Урок геометрии в 8 классе по теме "Теорема Пифагора"
методическая разработка по геометрии (8 класс) по теме

Урок геометрии в 8 классе по теме «Теорема Пифагора»

Цели урока:

1. Обеспечить понимание содержания учебного материала всеми учащимися.
2. Формировать умение учащихся делать выводы по результатам анализа.
3. Формировать умение учащихся проводить доказательства теоремы Пифагора и ей обратной.
4. Формировать умение учащихся применять доказанные теоремы при решении задач.
5. Научить детей самостоятельно добывать знания.
6. Способствовать развитию у учащихся познавательных и исследовательских умений.
7. Содействовать развитию эмоциональной сферы, монологической речи учащихся.
8. Содействовать развитию памяти.
9. Содействовать развитию элементов творческой деятельности как качеств личности.

10. Создать в классе условия для успешного восприятия, запоминания и применения учебного материала.

11. Повышать культуру общения.

12. Содействовать воспитанию положительного отношения к знаниям и процессу учения.

13. Содействовать воспитанию средствами учебного занятия уверенности в своих силах.

Оборудование: портрет Пифагора; чертежи для доказательства теоремы; таблицы «Пифагоровы тройки чисел»; презентация к уроку (Приложение1)

Эпиграф к уроку «Как хорошо, когда благоденствие человека основано на законах разума»

                                                                                                                               Пифагор.

Ход урока

I Организационный этап

Сообщаю учащимся, что сегодня мы проводим учебное занятие в форме урока-семинара по теме «Теорема Пифагора». Готовились все дети, задания были даны с учетом индивидуальных возможностей, консультации были проведены. Результаты самостоятельной работы учащиеся должны были оформить в виде докладов, рефератов и т. д. (сдают свои работы).

II Изучение нового материала

Мы с вами сегодня будем изучать теорему Пифагора. А кто же такой Пифагор? Давайте послушаем сообщение об этом ученом (учащийся делает доклад).

1) Рассказ о Пифагоре  (приложение2)

Учитель: в выступлении мы услышали про пифагорейский союз. Давайте послушаем более подробно об этом союзе.

2) Пифагорейский союз (приложение3)

Учитель: у кого есть какие дополнения?

3) Дополнение 1 (учащийся): Как мы уже услышали, отличительным знаком членов школы Пифагора была пентаграмма. Пентаграмма – правильный невыпуклый пятиугольник, она же правильный звездчатый пятиугольник или правильная пятиугольная звезда. Она известна, узнаваема и любима нами с детства. Форму пятиконечной звезды имеют многие цветы, морские звезды, вирусы и т. д. Человеческое тело также можно рассматривать как пятилучевую фигуру, где лучами служат голова, руки и ноги. В переводе с греческого пентаграмма означает дословно пять линий. Пифагорейцы отличались исключительной верностью своему братству. Сохранилась легенда, согласно которой один из пифагорейцев, тяжело заболев, попросил хозяина дома, приютившего его, нарисовать на воротах пентаграмму. Проходивший мимо дома другой пифагореец ее увидел и щедро расплатился с хозяином. Конечно, пифагорейцы не случайно выбрали пентаграмму. Они считали, что этот красивый многоугольник обладает многими мистическими свойствами. Например, число лучей этой звезды представлялось пифагорейцам как число любви: 5 = 2 + 3; 2 – первое женское число, 3 – первое мужское число. Именно поэтому пентаграмма являлась символом жизни и здоровья, ей присваивалась способность защищать человека от злых духов.

4) Дополнение 2 (учитель): Пифагорейцы боготворили пентаграмму. Сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира, посылая пифагорейский привет своим согражданам и иноземным гостям. Пифагорейцы жили по определенным заповедям (акусмам) (нам тоже не помешало бы придерживаться этих заповедей, хотя им уже около двух с половиной тысяч лет):

1. Не делай того, чего не знаешь.
2. Поступай так, чтобы впоследствии не огорчаться и не раскаиваться.
3. Приучайся жить просто, без роскоши.
4. Мечом огня не разгребай (то есть не раздражай гневающегося).

5) Музыкальная пауза.

(Звучит музыка – композиция «Тени» Демиса Руссоса). Под музыку слова учителя. Древние египтяне были замечательными инженерами. Вы, наверное, слышали о пирамидах – огромных гробницах египетских царей (фараонов). В Египте насчитывается около 80 пирамид, расположенных на западном берегу Нила. Математика нужна была вавилонянам при строительстве дворцов и сооружений. Главным центром науки в III веке до новой эры стал египетский город Александрия, названный в честь знаменитого полководца Александра Македонского. После его смерти в Египте начала царствовать династия Птоломеев. Символично, что Демис Руссос, композицию которого вы сейчас слышите, родился в г. Александрии в Египте, а сам он по национальности грек. Его композиция «Тени» соединяет ранее живших людей с нынешним поколением. Греческие мастера строили дворцы и храмы. (Демонстрируется изображение античных дворцов, храмов, египетских пирамид под музыку).

Я предлагаю вам посмотреть три памятника искусства Древней Греции. Великое античное наследие по праву может считаться основой всего дальнейшего европейского искусства. Конечно, время наложило свой отпечаток на многие из этих памятников. Храмы разрушались во время войн, и все-таки, даже в поврежденном виде, многие эти произведения до сих пор оказывают сильное воздействие на человека, волнуют его, радуют, но никогда не оставляют равнодушным (слайды 3-8)

6) Постановка проблемы.

Предлагаю учащимся задачу: Один из катетов прямоугольного треугольника равен 4, а гипотенуза равна 5. Можно ли, не пользуясь построением, найти второй катет? Учащиеся осознают, что они не могут этого сделать, хотя в принципе гипотенуза определяется однозначно. Таким образом, дети ощутили ограниченность своих знаний. Говорю учащимся, что сегодня на уроке  мы познакомимся с теоремой Пифагора, которая позволит существенно расширить круг геометрических задач. С помощью этой теоремы вы сможете, зная два катета, находить гипотенузу; зная гипотенузу и катет, находить второй катет. Это утверждение было известно задолго до Пифагора, возможно, за тысячелетие до него. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы. Давайте послушаем, какую историю имеет теорема Пифагора.

7) История теоремы Пифагора (сообщение учащегося). Существует много легенд о появлении теоремы Пифагора. Рассказывают, что когда Пифагор доказал свою знаменитую теорему, он отблагодарил богов, принеся им в жертву сто быков. Известный немецкий писатель-романтист А. Шамиссо писал:

Пребудет вечной истина, как скоро

Все познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век.

Обильно было жертвоприношенье

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За свет луча, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор,

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, ее почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать,

А могут лишь, закрыв глаза, дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.

Мы видим ликование, которое охватило автора открытия. И важно не само свойство прямоугольного треугольника, а то, что оно было установлено не случайно, не опытом, не измерением, а исключительно путем доказательства, то есть усилием человеческого разума. Так что жертва богам была бы вполне уместна. Однако пифагорейцы верили в переселение душ (то есть допускали, что после смерти человека его душа может переселиться в животное), поэтому были последовательными вегетарианцами, а значит, ни о каком резании быков и речи быть не могло.

8) Доказательство теоремы 1 и 2 (учащиеся).

Теорема Пифагора широко применяется. Причина такой популярности теоремы триедина: красота, простота, значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но очевидна. Она очень широко применяется в геометрии на каждом шагу. И тот факт, что существует около 500 способов ее доказательств, свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теореме. Увы, от этого доказательства не сохранилось никаких следов. Поэтому предлагаю рассмотреть некоторые классические доказательства, известные из древних трактатов.

Итак, теорема Пифагора: Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах

а) Простейшее доказательство теоремы  получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и началась теорема. В самом деле, достаточно просто  посмотреть на схему равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ∆АВС:  квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах – по два рис. 1 (приложение4). Теорема доказана.

б) Древнекитайское доказательство. Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции второго в. до н. э. Дело в том, что в 213 г. до н. э. китайский император Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во втором в. до н. э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается воссоздание древних книг. Так возникла «Математика в 9-ти книгах» - главное из сохранившихся математико-астрономических сочинений. В 9-ой книге «Математике» помещен чертеж, доказывающий теорему Пифагора. На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, в, гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а + в, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе. Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в 2 прямоугольника, то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны равна с2, а с другой равна а2 + в2. Теорема доказана. рис. 7 (приложение4)

в) (Древнеиндийское). В квадрате со стороной а + в изображали четыре прямоугольных треугольника с катетами а и в, после чего писали одно слово «Смотри». Видим, что слева свободная от треугольников фигура, состоящая из двух квадратов со сторонами а и в, соответственно ее площадь равна а2 + b2, а справа – квадрат со стороной с – его площадь с2. Значит, а2 + b2 = с2, что и составляет утверждение теоремы Пифагора.

9) Теорема Пифагора.

Теорема Пифагора замечательна тем, что сама по себе вовсе не очевидна. Сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что его стороны а, в, и с связывает простое соотношение: с2 = а2 + b2   рис. 2 (приложение4)

Итак, сформулируйте теорему Пифагора на языке математики (В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов).

Записать условие и заключение теоремы (учащиеся записывают самостоятельно).

Дано: ∆АВС   < С = 900

           АВ = с, АС = в, ВС = а.

           Доказать: с2 = а2 + b2

                                 Доказательство.

Дополнительное построение: квадрат со стороной а + b рис. 3 (приложение4)

План доказательства:

1. Записать площадь квадрата со стороной а + b ((а + b)2).

2. Сравнить треугольники Т1, Т2, Т3 и Т4 (они равны как прямоугольные по двум катетам).

3. Выяснить, какой фигурой является фигура Т и почему? (квадрат; Т1 = Т2 = Т3 = Т4  => Т – ромб с равными сторонами с; α + β = 900,  γ = 1800 – (α + β) = 1800 – 900 = 900).

4. Найти площадь квадрата Т и сумму площадей треугольников (с2 и 4 · 14. Найти площадь квадрата Т и сумму площадей треугольников (с2 и 4 ·  · аb).

5. Применяя свойство 2 измерения площадей, составить равенство

( (а + b)2 = с2 + 4 ·· аb; а2 + 2аb + b2 = с2 + 2аb => с2 = а2 + b2).

Есть забавное стихотворение И. Дырченко, которое помогает запомнить формулировку теоремы Пифагора.

Если дан нам треугольник,

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем.

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим –

И таким простым путем

К результату мы придем.

Для формирования умения применять теорему с учащимися устно решаем №483(а), №484(а и г), №486(а) по учебнику Атанасяна.

10) Алгоритм решения задач с применением теоремы Пифагора.

Давайте с вами составим алгоритм решения задач с применением теоремы Пифагора (слайд 9):

1. Указать прямоугольный треугольник.

2. Записать для него теорему Пифагора.

3. Выразить неизвестную сторону через две другие.

4. Подставив известные значения, вычислить неизвестную сторону.

11) Задания на применение теоремы Пифагора рис.8 (приложение4)

12) Теорема, обратная теореме Пифагора с проверкой домашнего задания. Давайте с вами вернемся на несколько уроков назад. Мы изучали тему «Задачи на построение. Параллелограмм». У нас была задача: построить параллелограмм по трем элементам: длине, ширине и его диагонали. Анализируя данную задачу, мы пришли к выводу, что сначала нужно построить треугольник по трем элементам. При построении треугольника у некоторых из вас получился прямоугольный треугольник и возник вопрос: почему? Была создана проблемная ситуация. Теперь настало время вернуться к данной проблеме. Кроме того, на дом было задание: построить треугольник по трем сторонам: а) 3, 4, 5; б) 6, 8, 10; в) 5, 12, 13. Измерить больший угол этих треугольников. Мы видим, что ответы близки к 900. Треугольники у всех расположены по-разному, длины сторон разные, а результаты у всех получились примерно одинаковые. Кто из вас сейчас готов ответить на вопрос: в каком случае треугольник будет прямоугольным; от чего это зависит? (зависит от длины сторон треугольника). Какое условие должно выполняться? (с2 = а2 + в2). Что мы получили? (Мы получили теорему, обратную теореме Пифагора). Сформулируйте эту теорему. (Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный). (Доказать теорему предлагаю дома для I и II групп, а для III группы составить план доказательства).

13) Решение №498(а, д, е) устно на закрепление данной теоремы

14) Пифагоровы треугольники рис. 4 (приложение4). Если стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4, 5, то этот треугольник прямоугольный, а если равны этим числам, то его называют египетским. Этот факт использовался египтянами для построения на местности прямых углов – ведь оптических измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и тем более гигантских пирамид надо было уметь строить прямые углы. Таким образом, безошибочность построения прямых углов следует из теоремы, обратной к теореме Пифагора: 32 + 42 = 52. Иначе говоря, числа 3, 4, 5 – корни уравнения х2 + у2 = z2. Сразу же возникает вопрос: нет ли у этого уравнения других целочисленных решений? Прямоугольными являются также треугольники со сторонами 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25, что соответствует теореме, обратной к теореме Пифагора: 132 = 52 + 122; 172 = 152 + 82; 252 = 242 + 72.

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками. Можно сказать, что катеты а, b и гипотенуза с таких треугольников выражаются формулами: а = 2mn, b = m2 – n2, c = m2 + n2, где m и  n – любые натуральные числа, такие, что m > n.

III Задания на закрепление нового материала

1) Устная работа

Не выполняя предложенных заданий, определить, когда необходимо воспользоваться теоремой Пифагора, а когда обратной к ней.

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза и катет соответственно равны 13 и 5. Найдите второй катет.
2. Определите вид треугольника, стороны которого равны 8, 15 и 17.
3. В прямоугольном треугольнике катеты равны 1,5 и 2. Найдите гипотенузу.

2) Применение теоремы Пифагора

                                                  №489

 Дано: ∆АВС  АВ = ВС = АС = а

                                            Доказать: S = а2 Доказать: S =

                                          Доказательство рис. 5 (приложение4)

1. Проведем ВD┴АС

2. ∆АВD (< D = 900): ВD2 = АВ2 – АD2

3. АD = DC =

4. ВD2 = а2 – а2/4 = (4а2 – а2)/4 = 3а2/4; ВD = а4. ВD2 = а2 –  =  = ;   ВD = .

5. S =  · АС · ВD =  · а · а/2 = а2/4 (запомнить!).

IV Итоги урока и рефлексия

1) Вычислить сторону ∆КРR рис. 6 (приложение4) (вычислить нельзя).  Необходимо обращать внимание на случаи,   когда не хватает данных для решения. Если не ясно, какой вид имеет треугольник, то теорема Пифагора неприменима.

2) Что нового мы узнали на уроке? Чему мы научились?

3) Получили формулу площади равностороннего треугольника: а23) Получили формулу площади равностороннего треугольника: .

4) если <С = 900, то с2 = а2 + в2;

5) если с2 = а2 + в2, то <С = 900.                      

6) Выставляются отметки учащимся за работу на уроке. Сообщаю, что все творческие работы будут оценены и отметки дети узнают на следующем уроке.

V Домашнее задание

n. 54, 55 Знать теорему Пифагора и ей обратную, уметь их доказывать

Продолжить работу по решению задач (применяя изученную тему).

Пифагор Самосский (около 570-500 до н.э.)

О жизни Пифагора известно немного. В VI в. до н. э. в Древней Греции жил ученый по имени Пифагор родом из Самоса. Пифагор покинул свой родной остров Самос в Эгейском море у берегов малой Азии в знак протеста против тирании правителя и уже в зрелом возрасте (40 лет) появился в греческом городе Кротоне на юге Италии. Пифагор и его последователи – пифагорейцы – образовали тайный союз, игравший немалую роль в жизни греческих колоний в Италии. Пифагорейцы узнавали друг друга по пятиугольной пентаграмме. Они верили, что в числах спрятана закономерность всего мира. Числа, равные сумме своих делителей, считались совершенными (6, 28, 496, 8128), дружественными называли пары чисел, из которых каждое равнялось сумме делителей другого (220, 284). Пифагор впервые разделил все числа на четные и нечетные, простые и составные. В его школе были подробно рассмотрены «пифагоровы тройки натуральных чисел», у которых квадрат одного равнялся сумме квадратов других чисел. Пифагору приписывается высказывание: «Все есть число». К числам (а он имел в виду лишь натуральные числа) он хотел свести весь мир, и математику в частности. Но в самой школе Пифагора было сделано открытие, нарушавшее эту гармонию. Было доказано, что  не является рациональным числом, то есть не выражается через натуральные числа. Следует заметить, что Пифагор считал Землю шаром, движущимся вокруг Солнца по определенной траектории – орбите. Когда в XVI веке церковь начала ожесточенно преследовать учение Коперника, это учение именовалось «пифагорейским».

Пифагорейский союз – философская школа закрытого типа. Каждый вступающий в него отрекался от имущества и давал клятву хранить в тайне учение основателя. В школе существовало правило, по которому авторство всех работ приписывалось Пифагору. Так что достоверно неизвестно, какие открытия принадлежат самому ученому. Учение Пифагора, противоречившее народной религии, хранилось в тайне. Ученикам Пифагора предстояли годы испытания, пока дозволялось им вступить в заветный круг посвященных. Ученики с женами и детьми жили вместе с наставником; вставали рано при первых лучах солнца, с торжественными песнями и музыкой, отправлялись навстречу великолепному светилу. После того философ сообщал им сведения о важнейших предметах человеческого знания, особенно же часто занимал их математикой, в области которой Пифагору принадлежат многие важные теоремы. Простой завтрак, состоявший из хлеба с медом и водою, следовал за утренними телесными упражнениями и играми; дружеский разговор, беседа о государственном устройстве наполняли остальные часы дня. Вечер посвящался купанью, ужину, пению и музыке. Такой образ жизни располагал сердца приверженцев Пифагора к добру, исполнял их невозмутимым спокойствием, и великий наставник мечтал влиянием своей школы преобразовать постепенно весь народ по своей идее. Случилось иначе. Именно само учение, основания которого были недоступны народу, - все это вместе подготовило постепенно в народе чувство неприязни к секте и озлобления. Народ приступил к жилищам пифагорейцев и зажег их. Кто не погиб в пламени, тот не спасся от меча. Очень немногие, в том числе и знаменитый силой Милон, успели ускользнуть от ярости народной, но должны были навсегда покинуть родной город. Впрочем, братство не погибло, но втайне, а впоследствии и явно, приобретало приверженцев, и, хотя никогда уже не достигало такого значительного влияния над обществом, как вначале, тем не менее, идеи великого основателя пифагореизма не погибли: они отразились в учении последующих времен. Пифагор умер вскоре после того, как рассеялся его союз. В Метапонте находится его гробница.

         рис. 1                                                            рис. 2            

                                     рис. 3      

Некоторые пифагоровы тройки чисел

рис. 4

                       рис. 5                                                                                                                 рис. 6

                                                рис. 7

                                                                 рис. 8