ₁ A ₁ B ₁ .Пусть О-точка пересечения диагоналей. Заметим, что АО перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость В DD ₁ . О В прямоугольном АВ ₁О АО= = , АВ ₁= или АВ ₁= =2 , тогда = = = . Проведем диагонали АС и В D основания. Тогда В ₁ прямой АВ ₁ и плоскостью В DD₁

Слайд 9

Угол между прямой и плоскостью : . В прямоугольном ВВ ₁М известно: ВВ₁=1 (по условию), В₁М= В ₁ D₁= (B ₁D₁=2•D₁C₁ ) , тогда ВМ= = . 5.В правильной шестиугольной призме А… F ₁ , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁. М А В С D E F C ₁ D ₁ E ₁ F ₁ A ₁ B ₁ Далее, из точки В₁ опустим перпендикуляр В₁ N на прямую ВМ. М N Заметим =, что M ( прямоугольные, имеющие общий В ₁М N ). Обозначим точку М- пересечение прямых F ₁C₁ и B₁D₁ . Тогда N = - искомый угол между прямой АВ ₁ и плоскостью АВС₁. Проведу ВМ

Слайд 10

Угол между прямой и плоскостью : . В прямоугольном ВВ ₁М известно: ВВ₁=1 (по условию), В₁М= В ₁ D₁= (B ₁D₁=2•D₁C₁ ) , тогда ВМ= = . . М А В С D E F C ₁ D ₁ E ₁ F ₁ A ₁ B ₁ М N Заметим , что M ( прямоугольные, имеющие общий В ₁М N . Имеем В ₁ N = ( из пропорции = , В ₁ N= Так как АВ ₁= = , то из АВ ₁ N = B ₁N : АВ₁=

Слайд 11

Угол между прямой и плоскостью : . . 6.В кубе А… D ₁ найдите угол между прямой АА₁ и плоскостью ВС₁ D . А В С D A ₁ D ₁ C ₁ В ₁ подсказк а Реши задачу:

Слайд 12

Угол между прямой и плоскостью: . . А В С D A ₁ D ₁ C ₁ В ₁ Угол между прямой АА ₁ и плоскостью ВС₁ D равен углу между прямой СС₁ и п лоскостью ВС₁ D , т. е. ОС₁С . О В ОСС ₁ СС₁=1, ОС = R – радиус описанной окружности. Известно, что в правильном четырехугольнике со стороной R или ОС= , где а=1. Из прямоугольного ОСС ₁ = = а= arctg Решение: Диагонали DB и АС пересекаются в О. С ₁О – медиана, биссектриса, высота в

Слайд 13

Угол между двумя плоскостями: . . М F F ₁ E ₁ D ₁ А В С С ₁ В ₁ А ₁ E D М F F ₁ E ₁ D ₁ А В С С ₁ В ₁ А ₁ 7.В правильной шестиугольной призме А F ₁ , все ребра которой равны 1,найдите угол между плоскостями АВС и ВЕ D₁ . В плоскости ВЕ D ₁ из точки D₁ опустим п ерпендикуляр D₁M на плоскость основания призмы. М Так как FE=ED и диагональ ВЕ проходит через центр основания, то ЕМ – медиана, биссектриса и высота точка М – середина FD . Искомый угол = arctg В прямоугольном имеем: DD ₁=1, MD= FD= , тогда tg = , или tg . Проведу диагонали осн о вания ВЕ и FD

Слайд 14

Угол между двумя плоскостями : 8. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС, точка D - середина МА, точка E - середина ребра МВ. Найдите угол между плоскостями С DE и АВС, если МС=18, АВ=12. В А С М D E N F Из точки N опустим перпендикуляр NF на плоскость основания АВС. NF DE и CN DE , значит, NCF - линейный угол между плоскостями С DE и АВС. Решение: . СК – медиана , биссектриса и высота АВС K . .

Слайд 15

Из МОС МО= )²= =2 . Угол между двумя плоскостями : . В А С М D E N K F В АВС ВС= ОС• , ОС= = 4 . NF = МО= - средняя линия . Из , где ВС=12, ВК=6, КС= =6 . Следовательно, tg NCF= = = = arctg О МО высота призмы .

Слайд 16

Угол между двумя плоскостями : . . А В С D A ₁ D ₁ C ₁ В ₁ 9.В кубе А… D ₁ найдите углы между плоскостями между АВС и АВ₁ D₁ . подсказк а

Слайд 17

Угол между двумя плоскостями: . . А В С D A ₁ D ₁ C ₁ В ₁ В кубе А… D ₁ найдите углы между плоскостями между АВС и АВ₁ D₁ . Очевидно, что в единичном кубе А… D ₁ п лоскость АВ₁ D₁ плоскости ВС ₁ D , так как В D =B₁D₁, AB₁=DC₁ и AD₁=BC₁ . О Пусть О – точка пересечения диагоналей AC и BD квадрата АВС D . Тогда искомым линейным углом между плоскостями АВС и плоскостью ВС ₁ , будет С ₁ ОС= В С ₁ ОС( С=90 °), СС₁=1, ОС= R= тогда tg = = arctg Решение:

Слайд 18

Литература . . . Атанасян Л.С. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеоразовательных учреждений.-М.: Просвещение,2011. 2. Смирнова И.М.,Смирнов В.А. Эффектиная подготовка к ЕГЭ. - М.: Экзамен, 2008 3. Рыбкин Н. Сборник задач по геометрии. Стереометрия для 9 и 10 классов.-М.: Просвещение, 1972.