Формирование комбинаторно-логического мышления выпускников школы в ходе подготовки к единому государственному экзамену
статья по геометрии (11 класс) по теме

Формирование комбинаторно-логического мышления выпускников школы в ходе подготовки к единому государственному экзамену

Сегодня  для современного лидера очень важно развивать в себе такие качества как целеустремленность, активность, уверенность, креативность. Не менее важно для лидера владеть навыками работы в команде, проводить мастер классы на любую аудиторию, убеждать и вести за собой свою команду. Правильно ставить цель и достигать ее вот залог успеха сегодня. Иначе говоря, мир нуждается в лидерах, в тех людях, которые могут сделать все сами и помогут другим реализовать себя как личности, научат как стать успешным человеком. За лидерами, сейчас будущее, от них зависит уровень жизни и общая картина благосостояния страны.

В связи с потребностью и новым социальным заказом общества к школе изменились цели и задачи образования, и особую значимость приобрела проблема развития мышления школьников. Так Минобрнауки отмечает, что «один из важнейших аспектов модернизации содержания математического образования состоит во включении в школьные программы элементов комбинаторики, статистики и теории вероятности» [1] .

       И, конечно же, в данном направлении огромную роль может сыграть выстроенная система по формированию и развитию комбинаторно-логического мышления.

Комбинаторно-логическое мышление – это мышление, при помощи которого обучающийся логическими приемами выстраивает определенные комбинации способов и методов, направленных как на разрешение различным числом вариантов частных конкретных задач, так и на поиск общих закономерностей [2].

Педагогические компоненты данного мышления направлены на выработку у старшеклассника умений:

• расчленять объект, предмет, понятие на части, а также осуществлять обратный ход мыслей (анализ, синтез);
• переходить от частного случая задачи к общему и обратно (от индуктивного к дедуктивному приему и наоборот), осуществляя перебор или комбинацию исходных элементов задачи; отдельных частей или их сочетаний,  полученных в результате расчленения изучаемого объекта;
• находить различные пути решения одной и той же задачи, производя перебор исходных данных;
• осуществлять поиск различных путей оформления решения.

Рассмотрим одну из тем, необходимых для подготовки к итоговой аттестации учащихся 11-х классов, в ходе  работы над которой можно  организовать деятельность по формированию комбинаторно-логического мышления.

Заметим, что в школьном курсе математике рассматриваются только четыре условия, на основании которых появляются ограничения на область определения. В школьных учебниках и задачах ЕГЭ встречаются либо задания в том виде, как они представлены в таблице, либо задания составлены из расчета комбинации некоторых ниже перечисленных условий.

 Алгоритм решения  задач на нахождения области определения функции (выражения)

Шаг 1. Определяем, какое из представленных ограничений (таблица 1) представлено в задании

Шаг 2. Выясняем, сколько ограничений представлено в задании

Шаг 3. Вычисляем область определения функции (выражения)  из системы неравенств найденных ограничений

Шаг 4. Составление комбинированных задач и представленных видов выражений и функций

Шаг 5. Разбор решений составленных учащимися задач

Решим  задачу по представленному алгоритму.

Шаг 6. (творческий компонент)

Провести анализ основных учебных изданий для 10-11 классов и заданий для подготовки к ЕГЭ. Цель: поиск других видов формулировок задания, целью которых является поиск области определения.

Задача № 1 Найти область определения выражения

Решение:  Шаг 1-2.

Из таблицы 2 определяем, что  в нашем задании представлено три ограничения:   ;            ;              

Шаг 3.  Составляем систему неравенств найденных ограничений

                                                                                                  (1)

Обращаем внимание, что четвертое и пятое неравенства системы (1) можно заменить одним строгим неравенством.

                                                                                                   (2)

Решив каждое неравенство системы (2) и выбрав общую часть, получим ответ задачи.

Шаг 4.  Учащиеся придумывают задачи на нахождения области определения выражения, комбинируя представленные в системе (1) или (2) неравенства, а также комбинируя представленные в задаче функции:  Примеры составленных заданий:

а)    в)    с)    е)   и т.д.

Шаг 5.  Все варианты составленных задач распределяются между учащимися (группами учащихся), прорешиваются, обсуждаются решения.

Рис. 1

Задача № 2. Окружность, вписанная в правильный треугольник, со стороной, равной a. Вычислить радиус вписанной окружности.Шаг 1. (анализ условия)

В принципе, для данного случая есть уже определенное значение радиуса окружности (1). Но мы докажем это. (поиск решения) Мы знаем, что радиус вписанной  окружности в правильный треугольник будет лежать в центре этого треугольника. Т.е. центр  окружности

будет являться и точкой  пересечения высот, медиан и биссектрис, а радиусы этой окружности будут являться частью высот (медиан, биссектрис) треугольника (рис. 1). NC – это половина стороны , . Найдем BN по теореме Пифагора. . Зная, что медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1 найдем ON, т.е. радиус вписанной окружности. .

Шаг 2. (Усложнение задачи) Рассмотрим в правильном треугольнике со стороной, равной a, расположение двух окружностей равного радиуса так, что каждая из них касается двух сторон треугольника и другой окружности.

Рис. 2

(поиск решения) Для решения данной задачи поступим следующим образом.  Проведем в исходном треугольнике высоту и в каждый из получившихся прямоугольных треугольников впишем окружность. Теперь докажем,

 (сравнение) что это те самые окружности, которые мы определили в условии (рис. 2). Очевидный  факт, что каждая из этих окружностей

будет  касаться двух сторон исходного правильного  треугольника. Осталось доказать, что они касаются друг друга. Радиусы SO1 и SO2 окружностей будут перпендикуляры высоте BD.  NO1O2P – это прямоугольник, следовательно SO1 и SO2 лежат на одной прямой. Значит, окружности с центрами в  точках O1 и O2 имеют общую точку, и, причем, только одну (т.к. они касаются прямой BD лишь в одной точке). То есть, окружности касаются друг друга. Тогда перейдем к решению нашей задачи. (вычленение объектов, поиск решения) Рассмотрим треугольник ABD. Этот треугольник является прямоугольным. Зная , , найдем сторону BD в треугольнике ABD. . Теперь воспользуемся формулой для вычисления радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, и получим .  (Сравнение, переход от одного объекта к другому) Интересен момент, что при рассмотрении двух окружностей равного радиуса в равностороннем треугольнике, мы фактически рассматривали окружность, вписанную в треугольник, полученный путем деления исходного треугольника на два равных линией, являющейся высотой этого треугольника.

Шаг 3. (Второе усложнение задачи) Рассмотрим расположение трех окружностей равного радиуса в правильном треугольнике со стороной, равной a, так, что каждая из них касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Аналогично предыдущему случаю, добьемся рассмотрения более простого – вписанной окружности. Для этого проведем из центра треугольника линии, перпендикулярные сторонам исходного треугольника (это будут радиусы вписанной  окружности в исходный треугольник). Впишем  в каждую из получившихся равных фигур окружность. (сравнение) Очевидно, что это и есть нужные нам окружности (рис. 3) (поиск и оформление решения) Найдем радиус одной из них. SM и O1N AC, следовательно SM║O1N. Значит O1SMN – прямоугольник (точнее квадрат), и значит . , тогда . Зная, что исходный треугольник правильный, найдем угол . Найдем соотношение в треугольнике O1AN:  . Не сложно найти Рис. 3

отсюда значение радиуса, равное .   (обобщение результатов) При рассмотрении

трех окружностей равного радиуса в

равностороннем треугольнике, нам пришлось

провести три линии из центра исходного

треугольника, перпендикулярных сторонам

треугольника. Данные линия разбили

треугольник на три равных между собой

четырехугольника, в каждом из которых была вписана одна из рассматриваемых окружностей.

Рис. 4

Шаг 4. (Третье усложнение задачи) Рассмотрим расположение четырех окружностей равного радиуса в правильном треугольнике со стороной, равной a, так что, каждая из них будет касаться соседней окружности, а три из них будут касаться двух сторон треугольника. (сравнение, аналогия) Также, как и предыдущих случаях, добьемся рассмотрения вписанной окружности, т.е. разделим данный треугольник на четыре равных фигуры (в этом случае тоже треугольники). Сделаем мы это путем проведения всех трех средних линий исходного треугольника. В результате мы получим четыре абсолютно равных правильных треугольника, в каждый из которых будет вписана окружность (рис. 4). Найдем ее радиус.

Найти его очень просто, зная формулу нахождения радиуса вписанной окружности в  правильный треугольник (1). Воспользуемся ей. Сторона получившегося правильного треугольника будет равна , тогда .  (обобщение результатов) Отметим, что в данном случае нам опять таки разбили исходный треугольник на равные части, проведя его средние линии. Вывод: (обобщение результатов)  нахождение радиуса нескольких окружностей в правильном треугольнике основывалось на разбиении исходного треугольника на соответствующее количество равных фигур и нахождении радиуса уже одной вписанной окружности в одну из полученных фигур.

Задача № 3. Далее необходимо рассмотреть «трудную» задачу (комбинации сфер и пирамиды) на примере более «легкой» аналогичной задачи (комбинации треугольника и окружности) [3].

Представленная нами модель полностью отвечает формированию мышления ученика, т.к.  «мышление …проявляется в учебной деятельности и в понимании учебного материала, и в решении разнообразных проблем и задач, и в постановке целей, и в рефлексивной регуляции» [4].

Список литературы

1. Мин. Обр. РФ. «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы»  № 03-93 ин/ 13-03 от 23.09.2003
2. Попова Т.Г. Математика. 10-11 классы. Развитие комбинаторно-логического мышления. Задачи, алгоритмы решений / Т.Г. Попова. – Волгоград: Учитель, 2009. - 111 с.
3. Попова Т.Г. Система элективных курсов, направленная на развитие комбинаторно-логического мышления старшеклассников. Математика. 10-11 класс: учебно-методическое пособие / Т.Г. Попова ; науч. ред.  проф. О. В. Кузьмин. – Иркутск : Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2008. – 39 с.

4. Прядехо А.А. Педагогические условия развития познавательных способностей учащихся V-VII классов : дис. … д-ра пед. наук : 13.01.01 / А. А. Прядехо. - М., 2003. - 430 с.