Итоговый прикладной проект «Особенности изучения геометрии в 5-6 классах в условиях модернизации школьного образования»
учебно-методический материал по геометрии (5 класс) по теме

Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

Итоговый прикладной проект

«Особенности изучения геометрии в 5-6 классах в условиях модернизации школьного образования»

Пономаревой Наталии Сергеевны,

учителя математики МОУ «Дмитровской гимназии «Логос»,

слушателя курсов повышения квалификации 2012/2013 учебного года

«Особенности преподавания математики  в основной школе

в условиях модернизации школьного образования»  

Вариативный модуль,  72 часа

                    Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры «Высшей

                    математики» Университета Дубна, кафедры Математика»

                    МИОО, член федеральной группы по составлению задач,  

                    проверки и проведению апелляций ЕГЭ по математике.

                    Парфёнов С.В.

                    Доктор физ.-мат. наук, ведущий сотрудник Лаборатории

                    Информационных Технологий ОИЯИ. Заведующий кафедрой

                    высшей математики Университета «Дубна».

                    Калиновский Ю.Л.

Дмитров, 2013

Содержание.

Введение……………………………………………………………………….3

§1. Геометрическая линия в учебниках математики

 для 5-6 классов (УМК Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон)……………………4

§2. Подборка задач для уроков по введению понятия вектора…………….6

§3. Система упражнений  для  пропедевтики и развития интереса к математике…………………………………………………………………….8

3.1.  Геометрические задачи, решаемые методами складывания листа бумаги.……………………………………………………………….....8

3.2. Применение геометрии в повседневной жизни…………………10

Заключение……………………………………………………………………12

Список литературы……………………………………………………………14

Введение.

В настоящее время очень заметен разрыв между современным учебным процессом, теми задачами, которые он ставит перед школьниками, и задачами реальной жизни. Поэтому главной задачей современного образования сократить этот разрыв и приблизить образование к требованиям реального мира.

 Актуальность работы обусловлена тем, что используемые в основной школе содержание и методы преподавания математики в некоторой части не соответствуют современным потребностям подготовки специалистов. Математическое образование помогает учащимся нарисовать некоторую картину развития математики. Важно, чтобы эта картина соответствовала реальности, рассказывала  на понятном для учащихся языке действительные взаимосвязи математики с окружающим миром.

Зная о трудностях, которые возникают у учащихся при изучении систематического курса геометрии, появляется необходимость совершенствования методики обучения элементам геометрии в 5-6 классах, уделяя внимание, прежде всего практической направленности. 

Цель: Совершенствование методики преподавания элементам геометрии

в 5-6 классах.

Задачи:

1. Проанализировать потребности современного общества и сопоставить аппарат математики, используемый при решении прикладных задач с содержанием математики в основной школе.
2. Разработать упражнения для пропедевтики и развития интереса к математике.
3. Проанализировать геометрическое направление содержания УМК

Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон «Математика 5-6»,  а также подобрать задачи для уроков по расширению этой линии путем введения понятия вектора.

§1. Геометрическая линия в учебниках математики  для 5-6 классов (УМК Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон)

Запас геометрических представлений и навыков, который накоплен у учащихся к началу 5 класса, позволяет поставить перед ними новую цель: исследование и «открытие» свойств геометрических фигур. При этом рассматриваются не только плоские, но и пространственные фигуры – многогранники, шар, сфера, цилиндр, конус, пирамида.

С помощью построений и измерений учащиеся выявляют геометрические закономерности, которые формулируют как предположение, гипотезу.

Задача учителя заключается в том, чтобы раскрыть перед учащимися красоту этих закономерностей и показать необходимость их логического обоснования, доказательства.

На этой основе уже в 6 классе дети подводятся к самостоятельному построению цепочек умозаключений из двух-трех шагов, обосновывающих те или иные геометрические факты. Все это не только формирует необходимые практические навыки для полноценного изучения систематического курса геометрии, но и создает его глубокую мотивацию.

Главная цель раздела  – систематизировать знания учащихся о геометрических фигурах, познакомить с простейшими построениями циркулем и линейкой, выработать навыки работы с геометрическими инструментами.

В данной теме акцент делается на систематизации геометрических представлений учащихся и подготовке к дальнейшему изучению курса геометрии в 7 классе.

Глава «Геометрия» учебника содержит несколько разделов, таких как «Геометрические фигуры на плоскости», «Геометрические фигуры в пространстве», «Геометрические величины и их измерение»,  «Симметрия фигур», где учащиеся уточняют  свои представления о науке геометрия, которые они приобрели в начальной школе. В первом разделе идет знакомство с простейшими построениями циркулем и линейкой, которые приводятся без доказательств, показывающие красоту геометрии, применение этих построений осуществляется в пункте «Замечательные точки треугольника». Далее учащиеся знакомятся с многогранниками и телами вращения, учатся изображать их на клетчатой бумаге и проводят несложные построения сечений многогранников.

При прохождении раздела «Геометрические величины и их измерение» систематизируются представления учащихся об измерении геометрических величин – длины, площади, объёма. Также учащиеся знакомятся с новыми формулами, выражающими зависимость между величинами в круге и шаре.

С помощью содержания параграфа «Симметрия фигур» учащиеся учатся «видеть» красоту геометрии, знакомятся с видами симметрии. При этом учащиеся при изучении параллельного переноса естественным образом сами откроют понятие вектора, как направленного отрезка.

В течение  двух лет проводится значительная работа по исследованию свойств геометрических фигур. В своих практических действиях учащиеся «открывают» разнообразные геометрические факты. Однако выявленные закономерности рассматриваются не как утверждения, а как гипотезы. Таким образом, ставится проблема недостаточности их знаний для доказательства наблюдаемых свойств и отношений. Особое внимание уделяется практических построениям циркулем и линейкой, построению предметных моделей пространственных тел и их изображению. Параллельно с изучением геометрического материала отрабатываются вычислительные навыки, решаются текстовые задачи и другие задачи на повторение курса 6 класса.

§2. Подборка задач для уроков по введению понятия вектора.

На данном этапе (после изучения параллельного переноса часть 3  «Математика 6» Г.В. Дорофеев, Л.Г.Петерсон) целесообразно ввести понятие вектора и посвятить этой теме несколько уроков, где после знакомства с понятием вектора можно рассмотреть ряд задач.

1. Отметьте точки А, В и С, не лежащие на одной  прямой. Начертите все ненулевые векторы, начало и конец которых совпадают с какими-то двумя из этих точек. Выпишите все полученные векторы и укажите начало и конец каждого вектора.
2. Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы, изображающие полет самолета сначала на 300 км на юг от города А до В, а потом на 500 км на восток от города В до С. Затем начертите вектор , который изображает перемещение из начальной точки в  конечную.
3. На рисунке изображен ромб ABCD,

            где АВ = 4, < BAD = 60°.

а) Началом каких ненулевых  

векторов служит точка В?

б) Концом каких данных ненулевых векторов служит точка А?

в) Как называется и обозначается вектор с началом и концом в точке С?

г) Найдите длины (модули) векторов  и .

д) Какой ненулевой вектор коллинеарен вектору  ?

е) Какие данные ненулевые векторы сонаправлены и какие  

    противоположно направлены?

ж) Равны ли векторы  и ,  и ,  и ,  и , 

 и ,  и ?

з) Какой вектор, равный вектору , отложен от точки В?

1. а) Постройте ненулевой вектор с началом

 в точке О:

коллинеарный вектору; сонаправленный

 с вектором  ;

противоположно направленный  вектору  ?

  б) Отложите от точки О вектор, равный

     вектору  ?

в) Сколько векторов, равных  вектору   можно отложить от точки О?

После введения понятия сумма двух векторов (правило треугольника) можно рассмотреть следующие задачи:

1. Используя правило треугольника,

постройте векторы

=  +   и  =  + .

1. а) Постройте векторы  =  +   

        =  +

б) Отложите от точки Н векторы

           =  +  ,   =  + .

§3. Система упражнений  для  пропедевтики и развития интереса к математике.

Школьному курсу геометрии всегда отводится важная роль в развитии учащихся, развитие у них пространственных представлений и творческого мышления.

Каждый учитель рано или поздно ищет методы и способы для повышения мотивации учащихся к своему предмету, занимается подборкой упражнений для пропедевтики  и развития интереса. В учебниках УМК Дорофеева Г.В., Петерсон Л.Г. уже заложен большой объем заданий, которые решают эти задачи. Но существует еще огромный запас интересного и полезного материала, который по возможности необходимо включать в процессе урока. Например, задачи, решаемые методом складывания, которые развивают еще и мелкую моторику учащихся.

3.1 Геометрические задачи, решаемые методами складывания листа бумаги.

В традиционном школьном курсе геометрии существуют задачи на построение, которые решаются при помощи циркуля и линейки. Свойства перегибания листа бумаги дают  возможность решения большого разнообразия такого рода  задач. Каждый, изучавший геометрию, знает, что сумма углов треугольника равна сумме двух прямых углов. Но мало кому известно, что эта фундаментальная теорема может быть наглядно продемонстрирована с помощью простого листа бумаги. Необычайная наглядность и простота этого приема позволяют познакомить детей даже, не изучавших геометрии, с одной из ее важных теорем.

Поэтому все эти приемы могут помочь и при изучении геометрии, которые делают ее изучение более ясным и доступным.

Данный материал можно использовать после прохождения  первого параграфа учебника Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон «Математика 6», ч.3

Деление отрезка на равные части

Из произвольного листа бумаги при помощи сгибов получаем квадрат, а затем методом перегибания  делим сторону квадрата на три равные части.

Деление прямого угла на три равные части

Упражнения с куском бумаги.

Как из бумажного прямоугольника получить квадрат?

Или равносторонний треугольник?

Также с помощью перегибаний можно получить правильный шестиугольник и восьмиугольник, завязать загадочный узел в виде правильного пятиугольника или доказать  известную теорему Пифагора. Все это можно найти в книгах [3],[5], [7] и разнообразить учебный материал интересными упражнениями и заданиями, тем самым повысить интерес учащихся к трудным и неподдающимся задачам.

2. Применение геометрии в повседневной жизни.

Вряд ли учащиеся задумываются, как часто они сталкиваются с математикой в повседневной жизни. Думаю, что каждый учитель хотя бы однажды слышал вопрос «А зачем нам это в жизни?». Я недавно столкнулась с этим на уроке в 6 классе, выполняя практическую работу «Нахождение числа π». И одна отличница, опередив меня ответила: «А как ты ЕГЭ сдавать будешь?». Я не стала возражать, но решила к следующему уроку подобрать задачи, которые  помогли бы мне объяснить применение математики, в частности геометрии.  Хорошо, что такие ситуации возникают, потому что мне они помогают задуматься, а все ли я делаю правильно.

Задачи, например, могут быть такими.

1. Как из куска обыкновенной веревки без использования линейки, транспортира, получить прямой угол? (Отложить на веревке 3,4 и 5 одинаковых расстояний и получить треугольник)

2. Кружка цилиндрической формы наполнена доверху молоком. Можно ли отлить ровно половину содержащегося в ней молока, не пользуясь измерительными приборами? (Наклонить кружку до тех пор, пока не появится краешек дна.)

3. Как от куска материи длиной 8 м отрезать кусок длиной 5 м, не имея под рукой измерительных приборов? (Перегнуть кусок материи пополам, затем одну из половинок перегнуть еще пополам и, наконец, ту четвертинку, которая ближе к середине, снова пополам. Последняя линия сгиба разделит длину куска в отношении 3:5)

Существует большое разнообразие задач на эту тему, главное  чаще включать их в учебную деятельность.

Заключение.

В современном обществе, когда так сложно угнаться за временем учителю постоянно приходится пересматривать  свою работу, изучать новые технологии, новое оборудование, знакомится с новыми учебниками и это, не говоря,  уже  о новых федеральных стандартах и новых требованиях. Возможно, одним из важных моментом на этом этапе начать с содержания учебного материала, которое зачастую не соответствует  всем требованиям и не решает всех задач современного общества. Поэтому необходимо расширение или частичная замена учебного материала, наполнение его практическим содержанием, дабы сократить разрыв между учением и  реальной жизнью.

Проанализировав учебники Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон

 «Математика5, «Математика 6»  , я пришла к выводу, что в них содержится необходимое количество геометрического материала, который позволяет: 

— усилить практическую направленность изучения школьного курса геометрии;

— сформировать представления о некоторых геометрических понятиях;

— научить выдвигать гипотезы и проверять их опытным путем.

— выработать навыки работы с таблицами и другими  справочными материалами;

— повысить интерес, мотивацию, а значит, и эффективность изучения геометрии.

Раздел «Геометрия» учебника «Математика 6» содержит хороший задачный материал по геометрии, направленный на развитие геометрической интуиции, пространственного воображения, глазомера, навыков работы с циркулем и линейкой при выполнении элементарных построений. Задачи можно использовать на уроках, которые помогут учителю расширить геометрическое содержание некоторых  учебников по математике для 5-6 классов, а также для работы в математических кружках и на факультативах.

Очень бы хотелось научить учащихся искусству применения математических идей и методов к решению практических задач, к нахождению  выходов из разного рода затруднительных положений, возникающих в повседневной жизни. А для этого необходимо, на мой взгляд, чаще «подбрасывать» учащимся практические задачи и вопросы, с которыми они сталкиваются каждый день и в которых использование математики поначалу кажется просто невозможным.

Трудностей, с которыми сталкиваются современное общество, меньше не становится и, наверное, не станет, хотя очень бы хотелось, но всегда есть возможность изменить отношение к ним. И начинать необходимо с себя, потому что невозможно что-то изменить, не меняясь самому.

Список литературы

1.  Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Рабочая тетрадь. 8 класс. –М.:            Просвещение 2010.

2.  Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7-9 классы. –М.: Просвещение 2010.

3.  Белим, С.Н. Задачи по геометрии, решаемые методами складывания (оригами).  – М.: Аким, 1998.

4.  Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика 6 класс. М.: Ювента. 2010.

5.  Игнатьев, Е.И. В царстве смекалки  / Е.И. Игнатьев.- М.: Столетие, 1994.

 6.  Математика 5-6класс.  Методические материалы к  учебникам Г.В.    Дорофеева, Л.Г. Петерсон //Составитель Л.Г.Петерсон.-М.:»Школа2000…», 2003.

7. Методика обучения геометрии. Учеб. Пособие для студ. Высш. Пед. Учеб. Заведений / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А. Гусева.-М.: Академия .-2004

8. Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б. Примени математику.- М.:  Наука. Гл. ред.физ.-мат.лит.,1989.

9. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрические задачи с практическим содержанием. — М.: МЦНМО, 2010.