Решение комбинаторных задач
методическая разработка по алгебре (10 класс)

Введение.

В старинных русских сказаниях повествуется, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читает на камне: «Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься». А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты, оценивать вероятность наступления того или иного события приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, именуемый комбинаторикой и теорией вероятности, занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую.  

Но и в жизни эти умения очень часто помогают человеку. Вот один случай умелого решения комбинаторной задачи.

Бесплатный обед

10 молодых людей решили отпраздновать окончание средней школы товарищеским обедом в ресторане. Когда все собрались, и первое блюдо было подано, заспорили о том, как усесться вокруг стола. Одни предлагали разместиться в алфавитном порядке, другие по возрасту, третьи - по успеваемости, четвертые - по росту и т.д. 

Спор затянулся, суп успел простыть, а за стол никто не садился.

Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью:

- Молодые друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол как кому придется и выслушайте меня. 

Все сели как попало. Официант продолжал:

- Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать, и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-новому и т.д., пока не перепробуете всех возможных размещений. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы здесь сегодня, тогда, обещаю торжественно, я начну ежедневно угощать вас бесплатно самыми изысканными обедами.

Предложение понравилось. Решено было ежедневно собираться в этом ресторане и перепробовать все способы размещения за столом, чтобы скорее начать пользоваться бесплатными обедами.

Однако им не пришлось дождаться этого дня. И вовсе не потому, что официант не исполнил обещания, а потому, что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Оно равняется, ни мало, ни много, 3628800. Такое число дней составляет, как нетрудно сосчитать, почти 10 тысяч лет! Это покажется на первый взгляд невероятным, но так оно и есть.

В этой методической разработке будет рассмотрена блок-схема алгоритма выбора формулы комбинаторики и решение задач по данному алгоритму.

Дисциплина: «Математика»

ТЕМА: «Решение комбинаторных задач».

Тип урока: комбинированный урок.

Норма времени: 90 мин.

Цель.

Обеспечить развитие компетенции алгоритмизации действий для решения комбинаторных задач.

Задачи.

Образовательная:

1. Познакомить с разными видами комбинаторных задач.

2. Способствовать формированию  у обучающихся позитивной мотивации к подготовке  к экзамену по математике.

3. Содействовать отработке алгоритма выбора формулы при решении комбинаторных задач.

Развивающая:

1. Способствовать развитию умений сравнивать, обобщать, находить различные способы решения задачи.

2. Содействовать развитию самостоятельности в мышлении, логического и алгоритмического мышления.

3. Совершенствовать умения систематизировать знания по данной теме.

Воспитательная:  

1. Воспитывать умение ставить цели и реализовывать их.

2. Содействовать формированию уверенности в способности к стрессоустойчивости, самоорганизации и самоконтролю.

Обучающийся  должен

знать:

определения трех важнейших понятий комбинаторики:

- размещения из n элементов по m;

- сочетания из n элементов по m;

- перестановки из n элементов, а также, формулы вычисления их количества.

уметь:

- отличать задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» друг от друга;

- применять основные комбинаторные формулы при решении простейших комбинаторных задач.

Характер работы: продуктивный, поисковый.

Форма организации учебной деятельности студентов: фронтальная, индивидуальная, групповая

Методы обучения: рассказ, беседа, анализ, демонстрация, решение задач, тестовая работа, рефлексия.

Средства обучения:

технические средства: персональный компьютер, видео проектор, экран.

программные средства: операционная система MS Windows XP, редактор презентаций MS Power Point.

раздаточный материал: бланк ответов для математического диктанта,  блок-схема алгоритма, задания для математического лото.

наглядные пособия: презентация, подготовленная в программе MS Power Point.

Основная педагогическая технология:

Технология интегрирования учебных предметов.

Элементы педагогических технологий:

• технология проектного обучения,
• ситуационная технология,  
• личностно-ориентированного обучения,
• здоровьесберегающая технология,
• технология проблемного обучения: алгоритмизация обучения
• информационно-коммуникационная технология.

Межпредметные связи:

• Обеспечивающие дисциплины: история, информатика, геометрия.
• Обеспечиваемые дисциплины: информационные технологии.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый уровень / Ш. А. Алимов. – М.: Просвещение, 2018
2. Башмаков М. И. Математика. Учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2014
3. Башмаков М. И. Математика. Задачник: учебное пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2014
4. Гусев В. А. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля: учебник для образоват. учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012

План урока.

1. Организационный момент
2. Повторение правил и формул, проверка домашней работы
3. Математический диктант, оценка выполненной работы
4. Защита проекта «История комбинаторики»
5. Блок-схема алгоритма на выбор формулы комбинаторики
6. Решение задач с использованием блок-схемы
7. Защита проекта «Комбинаторика в реальной жизни»
8. Математическое лото
9. Рефлексия
10. Подведение итогов

Структура урока.

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Организационный момент.

Преподаватель приветствует студентов, делает перекличку, демонстрирует первый слайд презентации.

Мотивирует студентов:

- Ребята, каждая группа в течение года дежурит по колледжу.

Являются ли бригады дежурных в группах постоянными? А сколько всего существует способов назначить из n студентов группы m дежурных? В математике есть раздел, который занимается решением подобных задач. Этот раздел называется комбинаторикой.

Формулирует тему урока, подводит студентов к формулировке цели занятия: устранить пробелы в знаниях; повторить, обобщить и систематизировать знания, умения и  навыки, необходимые для решения комбинаторных задач.

Рассказывает план урока.

2. Повторение ранее изученного материала.

Учитель организует фронтальный опрос для проверки теоретической готовности студентов к уроку.

3. Проверка домашнего задания.

Учитель организует разбор задач выполненных студентами дома.

4. Математический диктант.

- Сейчас вы будете выполнять математический диктант в форме теста. Решение записываете в тетрадь, а ответы фиксируете  в бланке ответов. На всю работу 10 минут.

(Бланки собираются, на экране демонстрируется таблица ответов и критерии оценок. Обучащиеся проверяют свои работы, выполненные в тетрадях,  и сами себе выставляют оценки согласно  указанным критериям).

Вопросы математического диктанта:

1. Выбрать верную форму  записи  6! :

1)5·6!

2) 4!·5·6

3) 3!·2!

4)  1·2·3

2. Упростить форму записи выражения 17·16!:

1)15!

2) 16!

3) 17!

4) 272

3. Найти значение выражения :

1)1

2) 1,0625

3) 17!

4) 17

4. Упростить  :

1) 1

 2) n+1

3) (n+1)!

4)

5. В вазе лежат 7 шоколадных конфет и 4 ириски. Сколькими способами можно выбрать одну конфету?

1) 11

2) 28

3) 7

4) 4

6. Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3?

1) 4

2) 8

3) 12

4) 16

7. Вычислить   :

1. 1
2.  4
3.  5
4.  6

8. Вычислить   :

1) 6

2) 2

3) 30

4) 15

Ответы:  

КРИТЕРИИ ОЦЕНОК:

«5» – 7-8 правильно выполненных заданий

«4» – 5-6 правильно выполненных заданий

«3» - 4 правильно выполненных заданий

«2» – меньше 4 правильно выполненных заданий

Дома сделать работу над ошибками!

5. Защита проекта «История комбинаторики».

Группа за неделю до урока получила задание: найти информацию о том, какие факторы (причины) способствовали появлению науки комбинаторики, какие ученые стояли у самых истоков возникновения. Студенты занимались сбором и оформлением информации, на уроке они представляют результаты своего труда – выступают с защитой проекта.

6. Сообщение нового материала.

Тексты двух задач на слайде:

Задача 1. В некотором учреждении имеются две различные вакантные должности: ветеринарный фельдшер и лаборант ветеринарной лаборатории, на каждую из которых претендуют три сотрудника: A, B, C. Сколькими способами из этих трех кандидатов можно выбрать два лица на эти должности?

Задача 2. Для участия в соревнованиях требуется выбрать двоих спортсменов из трех кандидатов: A, B, C. Сколькими способами можно осуществить этот выбор?

Студентам предлагается два проблемных задания:

1) установить различие между этими двумя внешне схожими задачами

2) предположить, в какой задаче результат будет больше, и почему.

После этого предлагается решить эти задачи методом перебора всевозможных вариантов.

Решение задачи 1. AB, AC, BA, BC, CB, CA (всего шесть способов).

Решение задачи 2. AB, AC, BC (всего три способа).

Преподаватель обращает внимание студентов на то, что эти задачи оказались похожими только внешне, из-за того, что в обеих присутствуют два числа: m=3 – общее количество элементов и n=2 – количество выбранных элементов. Но в первой задаче составляются упорядоченные соединения, тогда как во второй задаче порядок следования элементов в соединении не имеет значения.

А если вместо чисел 3 и 2 будут, например, числа 8 и 3. Подойдет ли метод перебора для решения таких задач? Нет. Поэтому существуют комбинаторные выражения (формулы) для этих соединений, которые мы изучили на прошлом уроке.

Итак, задачи, в которых производится подсчет возможных различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными. Решая задачи, главное, правильно выбрать формулу. Чтобы в дальнейшем у Вас не было сомнений в верности решения задачи, давайте составим алгоритм по использованию формул комбинаторики.

Напомните, как можно составить алгоритм? А самый наглядный способ – это составление блок-схемы алгоритма.

Определите тип алгоритма, для этого сформулируйте вопрос, ответ на который приведет к правильному выбору формулы.

Давайте заполним блок-схему алгоритма данными.

Используем блок-схему для решения следующих задач:

1. №1063 (1)
2. № 1074 (2)
3. №1085 (1)
4. №1088(1)

Все устали, проведем физкультминутку.

7. Защита проекта «Комбинаторика в нашей жизни».

Группа за неделю до урока получила задание: найти информацию о том, существует ли комбинаторика в реальной жизни, если да, то в каких отраслях применяется. Студенты занимались сбором и оформлением информации, на уроке они представляют результаты своего труда – выступают с защитой проекта.

8. Закрепление полученных знаний.

Закрепление использования блок-схемы алгоритма проведем в форме математического лото.

Студенты разбиваются на 4 группы по 4-5 человек. Каждая группа получает набор раздаточных материалов «Математического лото». Каждый комплект состоит из 9 математических заданий по комбинаторным задачам, картонного листа в виде матрицы размерности 3 на 3 с написанными в ячейках числами-ответами.

Задача студентов – решить 9 заданий, закрыть число-ответ на игровом поле соответствующей карточкой с заданием. Перевернув карточки с заданиями текстом вниз, студенты увидят фотографию животного. Далее фронтально проверяется решение каждой задачи.

Перед началом игры преподаватель мотивирует студентов на активное участие в ней, сообщая, что это упражнение позволит наилучшим образом сформировать навыки решения комбинаторных задач, что значительно упростит выполнение домашнего задания и решения соответствующей задачи на экзамене.

Задачи:

9. Рефлексия.

Проверь себя:

1.Определите вид соединений:

а) Соединения из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются __________перестановки

б) Соединения из n элементов по  m, отличающихся друг от друга только составом элементов, называются _______________сочетания

в) Соединения из n элементов по  m, отличающихся друг от друга  составом элементом  и порядком  их расположения, называются  _________ размещения

2.Восстановите соответствие типов соединений и формул для их подсчёта

Ответы: А2, В3, С1.

3. Способствует ли блок-схема алгоритма более быстрому решению комбинаторных задач?

10. Подведение итогов.

Подведение итогов занятия: что получилось, в чем трудность.

Домашнее задание

1. §60 - §63
2. №1103(2)
3. №1104(2)
4. №1107(1)

Спасибо за урок, до свидания.

Заключение.

Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторого действия. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае.

Комбинаторика имеет огромное значение в различных областях науки. С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому – химику, биологу, конструктору, диспетчеру и т.п. Комбинаторика используется в литературе, математике, музыке, в мебельной деятельности, и различных играх (нарды, шашки, шахматы). В каждой из этих игр приходится рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывает тот, кто их лучше изучает, знает выигрышные комбинации и умеет избегать проигрышных. Усиление интереса к комбинаторике в последнее время обуславливается бурным развитием кибернетики.

В представленной работе рассмотрена блок-схема алгоритма применения формул комбинаторики для решения задач, а закрепление темы осуществляется в игровой форме.