Треугольник простейший и неисчерпаемый
презентация к уроку геометрии (9 класс) по теме

Слайд 1

Треугольник, простейший и неисчерпаемый. Задачи для подготовки к ЕГЭ. Автор работы: Учитель математики Сосна Ольга Александровна МБОУ СОШ № 96 г. Краснодара

Слайд 2

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. В. Произволов

Слайд 3

Аннотация к работе. Цель нашей работы - помочь учащимся подготовиться к итоговой аттестации. Для успешного выполнения экзаменационных заданий необходимы твердые знания основных геометрических фактов и некоторый практический опыт . Работа может быть полезна учащимся не только 9 класса, но и 8 и 10 классов, которые в будущем будут сдавать ЕГЭ. Кроме того, надеемся , что наша презентация послужит хорошим подспорьем для учителей математики при проведении уроков по темам , связанным с треугольником. Текст на слайдах появляется по щелчку мышки , есть время подумать над задачей , проанализировать условие, потом сравнить свое решение с нашим. Презентация содержит историческую справку о треугольниках и краткий справочный материал.

Слайд 4

Задача №1 Задача №2 Задача №3 Задача №4 Задача №5 Задача №6 Задача №7 Задача №8 Задача №9 Содержание . Исторические сведения Справочный материал

Слайд 5

Задача №1 Стороны треугольника равны 12 м., 16 м., и 20 м.. Н айдите его высоту, проведенную из вершины большего угла. Дано: A B C ABC - треугольник AB = 12 м. BC = 1 6 м. AC = 20 м. Найти: BD = ? м. D

Слайд 6

Анализ условия задачи №1: A B C D 90 о 12 16 20 X AD = X DC = 20 - X 2 Угол B = 90˚, так как AC = BC + BA 2 2

Слайд 7

12 16 20 X Решение задачи №1: A B D Рассмотрим треугольник ABD C D B BD = 12 - X 2 2 2 Т реугольники подобны BD = X (20 – X) 2 12 – X = X (20 – X) 2 2

Слайд 8

12 – X = X (20 – X) 2 2 144 – X = 20 X – X 2 2 144 – X – 20 X + X = 0 2 2 144 – 20 X = 0 7,5 – X = 0 X = 7,2 BD = 7,2 (20 – 7,2) = 92,16 2 BD = 9,6 Решение задачи №1:

Слайд 9

Задача №2 Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника. Дано: MCN – вписанный треугольник MC = 1 5 Найти: MN M C N D DN = 1 6 d

Слайд 10

Решение задачи №2: 90 o M C N D 15 16 d d = MN = MD + DN MD = x x d = x + DN

Слайд 11

M C N D x Решение задачи №2: CD = MD DN = 15 - x 2 2 x 2 CD = MC - MD = x 16 2 2 2 x Рассмотрим треугольник MCD

Слайд 12

Решение задачи №2: 15 - x = x 16 2 2 x x + 16x – 255 = 0 2 D = 256 + 900 = 1156 x = 1 - 16 - 34 2 = -25 x = 2 - 16 + 34 2 = 9 d = x + DN d = 9 + 16 = 25

Слайд 13

Задача №3 Биссектриса АМ треугольника АВС делит сторону СВ на отрезки СМ=10 и МВ = 14, АВ=21. Найдите радиус описанной вокруг треугольника АВС окружности. Дано: CM=10, MB=14, AB=21 Найти : R=? А С В M O

Слайд 14

Решение задачи № 3 : M 14 10 21 А С В O 1.Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. = AB BM AC CM = 21 14 AC 10 AC= 15 2.Радиус описанной окружности найдём по формуле: R= a ∙ b ∙ c 4 ∙ S Где S найдём по формуле Герона S= √ p(p-a)(p-b)(p-c) 15 Где p= 1 2 (a + b + c) p= (24 + 21 +15) 1 2 p= 30 S= √30∙9∙15∙6= 9 0√ 3 R= 21 ∙ 15 ∙ 24 4 ∙ 9 0 ∙ √ 3 = 7 √ 3 Ответ: R= 7 √ 3

Слайд 15

Задача № 4 : Дано: ∆ ABC, H А B C O BH= 12 , BH  AC , sin A= 12 13 sin C= 5 4 Найти: r Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник ABC, если высота BH равна 12 и известно , что sin A= 12 13 sin C= 5 4 О – центр , вписанной окружности

Слайд 16

Решение задачи № 4 : H А B C O 1. r = S p 2. По определению синуса из ∆ BHC , где  BHC =90 ( по условию BHAC) sinA = = BH AB 12 13 AB = 12 : = 13 12 13 3. sin С = = BH BC 4 5 BC = BH : sinC = 15 4. HC² = BC² - BH² = 225 – 144 = 81 HC = 9 5. AH² = AB² - BH² = 25 AH = 5 6. AC = AH + HC = 14 7. S∆ = ah = = 84 1 2 168 2 p = (a + b + c) = 21 1 2 2 1 r = = 4 84 Ответ : r = 4

Слайд 17

Задача №5 Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75˚ описана окружность с центром О. Найдите её радиус, если площадь треугольника BOC равна 16. Дано:  АВС, АС- основание, ВАС=75, О – центр описанной окружности, S B О C =16. Найти: R . А В С О D

Слайд 18

Решение задачи №5 В А С О D 1 .Треугольник по условию равнобедренный, проведем высоту BD , она является и медианой, Поэтому точка О принадлежит BD . 2 . ОВ=ОС = R , S BOC = 1 /2 ВО*ОС* sinBOC 3 .Треугольник вписан в окружность с центром О, значит ВОС это соответствующий центральный угол вписанного угла А и равен 150 4. 16= 1 /2 R*R*sin150  , sin150=sin30=1/2 R=8 Ответ: 8

Слайд 19

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м. Найдите больший катет треугольника Задача №6 Дано:  АВС, С=90 r=2 м, R=5 м, О 1 - центр вписанной окружности, Найти: больший катет N А В С О ₁ M K О

Слайд 20

Решение задачи №6 О – центр описанной окружности ; так как треугольник АСВ прямоугольный, то его гипотенуза является диаметром окружности, угол АС B =90  и является вписанным AB = 2R = 5 ∙ 2 = 10 м. 2. O ₁ - центр вписанной окружности : O₁K AB; O₁M AC; O₁N CB; O₁N = O₁K = O₁M = r = 2 м, СМО 1 N - квадрат 3. Отрезки BK и BN равны как отрезки касательных, проведенных из одной точки, аналогично CN = CM; AM = AK; обозначим BK = BN = x; тогда CB = 2 + x; AK = AM = 10 – x; AC = 12 – x. 4. По т. Пифагора AB ² = CB² + AC²; 10² = (2 + x)² + (12 –x)² 2x² - 20x + 48 = 0, x² - 10x = 24 = 0, x₁ = 6, x₂ = 4; AC = 12- 6 = 6; CB = 2 + 6 = 8 м. Ответ : 8 м. N А В С О ₁ M K О

Слайд 21

Периметр прямоугольного треугольника равен 72 м, а радиус вписанной в него окружности - 6 м. Найдите диаметр описанной окружности. Дано: ABC – треугольник P=72  C= 90⁰ r = 6 м Найти d описанной окружности. Задача №7 A C B 6 О M y K y 6 N x x

Слайд 22

Решение задачи №7 : ∆АВС – прямоугольный ; угол C = 90˚, Значит диаметр описанной окружности совпадает с гипотенузой т.е. d=AB 3. Обозначим отрезки BN = BK = x (OK  AB) OK=r , В N =ВК как отрезки касательных AM = MK = y P ∆ АВС = AC + AB + CB , но АС = 6+у, АВ = x + у СВ = 6+х P ∆ АВС = 6+у+х+у+6+х = 12+2х+2у = 72 (по условию) х + у = (72-12) : 2 , х + у = 30 , АВ=30 2. О – центр вписанной окружности, ON = ОМ = r = 6 По свойству касательной ON C В , ОМ ВС ; значит СМ=С N , как отрезки касательных к окружности с центром О, проведенных из одной точки, итак , четырехугольник CMON – квадрат со стороной ОМ = 6. A C B 6 О M y K y 6 N x x Ответ : 30

Слайд 23

Основание равнобедренного треугольника равно 30 м, а высота, проведённая из вершины основания – 24 м. Найдите площадь треугольника. Дано: ABC – треугольник AB=BC AC=3 см AD  BC AD=24 см Найти : S ABC A C B X X-DC 24 см D Задача № 8

Слайд 24

Решение задачи №8 : S ∆ АВС = ½ AD ∙ BC Найдём ВС, обозначим АВ = ВС = х , тогда DB = x - DC 2. Из ∆АВС найдём DC DB = x -18 S ∆ АВС = ½ 24 ∙ 25 = 300 ( м ) 2 Ответ : 300 м 2 3. ∆ABD по т. Пифагора имеем : AB = BD + AD ; BD = √ AB - AD (x – 18) = x - 24 36x = 324 + 576 4x = 100 X = 25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 DC = √ 30 – 24 = √ (30 – 24) ∙ (30 + 24) = 18 A C B X X-DC 24 см D

Слайд 25

Задача № 9 В равнобедренный треугольник АВС вписана окружность. Параллельно его основанию АС проведена касательная к окружности, пересекающая боковые стороны в точках D и E . Найдите радиус окружности , если DE = 8, AC = 18. Дано: АВС- равнобедренный, О- центр вписанной окружности DEAC , DE=8 AC=18 В D E A C Найти : r O

Слайд 26

О В D N E M A C Решение задачи № 9 1 .Четырехугольник ADEC - описанный, все его стороны касаются окружности с центром О. Стороны такого четырехугольника обладают свойством DE + AC = AD + EC. 2 . По условию отрезок DE параллелен АС, а так как треугольник равнобедренный , то AD = CE , значит DE + AC = 2AD . Отсюда AD= 13 . 3. Проведем ВМ –высоту треугольника, она является и биссектрисой, значит центр вписанной окружности О лежит на ВМ 4. Из вершины D и Е проведем перпендикуляры. К L 6 . Из треугольника ADK : DK = 12 , DK=MN =2r , r = 6 . 5 . NL=DE , AK =LC и AK+LC= 18-8=10 AK = 5 . Ответ : 6.

Слайд 27

Исторические сведения. Треугольник - самая простая замкнутая прямолинейная фигура; одна из первых, свойства которой человек узнал еще в глубокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. В строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и в других древних документах. В древней Греции учение о треугольниках развивалось в ионийской школе, основанной в VII в. до н. э. Фалесом, в школе Пифагора и других; оно было затем полностью изложено в первой книге «Начал» Евклида . Понятие о треугольнике исторически развивалось, так: сначала рассматривались лишь правильные, затем равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники. Фалес Пифагор 640 / 624 до н. э. прим. 570 до н. э. Евклид II век до н. э.

Слайд 28

Справочный материал Проекция катета на гипотенузу- отрезок (часть гипотенузы) , соединяющий основание перпендикуляра , опущенного из прямого угла и конец катета, общий с гипотенузой. Окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью . Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью . Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности . В равнобедренном треугольнике би ссект риса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.

Слайд 29

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!