Задачи на проценты.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс)

Образцова Лариса Николаевна

учитель математики

МБОУ «СОШ № 20 им. А.А.Хмелевского»

города Курска

Задачи на проценты.

«Что умеете хорошего, то не забывайте,

а чего не умеете, тому учитесь…»

 из поучения Владимира Мономаха.

Текстовые задачи на проценты встречаются в заданиях на ОГЭ и ЕГЭ. Эти задачи можно разделить условно на следующие типы:

- на «сохранение веса сухого вещества»;

- на «смеси и сплавы»;

- на «уменьшение и увеличение цены»;

- на «различное процентное содержание компонентов в продукте».

Прежде чем приступить к решению задач на проценты следует вспомнить:

Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты выразить  в виде дроби, а затем число умножить на эту дробь.

Правило 2. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов разделить на эту дробь.

Решение задач на «сохранение веса сухого вещества».

  Задача 1.

Влажность свежескошенной травы составила 70%. Сколько кг сена, влажность которого 20%, получится из 6 тонн травы?    

Решение:

Трава   6 т                                            Сено - ?

Влажность 70% = 0,7                      Влажность 20% = 0,2  

Сухое вещество  30% = 0,3       =     Сухое вещество 80% = 0,8

1).  6 • 0,3 = 1,8(т) - сухое вещество

2). 1,8 : 0,8 = 2,25(т) – сено

2,25т = 2250кг

Ответ: 2250 кг.

  Задача 2.

На хранение было отправлено несколько тонн фруктов, с содержанием воды 95%. За время хранения содержимое воды  в  фруктах понизилось на 1%, в результате чего их вес стал составлять 10 тонн. Сколько тонн фруктов было отправлено на хранение?

 Решение:

Отправлено - ?                                    После хранения 10 т

Вода     95% = 0,95                              Вода       95% - 1% = 94% = 0,94  

Сухое вещество 5% = 0,05         =      Сухое вещество 6% = 0,06

1).  10 • 0,06 = 0,6(т) - сухое вещество

2). 0,6 : 0,05 = 12(т) – фруктов отправлено на хранение.

Ответ: 12 т.                                                                

Решение задач на «смеси и сплавы».

Задача 3.

Для приготовления коктейля используют молоко жирностью 2%, и мороженое, жирность которого 10%.Сколько грамм мороженого нужно взять, чтобы получить 500 грамм коктейля, жирность которого 4%? 

При решении задач этого типа можно использовать метод «стаканчиков».

Решение: д1 способ.

          Пусть х г – масса молока, у г – масса мороженого.

По условию задачи масса коктейля 500 г, составим уравнение:

 х + у = 500.

Количество жира в молоке  –  0,02х г, 0,1у г  –  в мороженом, а в коктейле  -                            500•0,04 = 20 (г), составим уравнение:

0,02х+0,1у=20,

          2х + 10у =2000.

Имеем систему:

       х + у = 500,

       2х + 10у =2000;

        х = 500 – у,

        2(500 – у) +10у =2000,

        1000 – 2у +10у =2000,

        8у=1000,

           у=125(г) – масса мороженого.

           Ответ: 125 г.

Более краткое решение дает метод «квадрата» или «конверт Пирсона».

При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение.

Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

Решение: 2 способ.         

Задача 4.

Имеются два сплава, в первом из которых содержится 90% серебра, а во втором – 60% серебра. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы переплавив их, получить новый сплав, содержащий 70% серебра?

Решение:

Метод «квадрата» или метод «конверт Пирсона» упрощает решение, доступен ученикам, которые не умеют решать уравнения. Недостатком этого метода является то, что его можно применять только при смешивании двух растворов. То есть если нужно смешать три или более веществ, «конверт Пирсона» здесь не поможет.

Задача 5.

В двух сосудах содержится раствор борной кислоты различной концентрации. В первом сосуде содержится 3 л раствора, а во втором – 5 л. Если растворы, находящиеся в этих сосудах, смешать то получится 44%  раствор кислоты. Если смешать равные объемы этих растворов, то получится 40% раствор. Какова концентрация раствора (в процентах), содержащегося в первом сосуде?

Пусть х% – концентрация раствора в первом сосуде, у % – концентрация раствора во втором сосуде.

Имеем систему:      0,03 х +0,05 у = 3,52,

                                   0,01х +0,0 1у =0,8 ;

                                  3х + 5у = 352,

                                   х + у =80 ;

                                   у = 80 – у,

                                  3х+5(80 – у) =352,

                                  3х+400 – 5х =352,

                                   -2х = -48,

                                     х = 24(%) – концентрация раствора в первом сосуде.

                                  Ответ: 24%.

Решение задач на «уменьшение и увеличение цены».

Один из методов  -  «первоначальная цена 100 рублей».

Задача 6.

В марте мобильный телефон стоил на 30% больше, чем в июне, а в июне, а в июне он стоил на 20% больше, чем в декабре. На сколько процентов стоимость телефона в марте была выше, чем стоимость телефона в декабре?

Решение:

Пусть цена телефона в декабре - 100 рублей.

100 рублей – 100%; 1рубль – 1%

Март               на 30% > чем в июне                          ? руб.

Июнь               на 20% > чем в декабре                      ? руб.

Декабрь           100 %                                                  100 руб.

1). 20% - 20 рублей

     100 + 20 =120(руб) – в июне

2). 30% от 120 руб.

     120 • 0,3 =36(руб) – 30%

3). 120 + 36 = 156(руб) –в марте

4). 156 – 100 = 56(руб) – на столько выше цена билета в марте чем в декабре.

56руб.= 56%

Ответ: 56%.

Задача 7.

К июню кинотеатр увеличил цену билета на 50% по сравнению с ценой билета в январе. На сколько процентов нужно будет снизить цену билета, чтобы в конце сезона она была на 20% выше, чем в январе? 

Решение:

Пусть в январе цена билета была 100 рублей.

100 рублей – 100%; 1рубль – 1%

Январь             100%                                 100руб.

Июнь          на 50%  > чем в январе         ? руб.

Декабрь     на 20% > чем в январе           ? руб.

1). 100 + 50 = 150(руб)  - в июне

2).  100 + 20 = 120(руб)  - в декабре

3).  150 – 120 = 30(руб)  - понижение цены в июне

4). 150руб. - 100%

     30руб.  -  ?х

 х = 3000 : 150 = 20(%) – понижение цены в июне

 Ответ: на 20%.

Задачи на «различное процентное содержание компонентов в продукте».

Задача 8.

Смесь сухофруктов состоит из чернослива, инжира и манго. Чернослива в этой смеси на 80% больше, чем инжира, а манго в 1,5 раза меньше, чем чернослива. Сколько процентов инжира содержит данная смесь сухофруктов?

Правило. Если а больше b на р%, то  а = b + 0,01 рb = b(1 + 0,01р).

Решение:

Чернослив      х(1+0,01• 80) = 1,8х%

Инжир            х%                                         100%

Манго             1,8х : 1,5 = 1,2х%

Пусть данная смесь содержит х % инжира, тогда 1,8х % чернослива,

1,2х% манго в данной смеси сухофруктов.

По смыслу задачи вся смесь сухофруктов – 100%, составим и решим уравнение:

1,8х + х + 1,2х = 100,

4х =100,

х = 25(%) – инжира

Ответ: 25%.

Задача 8.

В пакете находится 840 г смеси сухофруктов, состоящей из абрикосов, изюма и чернослива. Абрикосов в этой смеси на 25% меньше, чем изюма, а чернослива на 40% больше, чем абрикосов. Сколько граммов изюма в этой смеси?

Правило.  Если a меньше b на р%, то а = b – 0,01 рb = b(1 – 0,01р). 

Решение:

Абрикосы           х(1-0,01 • 25) = 0,75х г

Изюм                  х г                                                  840 г                            

Чернослив         0,75х(1+0,01 • 40) = 1,05х г

Пусть данная смесь сухофруктов содержит х г изюма, 0,75х г абрикосов,

 1,05х г чернослива.

По условию задачи вся смесь сухофруктов – 840 г, составим и решим уравнение:

0,75х + х + 1,05х = 840.

2,8х = 840,

х = 300(г) - изюма

Ответ: 300 г.

В данной работе рассмотрены задачи на проценты. Предложены способы решения по выше изложенным типам задач на проценты. При подготовке к ОГЭ и ЕГЭ обучающиеся должны приобрести опыт решения различных текстовых задач, способность выбирать оптимальный метод решения  и рассматривать различные методы. Данный материал можно использовать в работе при подготовке к экзаменам в выпускных классах.

Литература:

1. Математика 9 класс. ОГЭ 2020. Учебно-методическое пособие. Под редакцией  Д.А.Мальцева. Народное образование. Москва 2020.
2.  Математика ЕГЭ 2020. Учебно-методическое пособие. Под редакцией  Д.А.Мальцева. Народное образование. Москва 2020.