Урок алгебры в 9 классе по теме "Арифметическая прогрессия" с презентацией
методическая разработка по алгебре (9 класс)

Учитель Петрова Зоя Павловна

Урок алгебры в 9 классе.  ГБОУ школа №609

Тема: «Арифметическая прогрессия»

Цель работы:

-закрепление и обобщение знаний, умений и навыков по теме «Арифметическая прогрессия».

.  

Задачи:

1. Закрепить основные понятия, связанные с  арифметической прогрессией

2. Психологическая подготовка учащихся к  контролю;

выяснение  и ликвидация пробелов учащихся;

анализ ошибок.

3. Прививать интерес к математике, а также формировать умение общаться, развивать навыки взаимопомощи, самоутверждения, самооценки.

4. Коррекционные задачи:

1) Развитие основ мыслительных операций анализа, синтеза.  

2)Формирование умения визуально выделять  формулы в задании.

3)Корректировка вычислительных навыков.

4) Развитие зрительного восприятия и узнавания, внимания.

Источник: учебник «Алгебра, 9класс» Макарычев Ю.Н и др.

Приемы:  «кластеры», взаимоопрос и взаимопроверка; групповое и коллективное обсуждение; лист знаний; работа в парах.

                                          План урока.

1)Стадия вызова. Вводная беседа.

-Сегодня на уроке мы должны вспомнить и «собрать воедино» все, что мы изучали по теме « Арифметическая прогрессия». Что вы помните об арифметической прогрессии? (на доске фиксирую высказывания учеников)

-Предлагаю просмотреть «лист знаний» и перечислить основные части. По каждой части теста работаем самостоятельно так, чтобы каждый из вас ответил на вопросы по содержанию.  

2)Стадия осмысления содержания.

а) Работа с текстом 1 с последующим взаимоопросом (работа парами: 1 вариант- учителя; 2 вариант- ученики; затем обмен ролями ).

 (Приложение 1)

1. Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Число d, показывающее, насколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии: .

Основные способы задания арифметической прогрессии:

1) чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность; Пример: а1 = -4,d = 3.

 2) задать арифметическую прогрессию можно с помощью формулы аn  = kn+b ;

Пример: аn = 3n – 1. Эта последовательность является арифметической прогрессией , так как  она задана формулой вида  аn  = kn+b, где k =3 и b=-1.

3) арифметическая прогрессия задается последовательностью  чисел 1; 3; 5; 7; 9;…

В этом случае а1 = 1, а2 = 3, а3 = 5 . Тогда d =3-1=2.

Арифметические прогрессии бывают возрастающими (1,3,5,7…), убывающими (-2,-4,-6,-8,..) монотонными ( 7,7,7,7,… в этом случае d=0 и все члены равны между собой).

Вопросы:

-сформулируйте определение арифметической прогрессии;

-какое число называется разностью арифметической  прогрессии?

-приведите примеры арифметической прогрессии;

-как можно задать арифметическую прогрессию?

а)Работа по карточке 1 (взаимопроверка);

Коллективное обсуждение спорных вопросов

 б) Работа с текстом  2 (учитель- ученик). (Приложение 1)

Формула п-го члена арифметической прогрессии.

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти  любой его член, вычисляя второй, третий, четвертый и т.д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен. В  таких случаях используем формулу п-го члена арифметической прогрессии

Приведем примеры задач с использованием этой формулы

Пример1

 Последовательность (аn) – арифметическая прогрессия, где а1 = -4,

d = 3.Найти десятый член этой прогрессии.        

Решение: (а10=? Порядковый номер неизвестного члена п=10)

 Имеем  а10=-4+3(10-1)=-4+3*9=-4+27=23

Ответ: а10=23.

Пример2

Найти первый и тридцатый члены последовательности (an), если аn = 3n - 1

Решение: (а1=? Порядковый номер неизвестного члена п=1) Имеем а1=3*1-1=2

(а30=? Порядковый номер неизвестного члена п=30)              а30=3*30-1=89                   

ответ: а1=2, а30=89.   

 Вопросы:

-Когда применяется  формула п-го члена арифметической прогрессии?

-Что обозначают в формуле буквы а1 ,d, аn , n?

Работа по карточке 2 парами (с записью в тетрадях);

Коллективное обсуждение спорных вопросов

 в) Работа с текстом 3.Работа в парах (ученик-учитель) Приложение 1

    3.Формула суммы n-членов  арифметической прогрессии           

Приведем примеры задач с использованием этих формул. Заметим, что если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно  пользоваться  2-й формулой.

Пример1

Найти сумму восьми первых членов арифметической прогрессии: -10; -8…

Решение:

1 способ:1) найти  разность арифметической прогрессии  d = а2 - а1  

2) по формуле п-го члена арифметической прогрессии найти восьмой член прогрессии

3)по формуле 1 вычислить  сумму восьми первых членов.

1) Имеем а1 =-10 а2 =-8. Тогда d =-8-(-10)=-8+10=2

2)по формуле п-го члена арифметической прогрессии найдем восьмой член прогрессии

а8 =-10+2(8-1)=-10+2*7 = 4

3)вычислим сумму восьми первых членов по 1-й формуле

S8 =*8=*8=-3*8=-24

Ответ: S8=-24

2 способ:1) найдем разность арифметической прогрессии  d = а2 - а1  

2)по формуле 2 вычислим сумму восьми первых членов.

1) Имеем а1 =-10 а2 =-8. Тогда d =-8-(-10)=-8+10=2

2) S8 =*8=*8=*8=*8=-3*8=-24

Ответ: S8=-24

Пример2

 Найти сумму тридцати первых членов последовательности (an), если

аn = 3n+1

Решение: 1)найти  по данной формуле а1 , порядковый номер неизвестного члена п=1

2) найти  по данной формуле а30 , порядковый номер неизвестного члена п=30

 3)по формуле 1 вычислить  сумму тридцати первых членов.

1)Имеем а1=3*1-1=2

2)Имеем а30=3*30-1=89                   

3)S30 =*30=*===1365

Ответ: S30 =1365

Вопросы:

-Когда применяется  формула суммы членов арифметической прогрессии?

-Что обозначают в формуле буквы а1 ,d, аn , n. S8    

Работа по карточке 3 (парами).

Коллективное обсуждение и решение на доске задач ( в случае спорных вопросов).

3)Рефлексия:

- Что сегодня делали на уроке?

- Перечислите, что знали по теме.

- Перечислите, что умеете выполнять по данной теме.

- Перечислите, что не знали, но научились на уроке.

- какие были трудные задачи?

   Прием «Кластеры»                                

                                               Фотография доски

Самооценка.

-Оцените свою работу по пятибалльной шкале по следующим направлениям:

-Я отвечал на вопросы по тексту-1 2 3 4 5.

-Я задавал простые вопросы-1 2 3 4 5.

-Я внимательно слушал ответы на вопросы-1 2 3 4 .

-Понравилась ли вам такая форма проведения урока?

 квадрат зелёного цвета – “да”

квадрат жёлтого цвета – не уверен

квадрат красного цвета – “нет”

                                Приложение 1.

                                    Лист знаний.

1.Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Число d, показывающее, насколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии: .

Основные способы задания арифметической прогрессии:

1) чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность; Пример: а1 = -4,d = 3.

 2) задать арифметическую прогрессию можно с помощью формулы аn  = kn+b ;

Пример: аn = 3n – 1. Эта последовательность является арифметической прогрессией , так как  она задана формулой вида  аn  = kn+b, где k =3 и b=-1.

3) арифметическая прогрессия задается последовательностью  чисел 1; 3; 5; 7; 9;…

В этом случае а1 = 1, а2 = 3, а3 = 5 . Тогда d =3-1=2.

Арифметические прогрессии бывают возрастающими (1,3,5,7…), убывающими (-2,-4,-6,-8,..) монотонными ( 7,7,7,7,… в этом случае d=0 и все члены равны между собой).

2.Формула п-го члена арифметической прогрессии.

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти  любой его член, вычисляя второй, третий, четвертый и т.д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен. В  таких случаях используем формулу п-го члена арифметической прогрессии

Приведем примеры задач с использованием этой формулы

Пример1

 Последовательность (аn) – арифметическая прогрессия, где а1 = -4,

d = 3.Найти десятый член этой прогрессии.        

Решение: (а10=? Порядковый номер неизвестного члена п=10)

 Имеем  а10=-4+3(10-1)=-4+3*9=-4+27=23

Ответ: а10=23.

Пример2

Найти первый и тридцатый члены последовательности (an), если аn = 3n - 1

Решение: (а1=? Порядковый номер неизвестного члена п=1) Имеем а1=3*1-1=2

(а30=? Порядковый номер неизвестного члена п=30)              а30=3*30-1=89                   

ответ: а1=2, а30=89.   

    3.Формула суммы n-членов  арифметической прогрессии           

Приведем примеры задач с использованием этих формул. Заметим, что если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно  пользоваться  2-й формулой.

Пример1

Найти сумму восьми первых членов арифметической прогрессии: -10; -8…

Решение:

1 способ:1) найти  разность арифметической прогрессии  d = а2 - а1  

2) по формуле п-го члена арифметической прогрессии найти восьмой член прогрессии

3)по формуле 1 вычислить  сумму восьми первых членов.

1) Имеем а1 =-10 а2 =-8. Тогда d =-8-(-10)=-8+10=2

2)по формуле п-го члена арифметической прогрессии найдем восьмой член прогрессии

а8 =-10+2(8-1)=-10+2*7 = 4

3)вычислим сумму восьми первых членов по 1-й формуле

S8 =*8=*8=-3*8=-24

Ответ: S8=-24

2 способ:1) найдем разность арифметической прогрессии  d = а2 - а1  

2)по формуле 2 вычислим сумму восьми первых членов.

1) Имеем а1 =-10 а2 =-8. Тогда d =-8-(-10)=-8+10=2

2) S8 =*8=*8=*8=*8=-3*8=-24

Ответ: S8=-24

Пример2

 Найти сумму тридцати первых членов последовательности (an), если

аn = 3n+1

Решение: 1)найти  по данной формуле а1 , порядковый номер неизвестного члена п=1

2) найти  по данной формуле а30 , порядковый номер неизвестного члена п=30

 3)по формуле 1 вычислить  сумму тридцати первых членов.

1)Имеем а1=3*1-1=2

2)Имеем а30=3*30-1=89                   

3)S30 =*30=*===1365

Ответ: S30 =1365

                                        Приложение 2.    

   Карточка 1.

1) Из предложенных последовательностей выберите ту, которая является арифметической прогрессией:

а) 1; 2; 5; 9; 16;…; б) 1; 11; 21; 31;…;

в) 4; 8; 16; 32;…; г) 7; -7; 7; -7;….

2)Известны два члена арифметической прогрессии. Впишите неизвестный член прогрессии.

1) 8,5,…
2) …,10,16.

   Карточка 2.

1. Последовательность (аn) – арифметическая прогрессия, где а1 = -5,

d = 4. Найти восьмой член этой прогрессии.

Решение:

ответ:

2. Найти первый и сороковой  члены последовательности (an), если аn=2n+1

Решение:

ответ:

   Карточка 3.

1.Найти сумму десяти первых членов арифметической прогрессии: -12; -8…

Решение:

ответ:

2. Найти сумму сорока первых членов последовательности (an), если аn=2n-3

Решение:

ответ:

3.Последовательность (аn) – арифметическая прогрессия, где а1 = 2,

d = -2.Найти сумму двадцати членов этой прогрессии.        

Решение:

Ответ