Урок геометрии в 11 классе "Объем конуса"
методическая разработка по геометрии (11 класс) по теме

Тема урока: «Объем конуса».                          

Цели урока:

        Обучающая: вывести формулу объёма конуса, показать связь между элементами конуса в процессе решения задач, показать связь темы с окружающим миром.

       Развивающая: способствовать формированию приёмов критического мышления, сознательному восприятию учебного материала.

       Воспитательная: воспитывать познавательную активность,  приобретение опыта  работы в паре.

Тип урока:   урок изучения нового материала.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Звучит эпиграф к уроку: «Искра знаний возгорится в том, кто достигнет понимания собственными силами».
Бхаскара (индийский математик XII века)

2. Интеллектуальная разминка.

Каждой паре учащихся раздаются кроссворды (рисунок 1, рисунок 2). Необходимо угадать принцип составления кроссвордов и зашифрованные слова. Слова означают геометрические термины, относящиеся к стереометрии.

Кроссворд-фантом

                 Рисунок 1

Кроссворд

                                        Рисунок 2

3. Повторение ранее изученного материала.

1. Заполнение опорных листочков. (Заранее раздается каждому ученику листочек – заготовка.).

2. Учащимся предлагается заполнить лист с заданиями.

Карточка.

1. Нанесите на рисунок основные элементы конуса.

2. Изобразите а) осевое сечение конуса;  б) сечение конуса плоскостью, проходящей перпендикулярно оси цилиндра; в) сечение конуса плоскостью,  проходящей через образующие конуса. Какая фигура получается в каждом случае?

3. Запишите формулу для вычисления площади поверхности конуса.

4. Все о конусах (презентация)
5.  Историческая справка

Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди

знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда

(287–212 гг. до н. э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме

общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого

принципа Демокриту (470–380 гг. до н. э.) – древнегреческому

философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для

вычисления объема пирамиды и конуса.

Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до н. э.). Платон был

учеником Сократа (470–399 гг. до н. э.). Он в 387 г. до н. э. основал в Афинах

Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий в Академию, читал надпись:

«Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии». Школе Платона, в частности,

принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б)

изучение конических сечений.

Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским (260–170

гг. до н. э.) – учеником Евклида (III в. до н. э.), который создал великий труд

из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются и по сей день, а в школах

Англии по ним учатся до сих пор.

6. Объяснение нового материала.

Вопрос ученикам:

Подумайте: Если вам  дать ведро цилиндрической формы и ведро в форме конуса, у которых одинаковые высоты и площади оснований, и если бы вас попросили набрать воды в ведро с формой конуса и перелить эту воду в ведро цилиндрической формы, то сколько раз вы смогли бы проделать переливание до того, как цилиндрическое ведро полностью заполнится?

Для того, чтобы вычислить это, необходимо знать формулу для нахождения объема конуса.

Теорема.  Объем конуса равен одной трети произведения основания на высоту.

 Дано: конус,  S -площадь его основания,

h- высота конуса

 Доказать V=1\3Sh

 Доказательство

 Введем ось Оx: так, как показано на рисунке  (ОМ — ось конуса). Произвольное сечение конуса плоскостью, пер пендикулярной к оси Ох, является кругом с центром в точке М1 – точке пересечения этой плоскости с осью Ох. Обозначим радиус этого круга через R1, а площадь сечения через S(х), где х — абсцисса точки М1. Из подобия прямоугольных треугольников ОМ:A1 и ОМА

следует, что                       , откуда              ,  R1=       .

Поскольку сечением является круг, то S(х)=(R1)2 , тогда

7. Физкультминутка.

8. Графический диктант.

Ответьте на вопросы. Если вы согласны с ответом или утверждением, то поставьте “__”, иначе “”.

1. Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите образующую. Ответ: 5 м.(ДА)
2. Объём конуса Vк = Socн*Н (НЕТ)
3. Объём цилиндра Vц = 1/3*R2 (НЕТ)
4. Конус имеет два основания (НЕТ)
5. Площадь круга  Ѕ =R2(ДА)
6. Длина окружности С=2R (ДА)
7. MNK прямоугольный ,  К = 450, катет KN = 8. Найдите длину катета MN. Ответ: 8. (ДА)
8. Высота конуса равна 6, радиус основания равен 8. Найдите боковую поверхность. Ответ: 80. (НЕТ)

ПРОВЕРКА: (самопроверка) _ _ _ _

9. Самостоятельное решение задач в парах.

№1. Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1м3 земли имеет массу 1650 кг? 

№2. Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10см с образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить десятилитровое  ведро?

№3. Верхняя часть башни имеет форму конуса, радиус основания которого    а образующая 9 м.

Боковую поверхность конуса планируется покрыть мозаикой. Сколько мешков клея потребуется купить для выполнения этой работы, если расход клея 5 кг на   и в одном мешке 25 кг клея.

Решение:

Дополнительные задания:

В9 (Задачи ЕГЭ)

1. Радиус основания первого конуса в 3 раза меньше, чем радиус основания второго конуса, а образующая первого конуса в 2 раза больше, чем образующая второго. Чему равна площадь боковой поверхности первого конуса, если площадь боковой поверхности второго равна 18 см2?

               (Ответ: 12)

2. Объем цилиндра равен 12см3. Чему равен объем конуса , который имеет такое же основание и такую же высоту, как и данный цилиндр?

                (Ответ: 4)

10. Домашнее задание: 1. Выучить доказательство формулы объёма пирамиды.

                              2.Решить задачу:

Сколько квадратных метров брезента потребуется для сооружения палатки конической формы высотой 4 метра и диаметром основания 6 метров?

                             3. Придумать задачу по теме «Конус», условие которой связано с военным делом. Почему пожарные ведра имеют форму конуса?

9. Подведение итогов урока.

Учитель: У Яна Амоса Коменского есть такое высказывание: «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и не прибавил к своему образованию». Я думаю, что для вас прошедший урок – счастливый час!

Подводя итог сказанному детьми, учитель ещё раз подчёркивает связь математики с окружающим миром и необходимость математических знаний в положительном преобразовании окружающего мира.