ЕН.01 54.02.01 Методические рекомендации по выполнению практических работ
методическая разработка по алгебре

 Санкт-Петербургское государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Колледж отраслевых технологий «Краснодеревец»

Рассмотрено и принято

на заседании Педагогического Совета

СПб ГБПОУ «Колледж отраслевых

технологий «Краснодеревец»

                                                                  Протокол №____ от «____»_________2021 г.

Утверждено

Приказом директора №____ от «____»_________2021 г.

_______________З.Ш. Джгамадзе

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по выполнению практических занятий

по дисциплине ЕН.01 Математика

специальность 54.02.01 Дизайн (по отраслям)

Санкт-Петербург

2021

Методические указания по выполнению практических занятий разработаны на основе рабочей программы по учебной дисциплине ЕН.01 Математика по специальности 54.02.01 Дизайн (по отраслям).

Организация-разработчик:

Санкт-Петербургское государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Колледж отраслевых технологий «Краснодеревец»

Разработчик:

Мазитова Эльмира Вячеславовна, преподаватель СПб ГБПОУ «Колледж отраслевых технологий «Краснодеревец»

Рассмотрено и принято на заседании

Методической комиссии СПб ГБПОУ

«Колледж отраслевых технологий «Краснодеревец»

Протокол № __ от «___»____________2021 г.

Председатель МК _________________/_______________

Пояснительная записка

Методические указания по выполнению практических работ обучающимися по дисциплине ЕН.01 Математика составлены в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины.

Целью практических занятий является овладение умениями и навыками по учебной дисциплине. Задания практических занятий содержат открытые вопросы, текстовые задачи, задания на работу с графиками, ситуационные задачи, упражнения. Для выполнения практических занятий обучающийся должен использовать учебники, методические указания для выполнения практических занятий, электронные образовательные ресурсы. При выполнении практических занятий необходимо внимательно ознакомиться с заданием. Перед выполнение работ преподаватель инструктирует по выполнению задания.

Результатом освоения учебной дисциплины должны стать знания: 

- значения математики в профессиональной деятельности;

- основных понятий и методов дифференциального исчисления: определение производной, таблицу производной, правила дифференцирования, определение дифференциала, использование его при решении прикладных задач;

- основных понятий и методов интегрального исчисления: определения, свойства и методы решения определенных и неопределенных интегралов;

- уравнения прямой, окружности, эллипса, параболы, гиперболы; основных понятий комбинаторики: факториал, размещение, сочетание, перестановка;

- основных понятий: событие, частота и вероятность появления события, полная вероятность, теорема сложения и умножения вероятностей, способы задания случайной величины;

- определения непрерывной и дискретной случайной величины;

- определения математического ожидания, дисперсии дискретной случайной величины;

- среднего квадратичного отклонения случайной величины;

- формулы бинома Ньютона;

- понятий множества, отношения;

- операций над множествами и их свойства;

- понятия графов и их элементов;

- видов графов и операций над ними.

Результатом освоения учебной дисциплины должны стать умения: 

- вычислять производные элементарных функций, используя справочные материалы, находить производную композиции нескольких функций, вычислять производные применяя правила дифференцирования;

- вычислять приближенные значения с помощью дифференциала;

- применять дифференциальное исчисление при решении прикладных задач профессионального цикла;

- вычислять неопределенные и определенные интегралы с помощью справочного материала;

- вычислять в простейших случаях площади плоских фигур, длину дуги кривой и объем тела с использованием определенного интеграла;

- решать простейшие задачи аналитической геометрии;

- решать простейшие комбинаторные задачи;

- решать практические задачи с применением вероятностных методов;

- оперировать с основными понятиями математической статистики, вычислять числовые характеристики случайной величины;

- решать практические задачи по теории множеств;

- решать практические задачи с помощью теории графов.        

Перед практическим занятием следует изучить тему по рекомендованной преподавателем литературе и конспекту лекций, обращая внимание на практическое применение теории и на методику выполнения типовых заданий.

Выполнять работу необходимо в соответствии с полученным заданием. После выполнения работы необходимо предоставить отчет о проделанной работе с анализом полученных результатов и выводом по работе.

Отчет о проделанной работе следует выполнять в рабочих тетрадях.

Вспомогательные расчеты можно выполнять на отдельных листах, а при необходимости на листах отчета.

Если обучающийся не выполнил практическое задание или часть работы, то он может выполнить работу или оставшуюся часть во внеурочное время, согласованное с преподавателем.

Критерий оценки практических занятий

Отметка «5» ставится, если: работа выполнена верно и полностью; в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок; в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).  

Отметка «4» ставится, если: работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки); допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки); выполнено без недочетов не менее 3/4 заданий.  

Отметка «3» ставится, если: допущены более одной ошибки или более трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме; без недочетов выполнено не менее половины работы.

Отметка «2» ставится, если: допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере; правильно выполнено менее половины работы.  

Перечень тем практических занятий

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №1

Тема: Вычисление производных функций при заданном значении аргумента.

Количество часов: 1

Цель: решить задачи, пользуясь правилами дифференцирования, производными элементарных функций, свойствами производной

Знания:

- основных понятий и методов дифференциального исчисления: определение производной, таблицу производной, правила дифференцирования, определение дифференциала, использование его при решении прикладных задач;

Умения:

- вычислять производные элементарных функций, используя справочные материалы, находить производную композиции нескольких функций, вычислять производные, применяя правилам дифференцирования.

Теоретический материал и примеры

Определение: Производной функции f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента стремящемся к нулю:      

Правила дифференцирования

        Введем несколько правил вычисления производных. Значения функций u и v и их производных в точке х0 обозначим для краткости: u(x0) = u, v(x0) = v, u'(x0) = u', v(x0) = v.

        Правило 1. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0, то их сумма дифференцируема в этой точке и

(u + v)' = u' + v'

        Правило 2. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0, то их произведение дифференцируемо в этой точке и

(uv)' = u'v + uv'

        Правило 3. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0, и функция v не равна нулю в этой точке, то частное также дифференцируемо в этой точке и

        Правило 4.  Если функция f имеет производную точке х0, а функция g имеет производную в точке y0 = f(x0), то сложная функция  не равна нулю в этой точке, то частное также дифференцируемо в этой точке и

Производные элементарных функций

         c' = 0

        (хn)' = nxn - 1        

        (а х)' = а х ln a

        (log a  х)' =         

        (sin x)' = cos x

        (cos x)' = - sin x

        (tg x)' =         

        (ctg x)' = -

Пример 1. Найти значение производной функций у = х35,  у = х-10,  у =25х,

у = log 5 x

Решение:          (х35)' = 35х34 , (х - 10)' = -10x – 11, (25х)'  = 25 х ln25, (log 5 x)' =

Пример 2.         f (х) =  аrсsin 3x + arctg x

Решение: функция представляет собой сумму двух функций, одна из которых сложная. Применяем правила дифференцирования 1 и 4:

        f '(х) =  (аrсsin 3x + arctg x)' = (аrсsin 3x)' + (arctg x)' =

ЗАДАНИЕ:

1. Вычислите производные функций:

а) у=(8х − 15)5                 в) у=sin (4х + π/6 )

б) у=√3 − 2х                             г) у= ln(3х − 5)

а) у=(9 − 7х)8                             в) у=cos(х/2 + π/4 )

б) у=√9х + 1                             г) у=e6+4х

а) 0,4х5 - 6√х + 3eх                     б) 2cos х + 1/3 sinх − lnх + 5

в) 3√6х + 1 − 8 sinх/4         г) 2х2 (х + 3)

а) 0,5х4 + 4/х − 3                 б) 3sin х − 1/2 eх + 2 cos х

в) 3√4х − 1 + 4 cos х 2         г) 3х(х2 + 4)

2. Найдите производные функций:

а) f(x) = ( 4x + 7)3;                 б) у = x•tg3x.

в) f(x) = (7x + 4)5 ;                 г) = 3e3x + 2sin7x .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №2

Тема: Нахождение дифференциала функции

Количество часов: 2

Цель: решить задачи, пользуясь правилами дифференцирования, производными элементарных функций, свойствами производной

Знания:

- основных понятий и методов дифференциального исчисления: определение производной, таблицу производной, правила дифференцирования, определение дифференциала, использование его при решении прикладных задач;

Умения:

- вычислять производные элементарных функций, используя справочные материалы, находить производную композиции нескольких функций, вычислять производные, применяя правилам дифференцирования;

- вычислять приближенные значения функций с помощью дифференциала.

Теоретический материал и примеры

        Прямая у — у0 = k0(x -x0) называется касательной к графику функции

у = f(x) в точке с координатами (х0; f(х0))

Геометрический смысл производной — значение производной функции f (x) в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции у = f(x) в точке (х0; f(х0)).

        При замене в формуле касательной k0  на  f '(x0), получим уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке (х0; f(х0)):

у = f (x0) - f '(x0)(x -x0)                                

Пример 1. Найти уравнение касательной к графику функции у = х2 — 2х + 3, если касательная проходит через точку пересечения графика с осью Оу и параллельна прямой у = 4х — 3.

        Решение. Имеем f (x) = х2 — 2х + 3,тогда f '(x0) = 2х0 — 2 — это угловой коэффициент касательной и уравнение касательной в в точке (х0; f(х0)) будет иметь вид у = f (x0) — 2(x0 — 1)(х - х0).

        Точка  пересечения графика функции с осью Оу имеет координаты (0; 3), тогда прямая у = 3 — 2х будет касательной к графику в этой точке.

        Из равенства угловых коэффициентов прямой  у = 4х — 3 и касательной к графику функции в точке (х0; f(х0)) следует, что  f '(x0) = 2х0 — 2 = 4, отсюда имеем координаты точки касания (3; 6), а уравнение касательной в этой точке имеет вид: у = 6 + 4(х — 3) = 4х — 6.

Пример 2. Закон движения точки по прямой задается формулой s(t) = 3t2 – 5t + 12, где t время (в секундах). Найдите мгновенную скорость движения точки в момент времени t, если t = 13с.

        Решение. Т.к. Первая производная — это скорость, найдем производную функции движения точки.

        s'(t) = 6t – 5

 Подставив в полученное уравнение время, получим скорость в данный момент времени. v = 6*7 – 5 = 37 m\c.

ЗАДАНИЕ:

1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции.

а) у=3х2 -12х+5, х0= - 1                         а) у=2х2+8х – 3, х0=-3

б) у=4cos х + х, х0= π/6                         б) у=2х - 3sin х, х0= π

2. Составьте уравнение касательной к графику функции.

а) у=- х3 -2х2 – 3х + 5, х0= - 2                 а) у=х3 – 2х2+3х+4, х0=2

б) у= 2/х2 - х, х0= - 1                         б) у= 3/х3 + 2х, х0=1

3. Решите задачи:

1. Закон движения точки по прямой задается формулой s(t)= t2 + t, где t время (в секундах). Найдите мгновенную скорость движения точки в момент времени t, если t = 1,8с.

2. Найдите значение производной функции y = f(x) в точке х0, если f(x)=√х , х0 = 25.

3. Найдите скорость изменения функции у = -5х + 4

4. Закон движения точки по прямой задается формулой s(t) = t2 – 3t, где t время (в секундах). Найдите мгновенную скорость движения точки в момент времени t, если t = 2,09с.

5. Найдите значение производной функции у = f(x) в точке х0, если f(x) = 1/х , х0 =√5.

6. Найдите скорость изменения функции у = х – 2

7. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

y = x4 — 2x3 + 3x — 13 в точке х0 = —1.

8. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

y = x5 + 2x4 + x3 +1 в точке x0 = 1.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №3

Тема: Исследование функций на монотонность

Количество часов: 1

Цель: решить задачи, пользуясь правилами дифференцирования, производными элементарных функций, свойствами производной

Знания:

- основных понятий и методов дифференциального исчисления: определение производной, таблицу производной, правила дифференцирования, определение дифференциала, использование его при решении прикладных задач;

Умения:

- вычислять производные элементарных функций, используя справочные материалы, находить производную композиции нескольких функций, вычислять производные, применяя правилам дифференцирования.

Теоретический материал и примеры

        Возрастание и убывание функции (достаточные условия). Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [а; b], и имеет производную на интервале (а; b). Тогда если f '(x) > 0 для всех х ϵ (а; b), то функция f (x) возрастает на отрезке [а; b], а если  f '(x) < 0, то она убывает на этом отрезке.

        Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности функции.

        Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

        Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует называются критическими точками функции.

        Скорость изменения функции в точке экстремума равна нулю.

        Точки, в которых производная обращается в нуль, называются стационарными точками функции.

Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а f '(x0) > 0 на интервале (а; х0) и  f '(x0) < 0  на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции.

Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а f '(x0) < 0 на интервале (а; х0) и  f '(x0) > 0  на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции.

Пример 1. Найти промежутки  возрастания и убывания функции

f (х) =(х — 1)2(х — 4).

Решение. Найдем производную: f '(х) =2(х — 1)(х — 4) + (х — 1)2 =

= 3(x – 1)(x – 3), отсюда  f '(x) > 0 при х < 1 и x > 3.

Значит функция f (х) возрастает на промежутках

( -∞; 1) и (3; +∞). На интервале 1 < x < 3 выполняется неравенство  f '(x) < 0, значит функция убывает на этом интервале и на промежутке  [1; 3].

ЗАДАНИЕ: 

1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции

a) у=х3 + 6х2 – 15х - 3                 a) у=х3 – 6х2 – 15х + 7

b) у=х + 9/x                                 b) у=х + 4/x

2. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

a) у=х3 + 6х2 – 15х - 3                 a) у=х3 – 6х2 – 15х + 7

b) у=х + 9/x                                 b) у=х + 4/x

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №4

Тема: Исследование функций на экстремум

Количество часов: 1

Цель: решить задачи, пользуясь правилами дифференцирования, производными элементарных функций, свойствами производной

Знания:

- основных понятий и методов дифференциального исчисления: определение производной, таблицу производной, правила дифференцирования, определение дифференциала, использование его при решении прикладных задач;

Умения:

- вычислять производные элементарных функций, используя справочные материалы, находить производную композиции нескольких функций, вычислять производные, применяя правилам дифференцирования.

Теоретический материал и примеры

        Определение. Функция называется выпуклой вниз (выпуклой) на промежутке (а; b), если ее график лежит выше касательной, проведенной к любой точке данного интервала или производная функции возрастает на промежутке (а; b).

        Определение. Функция называется выпуклой вверх (вогнутой) на промежутке (а; b), если ее график лежит ниже касательной, проведенной к любой точке данного интервала или производная функции убывает на промежутке (а; b).

        Промежутки выпуклости функции f(x) можно найти с помощью второй производной f ''(x).

        Определение. Дифференцируемая на интервале (а; b) функция f(x) и х0 ϵ (а; b), причем на интервале (а; х0) функция f(x) выпукла вверх (вниз), а на интервале (а; х0) функция f(x) выпукла вниз (вверх). Тогда точка х0 называется точкой перегиба этой функции, а точка (х0; f(x0)) — точкой перегиба графика функции у = f(x).

        Пусть функция f(x) имеет вторую производную на интервале (а; b) и х0 ϵ (а; b). Тогда если f ''(x) меняет знак при переходе через точку х0, то точка х0 — точка перегиба функции.

Пример 1. Найти точки экстремума функции f (x) = 2х2 — х4.

Решение. Производная равна f '(x) = 4х — 4х3 = 4х(1 - х2) - определена на всей числовой прямой (Рис. ниже).

Стационарные точки: 4х(1 — х2) = 0, х1 = 0,

х2 = 1, х3 = -1.

        Методом интервалов определяем, что производная отрицательна на промежутках                

 (-1; 0) и (1; +∞), положительна на промежутках (-∞; -1) и (0; 1).

В точках -1 и 1 производная меняет знак с плюса на минус, поэтому эти точки являются точками максимума. В точке 0 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому эта точка являются точкой минимума.

ЗАДАНИЕ: 

1. Исследуйте функцию на выпуклость:

f (x) = х4 — 4х3 — 18х2 + х — 3;

f (x) =  3х4 — 8х3 + 6х2 — 5х + 3;

f (x) = ;

2. Найдите точки экстремума функции:

f (x) = х5 — 15х3 + 8;

f (x) = 35х7 — х5 + 1.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №5

Тема: Построение эскизов графиков

Количество часов: 2

Цель: решить задачи, пользуясь правилами дифференцирования, производными элементарных функций, свойствами производной

Знания:

- основных понятий и методов дифференциального исчисления: определение производной, таблицу производной, правила дифференцирования, определение дифференциала, использование его при решении прикладных задач;

Умения:

- вычислять производные элементарных функций, используя справочные материалы, находить производную композиции нескольких функций, вычислять производные, применяя правилам дифференцирования.

Теоретический материал и примеры

        Алгоритм исследования функции:

1. Найти область определения, область значения функции.

2. Определить четность, нечетность, периодичность.

3. Найти точки пересечения графика функции и осями координат Ох и Оу.

4. Найти промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума.

5. Найти промежутки выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба.

6. Найти асимптоты: вертикальную, горизонтальную, наклонную.

7. Построить график функции.

Пример 1. Провести исследование функции у =и построить ее график.

Решение. 1) Функция определена всюду, кроме точек x = ±√3.

2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x), и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞.

Функция не периодическая.

3) Так как y  = 0 только при x = 0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.

4) Находим у' = и приравниваем ее к нулю:  , откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум надо исследовать только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +∞)).

В окрестности точки x3 = 3 имеет: y' > 0 при x < 3 и y' <0  при x > 3, следовательно, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3) = -9/2.

5) Находим у'' = . Видим, что y'' = 0 только при x = 0, при этом y''<0 при x < 0 и y'' > 0 при x > 0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак y'' и около точек разрыва функции. В нашем случае y'' > 0 на промежутке (0; √3) и y'' < 0 на (√3; +∞), следовательно, на (0; √3) кривая вогнута и выпукла на (√3; +∞).

6) Выясним вопрос об асимптотах.

Функция имеет разрыв второго рода в точке x = √3, прямая x = √3 вертикальная асимптота.

Горизонтальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты: , следовательно, y = - x – наклонная двусторонняя асимптота.

7) Теперь, используя полученными данными, строим чертеж:

ЗАДАНИЕ: 

Исследуйте функцию и постройте ее график

1. f(x) = 1/3х3 – 4х – 3;

2.  f(x) = - 1/3х3 + 4х + 3;

3.  f(х) = х3 — 3х2 - 9х;

4.  f(х) = х2 — 3х + 1;

5.  f(х) =;

6.  f(х) =;

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №6

Тема: Решение практико-ориентированных задач на наибольшее и наименьшее значения функций

Количество часов: 2

Цель: решить задачи, пользуясь правилами дифференцирования, производными элементарных функций, свойствами производной

Знания:

- основных понятий и методов дифференциального исчисления: определение производной, таблицу производной, правила дифференцирования, определение дифференциала, использование его при решении прикладных задач;

Умения:

- вычислять производные элементарных функций, используя справочные материалы, находить производную композиции нескольких функций, вычислять производные, применяя правилам дифференцирования.

Теоретический материал и примеры

        Обобщенно наименьшее и наибольшее значения называются экстремальными значениями функции.

Теорема (об экстремуме квадратичной функции). Экстремальное значение квадратного трёхчлена у = ах2 + bx + c достигается в точке

Значение является наименьшим, если a > 0, и наибольшим, если a < 0.

        Из теоремы об экстремуме квадратичной функции вытекают два важных следствия. Следствие 1. Пусть сумма n (n∈N) слагаемых постоянна, тогда их произведение будет наибольшим, когда они равны.

Следствие 2. Пусть произведение n (n∈N) множителей постоянно, тогда их сумма будет наименьшей, когда они равны.

Эти факты часто используется при решении экстремальных задач

Пример 1. Какой из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих одинаковую сумму длин всех ребер, имеет наибольший объем?

Решение. Обозначим ребра параллелепипеда за x, y, z, тогда V = xyz, таким образом необходимо узнать, при каких условиях произведение xyz будет являться максимальным.         Из того, что числовые множители не влияют на условие максимума произведение, то будем находить условия максимума произведения 4x∙4y∙4z.

        Из условия задачи нам известно, что сумма множителей 4x + 4y + 4z постоянна. Тогда по следствию 1 имеем, что искомый максимум будет известен тогда, когда 4x = 4y = 4z, то есть x = y = z. А это означает, что параллелепипед, удовлетворяющий требованиям задачи, является кубом.

        Свободное падение тела, отпущенного на некоторой высоте от Земли - это пример неравномерного движения.

        Аристотель учил, что падение тел равномерно и что более тяжелые тела падают быстрее, чем более легкие. Его утверждение не оспаривалось до середины XVI столетия. Закон падения тела, применяемый в физике был открыт Галилеем. Галилей проанализировал понятие скорости и стал одним из предшественников анализа.

        Согласно закону Галилея, расстояние пройденное свободно падающим телом, отпущенным из состояния покоя, пропорционально квадрату времени падения, причем коэффициент пропорциональности является одним и тем же для всех тел.

        Запишем это утверждение математически.

        Рассмотрим направление свободного падения тела как отрицательное направление на вертикальной оси, приняв за начало отсчета точку О, откуда было опущено тело и отсчитывая время с момента падения. Тогда можно записать уравнение движения падающего тела

s = - βt2

        Графиком этого движения будет парабола. Значение β (коэффициент пропорциональности) - одно и то же для всех тел. Найдем скорость в момент времени t

        Таким образом, абсолютная величина скорости пропорциональна пройденному времени.

        Частица, отпущенная из состояния покоя и скользящая по наклонной плоскости, подчиняется тому же закону. Обозначим расстояние пройденное телом от точки покоя за s, положительное направление будет вверх, то закон Галилея имеет вид

где β коэффициент пропорциональности, а m - наклон плоскости скольжения.         Графиком движения также является парабола. Скорость равна

        И в этом случае скорость пропорциональна времени, но при малом m она возрастает медленно. Во внимание не берутся такие физические величины как сопротивление воздуха и трение между телом и плоскостью скольжения.

Пример 2. Кирпич свалился с дома. Какое расстояние он пролетел, когда его скорость стала равной 42 м/с?

Решение. Пользуясь формулой v(t) = -2βt,  где β коэффициент пропорциональности, одно и то же для всех тел, v скорость в момент времени t. Получаем

        - 42 = -2βt или , когда скорость была равна 42 м/с.

Выясним какое расстояние кирпич пролетит за это время.

Пользуясь формулой уравнения движения падающего тела s(t) = -βt2, получаем

        s = - β·441/β2, или s = -441/ β ≈ 90 м;

это значит, что кирпич будет на 90 метров ниже той точки с которой он упал.

ЗАДАНИЕ: 

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

a) у = 4х + 9/х на отрезке [0,5; 4].         b) f(x) = 5 – x2 на отрезке [ - 4;1 ]

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

a) у = х + 4/х на отрезке [1; 4].         b) f(x) = 3sin х на отрезке [π/2 ; 3π/2 ]

3. Тело движется по закону х(t) = t4 + 0,5t2 – 3t (х — в метрах, t — в секундах). Найдите скорость и ускорение тела через 2 с после начала движения.

4. Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону h(t) = 8t – t2 (h- в метрах, t — в секундах). Определите, в какой момент времени тело достигнет наибольшей высоты и каково будет ее значение в этот момент.

5. Представьте число 12 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

6. Представьте число 72 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма  их квадратов была наибольшей.

7. Из всех прямоугольников с диагональю 18 см найдите прямоугольник наибольшей площади.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №7

Тема: Применение методов дифференциального исчисления для исследования функции и решения задач на оптимизацию

Количество часов: 2

Цель: пользуясь правилами дифференцирования, производными элементарных функций, свойствами производной решить упражнения

Знания:

- основных понятий и методов дифференциального исчисления: определение производной, таблицу производной, правила дифференцирования, определение дифференциала, использование его при решении прикладных задач;

Умения:

- вычислять производные элементарных функций, используя справочные материалы, находить производную композиции нескольких функций, вычислять производные, применяя правилам дифференцирования;

- применять дифференциальное исчисление при решении прикладных задач профессионального цикла.

Теоретический материал и примеры

Пример 1. Иван решил сделать своей маме подарок к 8 Марта и заказал другу Денису шкатулку из драгоценного металла. В мастерскую он принес кусок листа из этого металла размером 80х50 см. Требуется изготовить открытую сверху коробку наибольшей вместимости, вырезая по углам квадраты и загибая оставшиеся кромки.

Решение. Обозначим через х длину стороны вырезаемого квадрата. Легко видеть, что 0 < x < 25.

Объем при этом у коробки:

V = x (80 — х) (50 – 2х) = 4х³ — 260х² + 4000х.

V´ = 12х² — 520х + 4000 = 0,

х1 =  100:3 = 33   , х1 = 10.

х1 -  посторонний корень по смыслу задачи.

х2 = 10 – единственное решение – высота, 80 – 20 = 60 – длина, 50 – 20 = 30 – ширина.

V = 10·60·30 = 18000(см³).

ЗАДАНИЕ: 

1. Найдите угол при вершине равнобедренного треугольника с заданной площадью, в который можно вписать окружность наибольшего радиуса.

2. В равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса r. Каким должен быть угол при основании, чтобы площадь треугольника была наименьшей?

3. Найдите число, которое в сумме со своим квадратом давало бы наименьшую величину.

4. Найдите число, разность которого со своим квадратом была бы наибольшей.

5. Представьте число 12 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на удвоенное второе было наибольшим.

6. Консервная банка цилиндрической формы с дном и крышкой должна вмещать V см3. Каковы должны быть размеры банки, чтобы на ее изготовление пошло наименьшее количество материала?

7. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен а. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №8

Тема: Решение неопределенных интегралов

Количество часов: 2

Цель: пользуясь определением интеграла, методами интегрирования, формулой Ньютона-Лейбница на нахождения определенного интеграла, методами вычисления криволинейной поверхности решить задачи

Знания:

- основных понятий и методов интегрального исчисления: определения, свойства и методы решения определенных и неопределенных интегралов;

Умения:

- вычислять неопределенные и определенные интегралы с помощью справочного материала.

Теоретический материал и примеры

С точки зрения механики скорость прямолинейного движения определяется как производная пути по времени. Если некоторая точка прошла путь S(t), то ее мгновенная скорость ν(t) = S'(t). Если теперь рассмотреть обратную задачу – нахождение пути, пройденного точкой с заданной скоростью, то придем к функции S(t), которую называют первообразной функции v(t), т.е. такой функцией, что S'(t) = ν(t).

        Итак, функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для х ϵ Х выполняется равенство F' (x) = f(x).

        Как следует из определения, операция нахождения первообразной – обратна нахождению производной функции

        Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для х ϵ Х выполняется равенство F’ (x) = f(x).

1) (F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x)

2) (aF(x))' = aF'(x)

3) (F (kx + b))' = kF'(kx + b)

Таблица первообразных

Пример 1. Найти интеграл

Решение. Используем свойство степени с отрицательным показателем и найдём неопределённый интеграл от степенной функции:

Пример 2. Найти интеграл

Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся формулой

ctg2x = и свойствами неопределенного интеграла:

ЗАДАНИЕ:

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №9

Тема: Решение определенных интегралов

Количество часов: 2

Цель: пользуясь определением интеграла, методами интегрирования, формулой Ньютона-Лейбница на нахождения определенного интеграла, методами вычисления криволинейной поверхности решить задачи.

Знания:

- основных понятий и методов интегрального исчисления: определения, свойства и методы решения определенных и неопределенных интегралов;

Умения:

- вычислять неопределенные и определенные интегралы с помощью справочного материала.

Теоретический материал и примеры

Формула Ньютона – Лейбница

        Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а; b].

Пример 1. Найти интеграл

Решение. Используем свойство степени с отрицательным показателем и найдём интеграл от степенной функции, затем вместо х подставляем верхнее значение минус подставляем нижнее значение интеграла:

Пример 2. Найти интеграл

Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся формулой

ctg2x = и свойствами неопределенного интеграла:

ЗАДАНИЕ:

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №10

Тема: Решение геометрических задач с помощью интегралов: вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, вычисление дуги кривой

Количество часов: 3

Цель: решить задачи, пользуясь определением интеграла, методами интегрирования, формулой Ньютона-Лейбница на нахождения определенного интеграла, методами вычисления криволинейной поверхности

Знания:

- основных понятий и методов интегрального исчисления: определения, свойства и методы решения определенных и неопределенных интегралов;

Умения:

- вычислять в простейших случаях площади плоских фигур, длину дуги кривой и объем тела с использованием определенного интеграла.

Теоретический материал и примеры

Если в задаче требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, то ответ всегда будет положительный. Если требуется, используя чертеж, вычислить интеграл, то его значение может быть любым (зависит от расположения криволинейной трапеции).

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2, y = 0, x = 1, x = 2

Решение. Сделать чертеж. Вот искомая площадь:

Пределы интегрирования а = 1, b = 2, f(x) = x2 .

   =   .

Вычислили площадь криволинейной фигуры.

ЗАДАНИЕ:

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. у = х2 — 4х + 4 и у = 4 — х;

2. у = х2 — 4х + 4 и у =  х — 4;

3. у = 4х — х2 , у = х и у = 0;

4. у = 4х + х2 , у = х и у = 0;

5. у = 4 — х2 , у = 3х и у = -3х;

6. у = 2х — х2 , у = - х и у = х - 2;

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №11

Тема: Решение задач на множества

Количество часов: 2

Цель: использовать основные тождества алгебры множеств для решения практических задач.

Знания:

- понятий множества, отношения; операции над множествами и их свойства;

Умения:

- решать практические задачи по теории множеств.

Теоретический материал и примеры

        Множества обозначаются А, В, С и т.д., элементы множеств обозначаются а, в, с и т.д. Если элемент принадлежит множеству, то записывают а ∈ А; если элемент не принадлежит множеству, то пишут в ∉ В.

        Множество может содержать один элемент.

Пример: А={x:  учитель математики группы ПО-51}.

        Множество может содержать много элементов.

Пример: В={x: студент группы ПО-51}.

        Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством, обозначается С=∅.

Пример: С={x: x2+1=0, x∈R},

A={x: рыбы, живущие на суше},

В={множество треугольников, сумма углов которых ≠1800}.

        Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что А является подмножеством множества В. Обозначается А⊂В.

Пример: а) множество учеников группы 35 является подмножеством множества  студентов колледжа;

б)  Пусть А={1,2,5,6}, тогда его подмножествами будут являться множества В={1,2}, С={6}, К={∅}.

        Если А⊂В и В⊂А, то говорят, что множества А и В равны.

        Универсальным множеством называется множество, содержащее несколько подмножеств. Обозначается Е.

        Мощность любого конечного множества равна количеству элементов данного множества.

Пример: а) Е – множество книг, подмножества: учебная литература, научная литература, художественная литература;

б) Е={1,2,3}, тогда подмножества: А={1}, В={2}, С={3}, D={1,2}, F={2,3},G={1,3},P={1,2,3},M={∅}.

Пример 1.  Решить задачу:

в группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык, 45 французский язык, 23 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского языка?

Решение. А\Ф = 70 — 23 = 47 чел

        АUФ = 47 + 45 = 92 чел

        Е\(АUФ) = 100 — 92 = 8 чел

ЗАДАНИЕ:

1. Даны множества А = (-∞; 7), В = [-5; +∞).

Найти: А∩В, АUB, A\B, B\A, A×B, B×A.

2. Даны множества А = {a, 1, 3}, В = {a, b, 1}.

Найти: А∩В, АUB, A\B, B\A, A×B, B×A.

3. Даны множества А = { 2n | n ϵ N}, В = {-7, -2, 0, 2, 5, 8}.

Найти: А∩В, АUB, A\B, B\A, A×B, B×A.

4. Даны два произвольных множества А и В такие, что  А∩В = . Что представляют собой множества A\B и B\A?

5. Каждый из 500 студентов обязан посещать хотя бы один из трех спецкурсов: по математике, физике, астрономии. Три спецкурса посещают 10 студентов, по математике и астрономии –25 студентов, спецкурс только по физике – 80 студентов. Известно также, что спецкурс по математике посещают 345 студентов, по физике – 145, по астрономии – 100 студентов. Сколько студентов посещают спецкурс только по астрономии? Сколько студентов посещают два спецкурса?

6. На курсах иностранных языков учится 600 человек. Из них французский изучают 220 человек, английский – 270 человек. Слушатели, изучающие английский язык, не изучают немецкий язык; один французский язык изучают 100 человек, один немецкий язык изучают 180 человек. Сколько человек изучает по два иностранных языка? Сколько человек изучает один иностранный язык?

7. На кафедре иностранных языков работают 18 преподавателей. Из них 12 преподают английский язык, 11 – немецкий язык, 9 – французский язык. 5 преподавателей преподают английский и немецкий языки, 4 – английский и французский, 3 – немецкий и французский. Сколько преподавателей преподают все три языка? Сколько преподавателей преподают только два языка?

8. С помощью диаграмм Эйлера-Венна установить справедливость каждого из следующих утверждений относительно произвольных множеств А, В, С  I:

1) (A \ B)\C  (A \C)\(B\C);

2) если AB  C и AC  B , то AC  ;

3) если A  BC, и B  AC, то B  ;

4) (AB)C  (AC)(BC).

9. Пусть U – универсальное множество всех людей на Земле;

А- множество людей, живущих в России;

В – множество людей, не старше 18 лет;

С – множество людей, учащихся в вузах.

Каков содержательный смысл следующих множеств:

а) АВ С; б) А  U; в) В; г) (А  В А; д) В\А ?

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №12

Тема: Решение задач на теорию графов

Количество часов: 2

Цель: использовать основные тождества алгебры множеств для решения практических задач.

Знания:

- понятий графов и их элементов;

- виды графов и операции над ними.

Умения:

- решать практические задачи с помощью теории графов.

Теоретический материал и примеры         

        Графы строят для того, чтобы отобразить отношения на множствах. Пусть, например, множество A = {a1, a2, … an} - множество людей, а каждый элемент будет отображён в виде точки. Множество B = {b1, b2, … bm} - множество связок (прямых, дуг, отрезков - пока не важно). На множестве A задано отношение знакомства между людьми из этого множества. Строим граф из точек и связок. Связки будут связывать пары людей, знакомых между собой. Естественно, число знакомых у одних людей может отличаться от числа знакомых у других людей, а некоторые вполне могут и не быть ни с кем знакомы (такие элементы будут точками, не соединёнными ни с одной другой).

То, что мы сначала назвали "точками", следует называть вершинами графа, а то, что называли "связками" - рёбрами графа.

Определение 1. Графом называется система объектов произвольной природы (вершин) и связок (рёбер), соединяющих некоторые пары этих объектов.

Определение 2. Пусть V – (непустое) множество вершин, элементы v∈V – вершины. Граф G = G(V) с множеством вершин V есть некоторое cемейство пар вида: e = (a, b), где a, b ∈ V, указывающих, какие вершины остаются соединёнными. Каждая пара e = (a, b) - ребро графа. Множество U - множество рёбер e графа. Вершины a и b – концевые точки ребра e.

Пример 1. Пусть A - множество чисел 1, 2, 3: A = {1, 2, 3}. Построить граф для отображения отношения "<" ("меньше") на этом множестве.

Решение. Очевидно, что числа 1, 2, 3 следует представить в виде вершин графа. Тогда каждую пару вершин должно соединять одно ребро. Решая эту задачу, мы пришли к таким основным понятиям теории графов, как ориентированные и неориентированные графы. Неориентированные графы - такие, рёбра которых не имели направления. Или, как говорят ещё чаще, порядок двух концов ребра не существенен. В самом деле, граф, построенный в самом начале этого урока и отображавший отношение знакомства между людьми, не нуждается в направлениях рёбер, так как можно утверждать, что "человек номер 1" знаком с "человеком номер 2" в той же мере, как и "человек номер 2" с "человеком номер 1". В нашем же нынешнем примере одно число меньше другого, но не наоборот. Поэтому соответствующее ребро графа должно иметь направление, показывающее, какое всё же число меньше другого. То есть, порядок концов ребра существенен. Такой граф (с рёбрами, имеющими направление) называется ориентированным графом или орграфом.

Итак, в нашем множестве A число 1 меньше числа 2 и числа 3, а число 2 меньше числа 3. Этот факт отображаем рёбрами, имеющими направление, что показывается стрелками. Получаем следующий граф:

ЗАДАНИЕ:

Решить примеры:

1. Пусть A - множество чисел 2, 4, 6, 14: A = {2, 4, 6, 14}. Построить граф для отображения отношения "делится нацело на" на этом множестве.

2. Пусть даны множества A = {α, β, γ} и B = {a, b, c}. Построить граф для отображения отношения "декартово произведение множеств".

3. В агентстве по недвижимости работают менеджеры Игорь, Сергей и Пётр. Обслуживаются объекты О1, О2, О3, О4, О5, О6, О7, О8. Построить граф для отображения отношений "Игорь работает с объектами О4, О7", "Сергей работает с объектами О1, О2, О3, О5, О6", "Пётр работает с объектом О8".

4. Пусть задано множество C = {2, 3, 5, 6, 15, 18}. Построить граф, реализующий отношение, определяющее все пары чисел a и b из множества C, у которых при делении второго элемента на первый получаем частное, которое является целым числом больше 1.

5. Задача о волке, козе и капусте. На одном берегу реки находятся человек (Ч), лодка, волк (В), коза (Кз) и капуста (Кп). В лодке одновременно могут находиться человек и не более одного из перевозимых объектов. Человек должен перевезти на другой берег все объекты, соблюдая условие: нельзя оставлять без присмотра волка вместе с козой и козу вместе с капустой.

6. Построить полный двудольный граф.

7. Является ли полный граф с одинаковым числом n рёбер, которым инцидентна каждая вершина, эйлеровым графом? Объяснить ответ. Привести примеры.

8. Построить регулярный граф, в котором самый короткий цикл имеет длину.

9. Задан двудольный граф, в котором n - число вершин из множества A, а m - число вершин из множества B. В каком случае граф будет эйлеровым графом, а в каком случае - гамильтоновым графом?

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №13

Тема: Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола.

Количество часов: 2

Цель: выполнить упражнения по представлению прямой на плоскости и способам ее задания, по представлению кривых второго порядка и способам их задания, способам задания многогранников и тел вращения посредством уравнений.

Знания:

- уравнения прямой, окружности, эллипса, параболы, гиперболы;

Умения:

- решать простейшие задачи аналитической геометрии.

Теоретический материал и примеры

Кривые второго порядка делятся на

1) вырожденные и 2) невырожденные

Вырожденные кривые второго порядка это прямые и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка плоскости, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную кривую (мнимую кривую второго порядка).

Невырожденными кривыми второго порядка являются эллипс, окружность, гипербола и парабола.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2a (2a>|F1F2|).

Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса.

Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O. В такой системе координат:

F1(–c; 0) и F2(c; 0) , где |OF1|=|OF2| = c. Уравнение:

называется каноническим уравнением эллипса.

Система координат, в которой эллипс имеет такое уравнение, называется его канонической системой координат.

        Окружностью называется множество всех точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки, называемой центром.

Уравнение окружности:

(х — а)2 + (у — b)2 = r2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2a (2a < |F1F2|).

Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы.

Уравнение:

называется каноническим уравнением гиперболы.

Система координат, в которой гипербола имеет такое уравнение, называется ее канонической системой координат.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фиксированной прямой l и до фиксированной точки F (не лежащей на прямой l) одинаково.

Точка F называется фокусом параболы, прямая l — директрисой.

Уравнение:

у2 = 2рх

называется каноническим уравнением параболы.

Система координат, в которой парабола имеет такое уравнение, называется ее канонической системой координат.

Пример 1. Составить уравнение окружности радиуса r = 5  с центром в точке О1 (3; -2).

Решение: Имеем: r =5, a = 3, b = -2. Подставив эти значения в уравнение окружности, найдем (х — 3)2 + (у + 2)2 = 25.

Пример 2. Дана кривая, привести ее к каноническому виду, найти все параметры, сделать чертеж: у2 + 6х +6у + 15 = 0.

Решение: Приведем уравнение к каноническому виду, выделяя полные квадраты:

у2 + 6х +6у + 15 = 0,

(у2 + 6у) +6х + 15 = 0,

(у2 + 6у + 9) +6х + 15 — 9 = 0,

(у + 3)2 = - 6х  - 6,

(у + 3)2 = - 6(х  + 1),

(у + 3)2 = 2(- 3)(х  + 1),

Это каноническое уравнение параболы с параметром р = -3.  Вершина в точке А(-1; -3)

Строим график:

Ось симметрии у = -3

ЗАДАНИЕ:

Привести к каноническому виду уравнение кривой 2 порядка, найти все ее параметры, построить кривую:

1. 9х2 — 4у2 — 90х — 8у + 185 = 0

2. 3х2 — 6у2 — 12х — 108у — 492 = 0

3. 9х2 + 25у2 — 18х — 100у — 116 = 0

4. х2 + у2 + 8х — 2у + 16 = 0

5. 2х2 + 3у2 + 8х — 6у — 25 = 0

6. х2 + у2 — 12х — 2у + 28 = 0

7. х2 — у2  — 22х — 18у — 24 = 0

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №14

Тема: Решение задач по комбинаторике, теории вероятностей.

Количество часов: 2

Цель: решить комбинаторные задачи различными способами.

Знания:

- основных понятий комбинаторики: факториал, размещение, сочетание, перестановка;

- основных понятий: событие, частота и вероятность появления события, полная вероятность, теорема сложения и умножения вероятностей, способы задания случайной величины;

- определения непрерывной и дискретной случайной величины;

- определения непрерывной и дискретной случайной величины;

- среднее квадратичное отклонение случайной величины;

Умения:

- решать простейшие комбинаторные задачи;

- решать практические задачи с применением вероятностных методов;

Теоретический материал и примеры

Правило суммы.  Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1. В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Решение. Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

N = n1∙n2∙...∙nk  способами.

Пример 2. В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Решение. Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

ЗАДАНИЕ:

1. Бросили две игральных кости (два кубика). Какова вероятность того, что в сумме выпало не менее 8 очков. Ответ округлите до сотых.

2. Бросили два кубика. В сумме выпало 6 очков. Какова вероятность, что на кубиках выпало одинаковое число очков?

3. В ящике 8 красных шаров и 2 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет белым?

4. Из букв слова «дифференциал» наугад выбирают одну букву. Какова вероятность, что это будет: а) гласная; б) согласная; в) буква «к»?

5. Натуральные числа от 1 до 30 записаны на карточках. Какова вероятность того, что на взятой наугад карточке будет число кратное 4?

6. В коробке 20 конфет, из них 8 с клубничной начинкой. Из коробки взяли 10 конфет. Какова вероятность того, что 6 из них будут с клубничной начинкой? 4

7. Бросили две игральных кости (два кубика). Какова вероятность того, что произведение выпавших очков будет чётно. Ответ округлите до сотых.

8. В ящике 9 синих шаров и 3 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет белым?

9. Сколькими способами можно рассадить за столом 3 человек?

10. В учебном плане 14 предметов Нужно составить расписание на понедельник, чтобы было 6 предмета. Сколькими способами это можно сделать?

11. В коробке 16 конфет, из них 6 с клубничной начинкой. Из коробки взяли 10 конфет. Какова вероятность того, что 2 из них будут с клубничной начинкой?

12. В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

13. Решите уравнение: 12 · Сn-1n+3 = 55 ·A2n+1

14. Решите уравнение: 18 · Сn-2n+3 = 55 ·A3n+1

15. Вычислить

16. Упростить

17. Вычислить

18. Вычислить A48; C415

19. Сколькими способами могут разместиться 5 человек вокруг круглого стола?

20. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,8,9 так, чтобы в каждом числе не было одинаковых цифр?

21. Решить уравнение С3х = 162

22. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?

23. Сколько вариантов распределения 3х путевок в санаторий различного профиля можно составить для 5 претендентов?

24. Решить уравнение А3х=20-1А4х

25. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным:

1) вы выходите на улицу, а навстречу идет слон;

2) вас пригласят лететь на Луну;

3) черепаха научится говорить;

4) выпадет желтый снег;

5) вы не выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее; 6)после четверга будет пятница.

25. На стол бросают два игральных тетраэдра (серый и белый), на гранях каждого из которых точками обозначены числа от 1 до 4. Сколько различных пар чисел может появиться на гранях этих тетраэдров, соприкасающихся с поверхностью стола?

27. Из 10 первых натуральных чисел случайно выбираются 2 числа. Вычислите вероятности следующих событий:

а) одно из выбранных чисел - двойка; б) оба числа нечетные.

28. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?

29. На каждой карточке написана одна из букв к, л, м, н, о, п. Четыре карточки наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании получится слово «клоп»?

30. Найдите вероятность того, что случайным образом выбранное двузначное число при делении на 11 дает в остатке 10.

31. Какова вероятность того, что первое из задуманных двузначных чисел делится на 2, а второе - делится на 5? Определите вид события.

а) сложение событий; б) произведение событий. 4 3

32. Два баскетболиста поочередно забрасывают мяч в корзину до тех пор, пока один из них не попадет. Построить ряд распределения случайного числа бросков, производимых каждым из баскетболистов, если вероятность попадания для первого равна 0,4, для второго – 0,6.

33. Два студента сдают экзамен по теории вероятностей. Для одного из них вероятность сдать экзамен равна 0,9 , для другого – 0,6. Построить ряд распределения с.в. Х – число студентов, сдавших экзамен, если: а) каждый сдает экзамен только один раз; б) каждый имеет возможность в случае неудачи пересдать экзамен. Найти для этих случаев математическое ожидание и дисперсию.

34. Известно, что из 100 имеющихся путеводителей по Казани, имеется 10 бракованных. Случайным образом выбрали 5 из них. Построить ряд и функцию распределения числа бракованных путеводителей, содержащихся в сделанной выборке.

35. Дан ряд вариантов: 1,2; 1,2; 1,2; 1,3; 1,8; 2,1; 2,4; 2,4; 3,0; 3,2; 4; 5.

Найти: R, Mo, Me.

36. Определите моду, среднее арифметическое и размах ряда:15, 4, 12, - 3, 15.