Презентация "Комплексные числа"
презентация к уроку по алгебре (11 класс)

Слайд 1

Комплексные числа (Алгебра и начала математического анализа 11 класс) Мы никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы. Платон

Слайд 2

История развития чисел N 1,2,3,4,… Первое аксиоматическое определение множества натуральных чисел дано итальянским математиком Джузеппе Пеано (1858 – 1932) N – натуральные числа ( natural - естественный )

Слайд 3

Z … - 2, -1, 0, Z – целые числа (zero – нуль) В VII веке индийский математик Брахмагупта активно использует понятие отрицательного числа и уже полностью владеет теорией решения уравнений первой и второй степени с одним неизвестным. В европейскую практику отрицательное число вошло только в Х II – XIV веках. Так постепенно сформировалось понятие целого числа. N 1,2,3,… История развития чисел

Слайд 4

Q – рациональные числа ( quotient - отношение) В древнеегипетском папирусе Райнда , переписанным около 1650 г. до н.э. писцом Ахмесом , рассматривались лишь дроби вида , п N ( аликвотные) для решения различных задач. Q 0,25 4,6(11) История развития чисел N 1,2,3,… Z … - 2, -1, 0,

Слайд 5

Q – рациональные числа ( quotient - отношение) В 1585 году нидерландский математик Симон Стевин в книге «Десятина» ввёл и объяснил десятичные дроби; появилась так называемая позиционная система записи числа. N 1,2,3,… Z … - 2, -1, 0, Q 0,25 4,6(11) История развития чисел

Слайд 6

R – действительные числа ( real – реальный, настоящий) N 1,2,3,… Z … - 2, -1, 0, Q 0,25 4,6(11) R 7,1325479… π е Математическое строгое определение иррационального (действительного ) числа, не опирающегося непосредственно на геометрию, было дано только в 70-х гг. Х I Х столетия немецким математиками К. Вейерштрассом, Р. Дедекиндом и Г. Кантором . История развития чисел

Слайд 7

N 1,2,3,… Z … - 2,-1,0, Q 0,25 4,6(11) R 7,1325479… π е В 1768 г. в своем учебнике алгебры Леонард Эйлер писал, что так как квадратный корень из отрицательного числа не может быть числом ни положительным, ни отрицательным, ни нулем, то он не может быть причислен к возможным числам. Значит, это число нового класса чисел, причем на числовой прямой ему уже места нет. Символ i , называемый мнимой единицей ( imaginary – мнимый, воображаемый) , был им предложен в XVIII веке. История развития чисел i

Слайд 8

В первые вплотную к определению комплексных чисел подошел итальянский математик и инженер Рафаэль Бомбелли (1526 – 1572) в своей книге «Алгебра». История развития чисел N 1,2,3,… Z … - 2,-1,0, Q 0,25 4,6(11) R 7,1325479… π е i

Слайд 9

C – комплексные числа ( complex – составные) В 1831 году в работах немецкого математика Карла Гаусса они получили название «комплексных» ( в переводе с латинского «составные») История развития чисел N 1,2,3,… Z … - 2,-1,0, Q 0,25 4,6(11) R 7,1325479… π е С i

Слайд 10

История развития чисел Долгое время даже математики считали комплексные числа загадочными и пользовались ими только для математических манипуляций. Так, швейцарский математик Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов. Чуть позже с помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения и встречаются, к примеру, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде . Около 1800-го года сразу несколько математиков ( Вессель , Арган , Гаусс) поняли, что комплексными числами можно моделировать векторные величины на плоскости .

Слайд 11

(Будь рациональным !) (Будь реальным !)

Слайд 12

Определение комплексного числа Комплексными числами называют выражения вида а + bi , где а и b действительные числа, а i – некоторый символ такой, что i ² = -1. а – действительная ( reale ) часть комплексного числа а = RE (z) b – мнимая (imaginary ) часть комплексного числа b = IM (z) i – мнимая единица z = bi – чисто мнимое число z = а – действительное число Обозначают: z = а + bi

Слайд 13

Для строгого определения комплексных чисел нужно ввести для этих чисел понятие равенства и операции сложения и умножения. Два комплексных числа называют равными , если равны их действительные части и равны их мнимые части. а + bi = с + di <=> а = с , b = d

Слайд 14

Арифметические операции над комплексными числами z₁ + z₂= ( а + bi) + ( с + di ) = ( а + с ) + (b + d) i z₁ - z₂= ( а + bi) - ( с + di ) = ( а - с ) + (b – d) i z₁ · z₂= ( а + bi) · ( с + di ) = ( а с - bd ) + (b с + а d) i Доказательство: z₁ · z₂ = ( а + bi) · ( с + di ) = ас + а di + b с i + bdi² = = ( а с - bd ) + (b с + а d) i

Слайд 15

Примеры 1. Дано: z₁ = 1 – 2 i z₂= 3 + i z 3 = - 7 i Вычислить: а) z₁ · z₂ б) z₁ + z₂ · z 3 в) z₁ ( z₂ - z 3 ) г) z₁ + ( z₂ )² +( z 3 )² 2.

Слайд 16

Определение сопряженных комплексных чисел Два комплексных числа называются сопряженными , если они отличаются лишь знаком мнимой части.

Слайд 17

Модуль комплексного числа Модулем комплексного числа z = а + bi называется число √ а² + b² и обозначается | z | , т.е. | z | = | а + bi| = √ а ² + b² . Свойства взаимно сопряженных комплексных чисел и модулей 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Слайд 18

литература http://images02.olx.ru/ui/1/28/70/6422870_1.jpg http://shimrg.rusedu.net/gallery/646/Risunok19.png http://30nar-sol6.edusite.ru/images/profess http://external.ak.fbcdn.net/safe_image.php?d=fbf3b968482926ac6e712cd0b2fc3821&w=180&h=540&url=http%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fcommons%2F3%2F3a%2FGiuseppe_Peano.jpg (Пеано) http://nplit.ru/books/item/f00/s00/z0000062/pic/000021.jpg ( Стевин ) http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d9/Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg ( папирусРайнда )

Слайд 19

http://berkovich-zametki.com/2009/Zametki/Nomer10/Karl_Weierstrass.jpg (Вейерштрасс) http://rudimatematici-lescienze.blogautore.espresso.repubblica.it/files/2010/10/Dedekind.jpg (Дедекинд) http://zhmud-s.moy.su/_si/0/70913698.jpg (Кантор) http://www.childrenpedia.org/2/18.files/image048.jpg (Эйлер) http://newton.net.pl/files/matematyka/Bombelli.jpeg (Бомбелли) http://www.sil.si.edu/digitalcollections/hst/scientific-identity/fullsize/SIL14-G001-10a.jpg (Гаусс) http://www.mightywombat.com/toons/numbers.gif