ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ
консультация по физике (11 класс) на тему

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ

В физике и технике не существует абсолютно точных приборов и других средств измерения, следовательно, нет и абсолютно точных результатов измерения. Однако измерять все же приходится. Насколько можно доверять полученным результатам ? В этом разделе мы попробуем в этом разобраться.

I. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ

Абсолютная погрешность.

Начнем с простого примера.

Пусть диаметр болта, измеренный штангенциркулем, оказался равным 14 мм. Можно ли быть уверенным, что он пройдет в “идеальное”отверстие того же диаметра? Если бы этот вопрос был поставлен в чисто ”математическом“ виде, то ответ был бы утвердительным: пройдет “в претирочку”. На практике может получится иначе. Диаметр равный 14 мм был получен с помощью реального прибора у которого есть погрешности. Так что было бы правильней говорить, что мы получили приближенное значение диаметра - . Каково же его истинное значение? На этот вопрос ни один человек не сможет дать ответ. Максимально что можно сделать в этой ситуации, это указать границы около приближенного результата, внутри которых находится истинное значение диаметра. Эта граница называется границей абсолютной погрешности и обозначается (её так же часто называют просто абсолютной погрешностью). Так что в нашем примере болт может как пройти в отверстие, так и не пройти в него: все зависит от того, в каком месте интервала находится истинное значение диаметра. На рисунке 1 показан случай, когда болт в отверстие не пройдет.

Ёще раз подчеркнем: абсолютная погрешность показывает, насколько неизвестное экспериментатору истинное значение измеряемой величины может отличаться от измеренного значения. Результат измерения записывают так:

Относительная погрешность.

Граница абсолютной погрешности не в полной мере характеризует результат измерения. Пусть, например, в результате измерений установлено, что длина стола равна см, а толщина его крышки см. Хотя граница абсолютной погрешности измерений в этих двух случаях одинакова ясно, что качество измерений в первом случае выше.

Качество измерений характеризуется относительной погрешностью , равной отношению абсолютной погрешности к значению величины , получаемой в результате измерения: .

Так как погрешности возникают при любых измерениях, то сначала их систематизируем. При проведении практических работ выделяют следующие виды погрешностей:

а) погрешности прямых измерений;

б) погрешности косвенных измерений;

в) случайные погрешности;

г) систематические погрешности.

Начнем с ними разбираться по порядку.

2. Погрешности прямых измерений

Прямое измерение.

Это такое измерение, в котором результат находится непосредственно в процессе считывания со шкалы (или показаний цифрового прибора). В нашем первом примере речь шла как раз о таком измерении.

Если вы умеете правильно пользоваться измерительным прибором, то погрешность прямого измерения (обозначается значком ) зависит только от его качества и складывается из инструментальной погрешности прибора - и погрешности отсчета -. Таким образом =+

Инструментальная погрешность определяется на заводе-изготовителе. Например, динамометр для лабораторных работ имеет погрешность = 0,05 H, амперметр и вольтметр для лабораторных работ - =0,05 А и = 0,15 В соответственно. Абсолютные инструментальные погрешности большинства приборов, используемых для проведения практических и лабораторных работ приведены в таблице 1.

Таблица A

Погрешность отсчета связана с тем, что указатель прибора не всегда точно совпадает с делениями шкалы (например, стрелка на шкале вольтметра). В этом случае погрешность отсчета не превосходит половины цены деления шкалы. Т.е. принимают , где с - цена деления шкалы:.

Учитывать погрешность отсчета надо только тогда, когда при измерении указатель прибора находится между нанесенными на шкалу прибора делениями. Совсем не имеет смысла говорить, и тем более пытаться учитывать, погрешности отсчета у цифровых приборов.

Обе составляющее погрешности прямого измерения следует учитывать лишь в том случае, если они близки друг к другу. Любым из этих слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит 1/3-1/4 от другого. В этом состоит так называемое правило "ничтожных погрешностей".

Отметим некоторые особенности определения инструменнтальных погрешностей электроизмерительных приборов и расчет погрешности при взвешивании.

Инструментальные погрешности электроизмерительных приборов.

Если во время выполнения работы приходится пользоваться электроизмерительными приборами, не указанными в таблице 1, то инструментальную погрешность прибора можно определить следующим способом.

Каждый электроизмерительный прибор в зависимости от качества изготовления имеет определенный класс точности. Значение класса точности наносится на его шкалу (изображается числом в кружке), который позволяет определить погрешность этого прибора. Пусть, класс точности миллиамперметра 4, а предел измерения этим прибором равен 250 мА; тогда абсолютная инструментальная погрешность прибора составляет 4% от 250 мА, т.е. =10 мА.

Погрешности при взвешивании возникают не только из-за погрешностей гирь, но еще и потому, что точность показания весов зависит от нагрузки на них. График зависимости погрешности весов ВТ2-200 от нагрузки приведен на рисунке 2, а погрешность гирь набора Г4-210 для лабораторных работ приведены в таблице 2.

Таким образом при использовании весов приходиться учитывать:

1) погрешность весов ;

2) погрешность гирь и разновесов ;

3) погрешность подбора гирь .

Погрешность подбора гирь аналогична погрешности отсчета и равна половине массы наименьшей гири, лежащей на весах (либо выводящей ее из равновесия). Таким образом при прямом измерении массы на весах: =++.

Например, тело уравновешено на весах при помощи гирь, номинальные (указанные на гирях) значения которых равны 50 г, 20 г, 100 мг и выводятся из равновесия разновесом в 10 мг. Определим абсолютную погрешность взвешивания. По графику зависимости погрешности весов от нагрузки найдем погрешность весов . Она равна примерно 25 мг (для груза массой ~70 г). Погрешность гирь найдем по таблице 2.

=30+20+1=51 мг. Погрешность подбора будет равна =10 мг/2=5 мг.

Таким образом граница погрешности при взвешивании будет равна: =25+51+5=81 мг. Следовательно m = 70,100,081 г.

О ВЫЧИСЛЕНИЯХ В ФИЗИКЕ

Числовые значения всех физических величин прямо или косвенно связаны с измерениями и потому являются приближенными. Для краткости приближенные значения физических величин будем называть приближенными числами.

Значащими цифрами приближенного числа называются все его цифры, кроме нулей, стоящих левее первой, отличной от нуля цифры, и нулей, стоящих в конце числа, если они стоят взамен неизвестных или отброшеных цифр.

Примеры.

1. Плотность кислорода 0,00143 г/см3. В этом числе три значащих цифры.

2. Удельная теплота сгорания бензина 46000 кДж/кг. Если это число задано с точностью до тысяч, то три нуля незначащие (поставлены взамен неизвестных цифр). Такая форма записи приближенных чисел неудобна, т.к. возникает неопределенность при подсчете количества значащих цифр.

3. Удельное сопротивление цинка . Здесь последний нуль значащий, в числе две значащие цифры. (Нуль, записанный в конце десятичной дроби, - всегда значащая цифра, иначе этон нуль просто не писали бы.)

Приближенные числа принято записывать в стандартной форме: , где 1<а<10, n - положительное или отрицательное целое число, называемое порядком числа . Значащих цифр в множителе а пишут столько, сколько их в самом числе .

Примеры.

1. Плотность кислорода 0,00143 г/см3 = г/см3 .

2. Скорость света в вакууме 300000 км/с = км/с (число 300000 записано с точностью до тысяч.)

Значащие цифры приближенного числа могут быть верными и неопределенными (сомнительными).

Если абсолютная погрешность приближенного числа не превышает единицы последнего разряда, то все значащие цифры приближенного числа называются верными.

Пример.

Плотность ртути равна 13,5955 г/см3 . Округлим это значение до сотых: 13,60 г/см3.

Все цифры числа 13,60 верные, так как абсолютная погрешность округления равна 13,60-13,5955=0,0045, что меньше 0,01.

Верными будут все значащие цифры приближенного числа, полученные в результате округления.

В приводимых в условиях задачи на страницах учебников числовых значениях физических величин указываются только верные цифры.

Если абсолютная погрешность приближенного числа превышает единицу последнего разряда, то последняя цифра приближенного числа является неопределенной.

Пример.

При измерении обьема жидкости мензуркой получен результат: 1405 мл. Цифра 0 в числе 140 не является верной, так как абсолютная погрешность больше единицы последнего разряда.

Действия с приближенными числами.

Результат действий с приближенными числами может содержать наряду с верными цифрами и неопределен ные даже в том случае, если исходные данные содержат только верные цифры.

Пример.

Приближенные числа 1,043 и 5,2 содержат только верные цифры. Произведение этих чисел, найденное с помощью микрокалькулятора МК-52, равно 5,4236. Все ли цифры в этом числе верные? Добавим к каждому сомножителю знак "?", заменяющий неизвестную неопределенную цифру в этих приближенных числах, и перемножим их столбцом. Учитывая, что при действии над цифрами, из которых хотя бы одна сомнительная, может получиться только неопределенная цифра, найдем, как это показано ниже, число 5,4?????. Откинув знаки"?", получим число 5,4.

Таким образом, из пяти цифр, выданных калькулятором, три оказались неопределенными. Не старайтесь щегольнуть точностью своего калькулятора, выписывая в ответе много цифр, большая часть из которых сомнительна. Какова бы ни была точность калькулятора, он не может превратить неопределенные цифры в верные!

Сложение и вычитание приближенных чисел.

При сложении и вычитании приближенных чисел, в записи которых все цифры верные, оставляют столько десятичных знаков, сколько их имеет число с наименьшим количеством десятичных знаков.

Примеры.

1) 5,14+12,1+6,353 = 23,593  23,6 (знак"" применяется при округлении).

2) 405+0,43 = 405,43

3) 430+1200+60+1640==

4) 2,53-1,5 = 1,03  1,0

Умножение и деление приближенных чисел.

При умножении и делении приближенных чисел следует сохранить в результате столько значащих цифр, сколько имеет приближенное число, данное с наименьшим числом верных значащих цифр.

Примеры.

1) .

2) .

3) 54,8 : 15 = 3,65  3,7

Возведение в степень и извлечение корня.

При возведении в квадрат и куб приближенного числа или извлечении из него квадратного или кубического корней следует сохранить в результате столько значащих цифр, сколько имеет верных значащих ифр исходное данное.

Примеры.

1) .

2) .

3. ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

В большинстве случаев измерения являются косвенными, когда результат определяется на основе расчетов. Так, например, определяется электрическое сопротивление , импульс тела , скорость при равноускоренном движении и т.п.

Однако подсчитать погрешность полученного результата так же просто, как и при прямых измерениях нам не удастся.

Предположим, что нам необходимо определить периметр и площадь прямоугольника. Произведя измерения линейкой получим длины сторон. Пусть длина одной стороны равна a, другой - b. Тогда периметр р прямоугольника будет равен p=2(a+b), а его площадь s=ab. Можно ли утверждать, что погрешность расчета периметра прямоугольника и его площади будут одинаковыми? Врядли, ведь формулы, которыми пользовались при расчете разные: при нахождении периметра величины, полученные при измерении складывали, а при подсчете площади - перемножали. Так что нам при расчете погрешности придется учитывать, как выглядит формула, по которой производился расчет искомой физической величины.

Абсолютная погрешность при косвенных измерениях расчитывается иначе, чем при прямых измерениях. Для вычисления абсолютной погрешности воспользуемся тем, что . Откуда . Из сказанного выше следует, что способ вычисление относительной погрешности должен зависеть от формулы (вида функции), по которой производился расчет искомой физической величины. В теории погрешностей показывается как это можно сделать в общем виде. Мы же воспользуемся набором готовых формул для вычисления относительной погрешности.

Формулы расчета относительных погрешностей для различных случаев приведены в таблице 3.

Как пользоваться этой таблицей?

Пусть например, некоторая физическая величина х рассчитывается по формуле: . Значения k, m и p найдены прямыми измерениями во время проведения эксперимента. Их абсолютные погрешности соответственно равны . Подставляя полученные значения в формулу, получим приближенное значение . Далее следует рассчитать относительную погрешность результата - . Это можно сделать, воспользовавшись соответствующей формулой из таблицы 3.

На первый взгляд кажется, что такой формулы в таблице нет. При более внимательном анализе ситуации заметим, что в нашем случае искомое значение находится как отношение двух величин. Тогда можно воспользоваться формулой . В нашем случае , а B = p. Из таблицы имеем для отношения : или

В той же таблицы найдем как рассчитывать относительную погрешность суммы: . Следовательно . Теперь можно найти значение границы абсолютной погрешности . Окончательно имеем: .

4. СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

Часто при проведении повторных измерений какой-либо величины получаются несколько различные результаты, отличающиеся друг от друга больше, чем сумма погрешностей прибора и отсчета. Это вызвано действием случайных факторов, которые невозможно устранить в процессе эксперимента.

Пусть мы определяем дальность полета шарика, пущенного из баллистического пистолета в горизонтальном направлении.

Даже при неизменных условиях эксперимента шарик не будет попадать в одну и ту же точку поверхности стола.( Это связано с тем, что шарик имеет не совсем правильную форму, на боек ударного механизма при движении в канале пистолета действует сила трения, изменяющаяся по величине, положение пистолета в пространстве не совсем жестко зафиксировано и т.д.)

Такой разброс результатов происходит практически всегда при выполнении серии экспериментов.

В этом случае за приближенное значение измеряемой величины берут среднее арифметическое.

Причем, чем больше будет проведено экспериментов, тем ближе будет среднее арифметическое к истинному значению измеряемой величины.

Но и среднее арифметическое, вообще говоря, не совпадает с истинным значением измеряемой величины. Как же найти границу интервала, в котором находится истинное значение? Эта граница называется границей случайной погрешности - . В теории расчета погрешностей показывается, что , где - значения физической величины в 1, 2,...n опыте

Погрешность среднего арифметического.

Когда мы находим среднее арифметическое значение величины по результатам серии опытов, то естественно считать, что оно имеет меньшее отклонение от истинного значения, чем каждый опыт серии. Другими словами, погрешность среднего меньше, чем погрешность каждого опыта серии. В теории погрешностей доказывается, что граница погрешности среднего значения равна:

. Окончательно имеем:

.

Из формулы следует, что граница случайной погрешности среднего значения стремится к нулю при увеличении числа опытов в серии. Это не значит, однако, что можно проводить абсолютно точные измерения ведь приборы, с помощью которых мы получили результаты, также имеют погрешности. Поэтому погрешность среднего при бесконечном увеличении числа опытов стремится к погрешности прибора.

Очевидно, что число опытов имеет смысл выбрать таким, чтобы случайная погрешность среднего сравнялась с погрешностью прибора либо стала меньше ее. Дальнейшее увеличение числа измерений теряет смысл, так как не увеличит точность получаемого результата: , где - граница погрешности измерительного прибора.

Если нет возможности по каким-либо причинам провести достаточное количество опытов (т.е. не удалось сделать погрешность среднего равной погрешности приборов), то результат должен быть взят в виде: , где - граница случайной погрешности среднего.

5. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ.

Необходимо иметь ввиду, что во всех наших оценках границ погрешностей мы не учли, что существуют так называемые систематические погрешности. Эти погрешности возникают из - за влияния измерительного прибора на процессы в измерительной установке; недостаточной корректности методики измерения; неправильных показаний прибора, например из-за первоначального смещения стрелки прибора от нулевого деления шкалы, и по другим причинам. В школьном эксперименте устранить систематические погрешности трудно из-за того, что ограничен выбор средств измерения и они имеют не высокое качество. Поэтому при подготовке и проведении практических работ УЧИТЕЛЮ приходится продумывать методику проведения эксперимента и тщательно подбирать соответствующие приборы для сведения систематических погрешностей к минимуму. Таким образом будем считать систематические ошибки не существенными и учитывать их при расчете погрешности (во всяком случае при проведении работ по механике) не будем.

6. Использование таблиц, построение графиков, сравнение

результатов экспериментов с учетом погрешностей.

ЗАПИСЬ ОКОНЧАТЕЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

При пользовании таблицами следует иметь ввиду, что погрешности приведенных значений имеют границу, равную в следующем разряде за последней значащей цифрой. Например, если в таблице указано: кг/м, то на самом деле кг/м.

При построении графиков следует иметь в виду, что по результатам опытов мы получаем не точку, а прямоугольник со сторонами и ( рис. 9.2. ). Поэтому при построении графиков необходимо проводить плавную линию так, чтобы примерно одинаковое число точек оказалось по разные стороны от кривой.

Погрешность измерения следует учитывать, если вы хотите убедиться в достоверности измерения физической величины, действительное значение которой известно. В этом случае необходимо убедиться в принадлежности известного значения физической величины интервалу (рис..).

Если проверяется закон А=В, то проверка достоверна, если интервалы имеют общие точки (рис.9.4), т.е. частично или полностью перекрываются.

На рисунке показан случай, при котором надо считать A=B (т.е. интервалы имеют общие точки).

После того, как вычислена граница абсолютной погрешности, ее значение обычно округляется до одной значащей цифры. После этого и результат измерения записывается с числом десятичных знаков, не большим, чем их имеется в абсолютной погрешности. Например, запись м/с плоха. Из такой записи следует, что мы как то сумели рассчитать численное значение скорости в тысячу раз точнее, чем позволяли нам приборы. ( Действительно, ответ дан с точностью до 5-го знака после запятой, а погрешность имеется уже во втором знаке после запятой, что полностью дискредитирует как сам результат, так и человека его записавшего.) В данном примере следует округлить значение абсолютной погрешности до одной значащей цифры: = 0,03 м/с и оставить в приближенном значении скорости два знака после запятой (т.е. столько же, сколько и в абсолютной погрешности): v = 0,56 м/с. Правильная запись ответа должна выглядеть так: и м/с.

Источник: http://gimn1567.ru/nmr_pogr.htm