Конференция    

«Н. И. Лобачевский– крупнейший русский математик»

(1792-1856г.г.)

Цель:  формирование  научно-познавательного  интереса  учащихся  к предмету.

Задачи:

1. образовательные:

  Знакомство с биографией и научными заслугами великого математика.

2. развивающие:

1.     Развитие творческих способностей учащихся.

2.     Развитие внимания, воображения, умения адаптироваться к изменяющимся ситуациям.

3. воспитательные:

воспитание нравственных качеств, аккуратности, вежливости, умения отстаивать и доказывать свою точку зрения, умения работать в коллективе.

План:      

1. Евклидова геометрия:

1. Библиографические сведения.
2. основные понятия, определения, аксиомы, теоремы
3. пятый постулат Евклида.

2. Геометрия Лобачевского.

1. Библиографические сведения.
2. Пятая аксиома (о параллельных) с точки зрения Н.И.Лобачевского.

3. Отношение современников к геометрии Н.И.Лобачевского.
4. Использование идей Лобачевского.

Конференцию проводят ученики 10 класса

Ход конференции:

Учитель: Наша с вами математическая конференция посвящена изучению жизни и деятельности великого ученого, работами и достижениями которого восхищаются и по сей день. Его открытия стали основанием для развития многих наук, в том числе и математики. Давайте же более подробно познакомимся с этим великим человеком.

Ученик.

     Ι.   Евклидова геометрия.

1.Евклид,один из крупнейших геометров древности, воспитанник школы Платона, жил в период приблизительно от 330 до 275 г.до н.э. в Египте. Известно, что расцвет его деятельности  приходится на первые годы ΙΙΙ в. до н. э.. В заметках одного арабского математика ΧΙΙ в.сообщается,что «Евклид, сын Наухрата,сына Зенарха,известный под именем «Геометр».-по происхождению грек, родом из города Тир в Сирии».

«Начала» Евклида состоят из 13 книг. Первые шесть содержат изложение планиметрии,

книги VΙΙ,VΙΙΙ,ΙΧ посвящены арифметике в геометрическом изложении. Книга Χ дана теория несоизмеримых величин. Книги ΧΙ-ΧΙΙΙ посвящены основам стереометрии.

Ученик:

     2. Евклид :

«Я начал свою книгу с того ,что даю определения тех понятий ,которыми буду пользоваться в дальнейшем. Например: «Точка есть то, часть чего есть ничто», «Линия есть длина без ширины», «Границы линии суть точки». Затем я привожу предложения, принимаемые без доказательства, которые я разделяю на постулаты и аксиомы.

Постулаты (требования):

1. Требуется, чтобы от каждой точки к другой точке можно было провести прямую.
2. И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.
3. И чтобы все прямые углы были равны.
4. И чтобы от любого центра можно было описать окружность любого радиуса.
5. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Аксиомы:

1. Равные порознь третьему равны между собой.
2. И совмещающиеся равны.
3. И если к равным прибавить равные, то получим равные.

И, наконец, я излагаю теоремы в такой последовательности, чтобы каждую теорему можно было доказать используя только предыдущие предложения, постулаты, аксиомы.»

3. Последний в списке постулатов Евклида, пятый ,привлекал особое внимание в течении многих столетий. Вот как его можно сформулировать.

Если прямая на плоскости, пересекающая два данных прямолинейных отрезка, образует с ними внутренние односторонние углы,сумма которых меньше дух прямых, то при неограниченном продолжении этих отрезков они пересекутся(и притом по ту же сторону, где лежат эти углы).

Евклид:

«Я и сам недолюбливаю этот постулат, терплю его только потому, что вовсе  обойтись 

без него мне не удается, хотя по возможности я стараюсь им не пользоваться».

Отсутствие доказательства пятого постулата в «Началах» Евклида рассматривалось многими математиками как крупнейший недостаток в его сочинении. Сотни профессиональных геометром  искали доказательства этого постулата. Но доказательство ускользало от них в тот момент, когда они уже как будто достигали цели. Решение проблемы пятого постулата оказалось неожиданным.

ΙΙ. Ученик:

1.В начале ΧΙΧв, были  получены результаты, которые  привели к решению проблемы.

Основная заслуга в этом принадлежит знаменитому русскому ученому Н.И.Лобачевскому.

        Н.И.Лобачевский родился 2 декабря 1792г. в Нижнем Новгороде. Детство  его было суровым и трудным. Первые шаги и первые детские открытия Николая не встречали одобрительных откликов родителей: все силы семьи поглощала борьба с нуждой. В 1802г. мать Лобачевского прослышала, что в Казани, куда переехала их семья, открылась гимназия .В нее принимали не только детей дворян, но и разночинцев. Она отважилась подать прошение о зачислении своих трех сыновей на казенное содержание. Все мальчики успешно прошли экзамены и были приняты. Одним из преподавателей Николая был Григорий Иванович Карташевский, который завоевал в гимназии репутацию выдающегося педагога. Уроки Карташевский вел очень интересно. Развертывая перед учениками историю геометрии еще со времен Древнего Египта, Вавилона, Греции, он объяснял ученикам, что в каждой науке наступает время, когда, чтобы двинуться дальше, надо собрать воедино все уже известное. Таким собирателем был Евклид. Поэтому он занимает исключительное место в математике. Рассказы Карташевского уже тогда завладели воображением Лобачевского.

Лобачевский окончил гимназию при Казанском университете, а затем и сам университет, после чего был оставлен там преподавателем. С 1816г. Н.И.Лобачевский- профессор того же университета, а с 1827-1846г.-ректор. Скончался Н.И.Лобачевский 24 февраля 1856г.

 2.  Этот великий русский математик впервые (в1826г.) обратил внимание на то, что геометрическая система не является чем-либо незыблемым, что ее можно, в случае необходимости изменить. В результате получится новая геометрическая система, которая ничуть не уступит по своей логической законченности, привычной всем нам евклидовой геометрии. Он первый построил неевклидову геометрию. Для этой цели он сохранил все понятия евклидовой геометрии и все аксиомы, кроме одной : аксиомы о единственности параллельной.

    В течение первых лет преподавательской деятельности Н.И.Лобачевский настойчиво пытался доказать V постулат. Заседание ученого совета было назначено на 11 февраля 1826г. Лобачевский стремительно взошел на кафедру, поправил густые , вечно спутанные волосы и уже хотел произнести  первое слово, как вдруг остановился и задумался .Все слушали внимательно. Тогда он сделал  первый решительный шаг к цели.

    Лобачевский:

«Никакая математическая наука не должна начинаться с таких  темных пятен, с каких ,повторяя Евклида, начинаем мы геометрию.  Неудачи попыток доказательства  привели меня к выводу ,что V постулат не может быть выведен из остальных постулатов геометрии. Чтобы это доказать, я построил логическую систему, в которой сохраняя основные посылки Евклида, я отвергаю V постулат и заменяю его противоположным допущением. Эта логическая система представляет собой новую геометрию. Я назвал ее «воображаемой».

Я предоставлю вашему вниманию свои рассуждения по этому вопросу. Вообразим себе временно, что существует участок вселенной, где не верна аксиома о единственности параллельной,а верна совершенно иная аксиома:

        Через любую точку(P) вне данной прямой(a) в плоскости(α),определяемой этой прямой и этой точкой,проходит более чем одна прямая,не пересекающая данную.

Прямые будем рассматривать как лучи света в оптически неоднородной среде.

Прямая CD называется параллельной прямой АВ., если эти прямые не имеют общих точек, каковы бы ни были точки P и Q,любой внутренний луч угла QPD пересекает луч QB.

Каковы же будут геометрические свойства этого участка вселенной? Об этом расскажет мой ученик.

C                     P                       b                        D

                                                                 F

   A                  Q                    a                           B

Пусть PQ ⊥ а. Точка Q разбивает прямую а на два луча:QB и QA. Рассмотрим еще прямую b, проходящую через P перпендикулярно к PQ. Согласно моей аксиоме в плоскости PQA существуют помимо прямой b ,еще хотя бы одна прямая PF ,не пересекающая прямую а. Прямая ,проходящая через Р  внутри угла DPF,также не пересечет прямую а.Итак,некоторые прямые,входящие в угол DPQ через точку Р ,не пересекают луча QB,другие(например сама прямая PQ) пересекают QB.Отсюда можно заключить ,что существует прямая PN,пограничная для прямых одного и второго типа:она отделяет те прямые,которые пересекают луч QB, от тех,которые  не пересекают.

Нетрудно доказать, что PN не может пересечь луч QB.

От «противного».

       P                                        D

                                                                                    Пусть PN ∩ QB = S

                                                                                     Тогда возьмем на луче  QB точку Т  

                                                                                     правее точки S.Луч РТ пересекает луч                                                                                                                          

                                                                                    QB в точке Т.С другой стороны он лежит

                                                                                     В угле DPN и,следовательно ,не должен    

         Q                          S                           T               пересечь луч QB. Приходим к противо-  

                                            N                                     речию.

Итак, первым следствием из аксиомы Лобачевского служит следующее утверждение:

«Через точку Р вне данной прямой (а) в плоскости (α),определяемой этой прямой и этой точкой,  проходит пучок прямых, не пересекающих данную прямую а».

Далее, треугольники и четырехугольники обладают на плоскости Лобачевского рядом специфических свойств. Так сумма углов треугольника отлична от 180°.В геометрии Лобачевского нет четырехугольников с четырьмя прямыми углами(то есть прямоугольников).

Заседание Совета окончилось в глубоком молчании .Глухая непробиваемая стена стояла между ним и людьми, сидевшими в сумрачном зале. Так завершился этот день – день рождения новой науки, который как праздник человеческого ума отмечали все последующие поколения ученых.

ΙΙΙ. Ученик: Мало кто из современников понял идеи Н.И.Лобачевского. Его ценили как большого знатока математики, как великолепного организатора, но научные идеи не были поняты.

Попечитель Казанского учебного округа Магнитский, пытавшийся разгромить университет в Казани, направил рукопись «Геометрия» без указания имени автора академику  Н.И.Фуссу на отзыв. Отзыв Фусса был резко отрицательным. Он обвинял автора в том, что в рукописи отсутствуют точные и ясные определения всех понятий. «Геометрия» Лобачевского не была учебником элементарной геометрии, она предназначалась для тех, кто уже изучил начальный курс геометрии. В предисловии Лобачевский этого не указал, и Фусс принял обзорный курс за элементарный учебник геометрии. В первых пяти главах Лобачевский отобрал материал ,который в планиметрии и стереометрии не зависит от V постулата, т.е. принадлежит абсолютной геометрии. Такое разделение вызвало недоумение Фусса, который был далек от понимания этих взглядов.

Магницкий в своем ответе Лобачевскому рекомендовал ему исправить помянутое сочинение. Обиженный Лобачевский не сделал этого и даже не взял рукопись обратно. Отказ в издании был тяжелым ударом для Лобачевского.

Только после смерти Лобачевского его труды увлекли многих видных математиков, таких как Клейн, Пуанкаре, Гильберт и др. Оказалось, что работы Лобачевского представляют собой новый этап в развитии естествознания(недаром английский математик ΧΙΧв. Клиффорд назвал Лобачевского Коперником геометрии).Надо заметить ,что примерно одновременно с Лобачевским такую же геометрическую систему построили  Янош Бойяи(Вегрия,1801-1862) и К.Ф.Гаусс(1777-1855).

 В 1871 г. немецкий математик Ф.Клейн  в работе «О так называемой неевклидовой геометрии» доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского, чем устранил последние сомнения в ее правоте.

Геометрию Лобачевского можно осуществить  в образах евклидовой геометрии.  На это обратил внимание известный французский математик Анри Пуанкаре.

«Вообразим себе такую картину. Пусть где-то ,в далекой от нас области космоса живут разумные существа. Плоская область, которая им доступна, представляет собой круг громадного радиуса. Эта область неоднородна в оптическом отношении; чем ближе к граничной окружности ,тем среда плотнее, тем медленнее распространяется свет. Разумные существа считают « прямыми линиями» те линии ,по которым распространяются световые лучи. «Точками» они называют только точки той круговой области, которая им доступна. Оказывается, что выбранные  таким образом «точки» и «прямые» удовлетворяют всем аксиомам планиметрии Лобачевского».

Итак, представьте себе…Например, степь где-нибудь на Украине…Вокруг только снег или трава. А вдали- линия горизонта. Горизонт-окружность-абсолют. Он –недоступен. Но внутри абсолюта все видно. Точки ведут себя очень хорошо: через две проходит одна и только одна прямая. А вот прямые…Они ограничены абсолютом и поэтому «коротковаты» по сравнению с евклидовыми. Как же обстоит дело с пересечением прямых?

                                                                            1 и 2 –пересекаются

                                                                            3 и 4 –не пересекаются

                                                                            m и n –параллельные к прямой  u  

Кроме того было замечено, что существует такая поверхность ,на которой выполняется

планиметрия Лобачевского .Обратимся к такой картине.

Вообразим ,что в точке О находится охотник ,в точке С- его собака. Пусть охотник шагает по прямой  MN,а его собака следует за ним, оставаясь все время на одном  и том же расстоянии(а).Когда охотник будет в своем движении описывать прямую MN,его собака опишет некую линию ,которая называется линией преследования или по-латыни трактриссой. Вращая эту трактриссу вокруг прямой MN, получим поверхность, называемую псевдосферой. Среди разнообразных линий на псевдосфере выберем «линии

Кратчайших расстояний».Если такие линии назвать прямыми, то можно убедиться ,что на этой поверхности выполняется геометрия Лобачевского.

                                                          С

                                                             а

                                                                               а

                            M                         О                                                    N  

4.Заключение.

Учитель:

Изобретение неевклидовой геометрии имело большое философское значение: оно показало,что ошибочен взгляд философов-идеалистов, считавших что существуют истины, которые присущи нашему сознанию до всякого опыта ,и приводивших в качестве примеров таких истин аксиомы евклидовой геометрии. Идея Лобачевского дала толчок к тому, чтобы были рассмотрены логические основы элементарной геометрии.

Противникам Лобачевского пришлось замолчать, сомневающимся – обрести веру.

«Воображаемая» геометрия  стала реальностью.