Задачи по готовым чережам
презентация к уроку по геометрии (11 класс) по теме

Угол между двумя прямыми
:
.
.


А
В
С
D
М
Е•

О
Решение:
В
АОМ АО=МО, тогда А
+М
=А
или 2А
=1, А
=
, АО=МО=
, КЕ=
МО=
.
 
=
=
:
=
.
 
=
arccos
 
Поскольку МО
ЕК, то угол между прямыми
МО и медианой ВЕ равен
КЕВ=
 
К
Искомый угол из
ЕКВ
 
Проведу диагонали основания.
Из точки Е –середины АМ опускаем перпендикуляр ЕК

на плоскость АВС
D
.
ЕК – средняя линия
АОМ. Так как высота МО
(АВС) и МО
ЕК, то ЕК
(АВС), значит, ЕК
ВК.
 
Все
ребра пирамиды равны 1(
по условию задачи
), то из
АВЕ, где АВ=1,АЕ=
, ВЕ=
.
 
Угол между прямой и плоскостью:
.
.
А
В
С
D
A
₁
D
₁
C
₁
В
₁
Угол между прямой АА
₁ и плоскостью
ВС₁
D
равен углу между прямой СС₁ и
п
лоскостью ВС₁
D
, т. е.
ОС₁С
.
 
О
В
ОСС
₁ СС₁=1, ОС =
R –
радиус описанной окружности. Известно, что в правильном четырехугольнике со стороной
R

или ОС=
, где а=1.
 
Из прямоугольного
ОСС
₁
=
=
 
а=
arctg
 
Решение:
Диагонали
DB
и АС пересекаются в О. С
₁О – медиана, биссектриса, высота в
 
Угол между двумя плоскостями:
.
.
А
В
С
D
A
₁
D
₁
C
₁
В
₁
В кубе А…
D
₁

найдите углы между плоскостями между АВС и АВ₁
D₁
.
Очевидно, что в единичном кубе А…
D
₁

п
лоскость АВ₁
D₁
плоскости ВС
₁
D
,
так как В
D =B₁D₁, AB₁=DC₁
и
AD₁=BC₁
.
 
О
Пусть О – точка пересечения диагоналей
AC

и
BD
квадрата АВС
D
. Тогда искомым линейным

углом между плоскостями АВС и плоскостью ВС
₁
,
будет
С
₁
ОС=
 
В
С
₁
ОС(
С=90
°), СС₁=1, ОС=
R=
тогда
tg
=
=
 
arctg
 
 
Решение:
1.Угол между двумя прямыми
:
.
.

2.Угол между прямой плоскостью
:
3. Угол между плоскостями:
1
2
3
4
6
5
9
8
7
Угол между двумя прямыми
:
.
.
3.В правильной четырехугольной пирамиде МАВС
D
,
все ребра которой равны 1,
найти угол между прямыми
МО
и
ВЕ, где точка Е – середина ребра АМ.

А
В
С
D
М
Е•
•О
Реши задачу:
подсказк
а
Угол между прямой и плоскостью
:
.
.
6.В кубе А…
D
₁
найдите угол между прямой АА₁ и плоскостью
ВС₁
D
.
А
В
С
D
A
₁
D
₁
C
₁
В
₁
подсказк
а
Реши задачу:
Угол между двумя плоскостями
:
.
.
А
В
С
D
A
₁
D
₁
C
₁
В
₁
9.В кубе А…
D
₁

найдите углы между плоскостями между АВС и АВ₁
D₁
.
подсказк
а
Задачи на готовых чертежах

для подготовки к ЕГЭ



.
Учитель

математики
МБОУ
СОШ
№1
Вольно-
Надеждинское
Приморский край
Пентяшкина

Татьяна Петровна
Из
МОС МО=
)²=
=2
.
 
Угол между двумя плоскостями
:
.
В
А
С
М
D
E
N
K
F
В
АВС ВС= ОС•
, ОС=
= 4
.
 
NF
=
МО=
- средняя линия
.
 
Из
, где ВС=12, ВК=6, КС=
=6
.
 
Следовательно,
tg
NCF=
=
=
 
=
arctg
 
О
МО высота призмы
.
Угол между двумя прямыми
:
.
.
2.В единичном кубе А…
D
₁
найти угол
м
ежду прямыми ВВ₁ и А₁С
.
А
А
₁
В
С
С
₁
D
D
₁
В
₁
По свойству прямоугольного параллелепипеда, имеем:
А
=А
+В
+А
, или А
₁С
=

=а
=
, где а=1.
 
Тогда
=
, откуда
=
arccos
 
Пусть
АА
₁С=
, тогда из
А
₁АС(
А
₁АС=90°) имеем
, где АА
₁=1, А₁С – диагональ куба.
 
Заметим, что угол между прямыми ВВ
₁
и А₁С равен углу между прямыми АА₁ и А₁С.
 
Угол между прямой и плоскостью
:
.
В прямоугольном
ВВ
₁М известно: ВВ₁=1
(по условию), В₁М=
В
₁
D₁=
(B
₁D₁=2•D₁C₁
)
, тогда ВМ=
=
.
 
.
М
А
В
С
D
E
F
C
₁
D
₁
E
₁
F
₁
A
₁
B
₁
М
N
Заметим , что
M

(
прямоугольные, имеющие общий
В
₁М
N
.
 
Имеем В
₁
N =
(
из пропорции
=
, В
₁
N=
Так как АВ
₁=
=
, то из
АВ
₁
N
= B
₁N
: АВ₁=
 
 
Угол между двумя прямыми:
А
В
С
А
₁
В
₁
С
₁
.
D
В
В
DC
₁ DC₁=
А
₁С₁=
.
 
Из
С
₁В₁В В
=1+1=2; ВС
₁=
.
 
Тогда
=

=
=

=

.
 
Ответ:
=
arccos


.
 
Угол между двумя плоскостями
:
8. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием

АВС,

точка
D
- середина МА, точка
E
- середина ребра МВ. Найдите угол между плоскостями С
DE
и АВС, если МС=18, АВ=12.
В
А
С
М
D
E
N
F
Из точки
N
опустим перпендикуляр
NF
на плоскость основания
АВС.
 
NF
DE
и
CN
DE
, значит,
NCF
- линейный угол между плоскостями С
DE
и АВС.
 
Решение:
.
СК – медиана
, биссектриса
и высота
АВС
 
K
.
.
Угол между прямой и плоскостью
:
.
В прямоугольном
ВВ
₁М известно: ВВ₁=1
(по условию), В₁М=
В
₁
D₁=
(B
₁D₁=2•D₁C₁
)
, тогда ВМ=
=
.
 
5.В правильной шестиугольной призме А…
F
₁
, все ребра которой

равны 1, найдите угол между прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁.
М
А
В
С
D
E
F
C
₁
D
₁
E
₁
F
₁
A
₁
B
₁
Далее, из точки В₁ опустим перпендикуляр В₁
N

на прямую ВМ.
М
N
Заметим =, что
M

(
прямоугольные, имеющие общий
В
₁М
N
).
 
Обозначим точку М- пересечение прямых
F
₁C₁
и
B₁D₁
.
Тогда
N =
-
искомый угол между прямой АВ
₁ и плоскостью АВС₁.
 
Проведу ВМ

Литература
.
.
.
Атанасян
Л.С. Геометрия: учебник для 10-11 классов

общеоразовательных
учреждений.-М.: Просвещение,2011.
2. Смирнова
И.М.,Смирнов
В.А.
Эффектиная
подготовка к ЕГЭ.
- М.: Экзамен, 2008
3. Рыбкин Н. Сборник задач по геометрии. Стереометрия для
9 и 10 классов.-М.: Просвещение, 1972.
Угол между двумя прямыми
:
В правильной треугольной призме АВСА
₁В₁С₁, все ребра которой равны1найти угол между прямыми АС и ВС₁.
А
В
С
А
₁
В
₁
С
₁
Угол между прямыми АС и ВС
₁ равен углу между
п
рямыми ВС₁ и А₁С₁. Пусть
А
₁С₁
B
=
.
 
Так как призма правильная, то А
₁В=С₁В как диагонали равных квадратов( по условию все ребра призмы равны 1).
Значит,
А
₁ВС₁- равнобедренный.
 
D
Решение:
Проводим высоту В
D
Угол между прямой и плоскостью
:
.
4.В правильной четырехугольной призме
АВС
D
А
₁В₁С₁
D₁
, стороны основания которой равны 2, а боковые ребра равны 4, найти угол между прямой АВ₁ и плоскостью В
DD₁
.
А
В
С
С
₁
D
₁
A
₁
B
₁
.Пусть

О-точка пересечения диагоналей. Заметим, что АО перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость В
DD
₁
.
О
В прямоугольном
АВ
₁О АО=
=
,
АВ
₁=
или АВ
₁=
=2
,
тогда
=
=
=
.
 
 
Проведем диагонали АС и В
D

основания.
Тогда
В
₁
прямой
АВ
₁ и плоскостью

В
DD₁
 
Угол между двумя плоскостями:
.
.
М
F
F
₁
E
₁
D
₁
А
В
С
С
₁
В
₁
А
₁
E
D
М
F
F
₁
E
₁
D
₁
А
В
С
С
₁
В
₁
А
₁
7.В правильной шестиугольной призме А
F
₁
, все ребра которой равны 1,найдите угол между плоскостями АВС

и ВЕ
D₁
.
В плоскости ВЕ
D
₁
из точки
D₁
опустим
п
ерпендикуляр
D₁M
на плоскость
основания призмы.
М
Так как
FE=ED
и диагональ ВЕ проходит через центр основания, то ЕМ – медиана, биссектриса и высота
точка М – середина
FD
.
 
Искомый угол
=
arctg
 
В прямоугольном
имеем:
DD
₁=1,
MD=
FD=
, тогда
tg
=
, или
tg
.
 
 
Проведу диагонали осн
о
вания ВЕ и
FD