Законы сохранения в механике
материал для подготовки к егэ (гиа) по физике (10, 11 класс)

Законы сохранения в механике.

Нередко учащиеся, хорошо зная закон сохранения импульса и закон сохранения энергии по отдельности, испытывают затруднения при необходимости использовать эти законы вместе в рамках одной задачи. Причем чаще всего ускользает от внимания закон сохранения импульса. Хотя бывает и наоборот.

Рассмотрим несколько конкретных примеров совместного применения этих законов.  

Задача №1.

В брусок массой М, висящий на параллельных нитях длиной l, попадает горизонтально летящая пуля массой m и застревает в нем. В результате удара каждая нить отклоняется на угол α. Найдите начальную скорость пули.

Угол отклонения нити α связан с высотой h, на которую поднимается брусок:

h = l (1-cosα),

А высоту h можно связать с потенциальной энергией бруска и пули в конечном состоянии:

Ep = (M+m)gh.

Выполняется ли в данной ситуации закон сохранения механической энергии? Другими словами, равна ли энергия системы в конечном состоянии её начальной энергии, т.е. кинетической энергии пули   ? ответ, конечно, отрицательный. Ведь мы знаем, что при неупругом ударе часть механической энергии переходит во внутреннюю.

Рассмотрим промежуточное состояние системы – сразу после окончания удара, когда пуля уже застряла в бруске, но нити ещё вертикальны. Энергия системы в этом состоянии представляет собой просто кинетическую энергию бруска с пулей:

Ek =

где u – их общая скорость. После того, как неупругий удар уже закончился, энергия больше теряться не будет, и можно записать

Ep = Ek

или

 = (M+m)gh

Скорость u можно связать с начальной скоростью пули с помощью закона сохранения импульса:

mv = (M+m)u

Из последних двух уравнений, с учётом выражения для h, имеем

v = 2 (1+ ) sin

 Заметим, что в этой задаче законы сохранения и импульса работают не одновременно, а как бы по очереди.

Задача №2.

Два шарика, сделанные из одного материала и имеющие массы m1 и m2, движутся навстречу друг другу со скоростями v1 и v2. На сколько возрастёт температура шариков после лобового абсолютно неупругого удара, если удельная теплоёмкость шариков с? Начальные температуры шариков были одинаковы.   

Изменение температуры шариков определяется увеличением их внутренней энергии:

ΔEвн = c (m1+m2) Δt

Иногда учащиеся считают, что в результате удара вся кинетическая энергия системы переходит во внутреннюю. При этом забывают, что шарики не смогут остановиться после удара, т.к. это противоречило бы закону сохранения импульса (начальный импульс системы не равен нулю). Значит, при подсчете энергии надо учесть и кинетическую энергию шариков в конечном состоянии.

Обозначим скорость слипшихся шариков через v и запишем законы сохранения энергии и импульса, точнее – проекции импульса на направление движения первого шарика:

 +  =

m1v1 – m2v2 = (m1+m2) v

Решая совместно полученные три уравнения, находим искомое увеличение температуры:   

Δt = 

Задача №3.

На бруске длиной l и массой M, расположенном на гладкой горизонтальной поверхности, лежит маленькое тело массой m. Коэффициент трения между телом и бруском µ. С какой скоростью должна двигаться система, чтобы после упругого удара бруска о стенку тело упало с бруска?

Удар бруска о стенку приведет к тому, что его скорость скачком изменится на противоположную. Скорость же тела за время удара измениться не успеет, и оно начнет скользить по бруску.

Найдем, на какое расстояние х переместится тело относительно бруска до окончания скольжения. x > l  - условием падения тела с бруска. С расстоянием х связана работа силы трения скольжения

Aтр = -µmgx,

которая, в свою очередь, равна изменению кинетической энергии системы:

Aтр =  – (+ )

Здесь u – скорость бруска с телом в тот момент, когда тело останавливается относительно бруска. Эту скорость можно найти из закона сохранения импульса

Mv – mv = (m+M) v.

Решая совместно все три уравнения, получаем

x =

Условие x > l позволяет найти искомую скорость:

v = ).