Исследовательская работа Способы нахождения квадратного корня без помощи калькулятора
творческая работа учащихся по алгебре (9 класс)

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждения гимназия №271 Красносельского района

Санкт-Петербурга имени П. И. Федулова

Исследовательская работа

      Тема «Способы нахождения квадратного корня без помощи калькулятора»

Автор Болоткин Дмитрий Игоревич 9-4 класс

Натальчук Александра Алексеевна,

 учитель математики

2021

Оглавление

1. Введение
2. Происхождение термина и символики.
3. Способы вычисления арифметического корня

1. Способ разложения на простые множители
2. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел
3. Формула Древнего Вавилона
4. С помощью уравнения
5. Канадский метод
6. Способ вычетов нечётного числа
7. Способ отбрасывания полного квадрата (для четырёхзначных чисел)

4.  Вывод

      5. Литература

1. Введение

Актуальность исследования обусловлена стремлением углублять математические знания через применение простейших способов извлечения квадратных корней без калькулятора, распространение алгоритмов извлечения корней среди учащихся, что особенно актуально при сдаче экзаменов, где запрещено пользование калькулятором, а также использовать эти знания при работе с вычислениями корней на уроках математического цикла в ситуациях недоступности калькулятора.

Цель работы: Исследовать различные способы вычисления арифметических корней. Изучить все известные способы извлечения квадратных корней без калькулятора и отобрать самые рациональные для практического применения.

Задачи:

1. Изучить всю найденную литературу по данному вопросу, научные статьи, исторические справки и работы современных учёных и исследователей.

2. Рассмотреть особенности каждого найденного способа и описать его алгоритм.

3. Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов.

Гипотеза: Существует не менее трёх способов извлечения квадратных корней без калькулятора.

Объект исследования: математические символы – квадратные корни.

Предмет исследования: особенности способов извлечения квадратных корней без калькулятора.

Методы исследования:

1. Поиск способов и алгоритмов.

2. Сравнение найденных способов и выявление их преимущества и недостатков.

3. Экспериментальное подтверждение правильности разных способов на практике при исследовании путём решения конкретных задач.

2. Происхождение термина и символики:

Термин корень имеет долгую и сложную историю. Извлечение квадратного корня древние греки понимали строго геометрически: как нахождение стороны квадрата по известной его площади. После перевода на санскрит греческое слово «сторона» превратилась в «мула» (основание). Слово «мула» имело также значение «корень», поэтому при переводе индийских сиддхант на арабский использовался термин «джизр» (корень растения). Впоследствии аналогичное по смыслу слово «radix» закрепилось в латинских переводах с арабского, а через них и в русской математической терминологии («корень», «радикал»).

Средневековые математики (например, Кардано) обозначали квадратный корень символом Rx, сокращение от слова «radix». Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов (то есть алгебраистов), в 1525 году. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова «radix». Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня.

Из всей истории появления в математике квадратного корня получается, что патент на изобретение квадратичных исчислений, так же, как и на изобретение колеса, выдавать некому.

3. Способы вычисления арифметического корня

3.1 Способ разложения на простые множители

Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения.

 Ученики применяют этот способ успешно и считают единственным. Извлечение корня разложением на множители – трудоёмкая задача, которая не всегда приводит к желаемому результату. Попробуем извлечь квадратный корень из числа 206116. Разложение на простые множители дает произведение 2∙2∙51529. А как быть дальше? В ответе записывают остаток от разложения под знак корня. Чаще мы видим, что корень до конца не извлечь. Поэтому, этот способ лишь частично решает проблему извлечения квадратного корня.

=

=

=

=3×2

=6

3.2  Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел.

Способ очень прост в применении, и даёт мгновенное извлечение квадратного корня из любых целых чисел от 1 до 100 с точностью до десятых.

Найдём значение

Закрываем две последние цифры у всех чисел в таблице квадратов и находим близкие для 73, таких два числа 7225 и 7396 (7396-это много). Рассматриваем число 7225.

Левый столбик таблицы квадратов даёт ответ 8 (целых), а верхняя строка 5 (десятых). Значит   8,5

Подсчитаем на МК:

8,544

Быстро, просто, доступно на экзамене. Корни большие 100 этим способом извлечь невозможно. Способ удобен для заданий с маленькими корнями и при наличии таблицы.

3.3 Формула Древнего Вавилона

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня из числа с.

Число с они представляли в виде суммы  ближайший к числу с точный квадрат натурального числа a и пользовались формулой.

Извлечём с помощью этой древней формулы корень квадратный из числа 43:

Результат извлечения корня из 43 с помощью МК равен 6,55743852.

Как видим, способ вавилонян даёт хорошее приближение к точному значению корня. Но без знания полных квадратов больших чисел и умения их быстро находить, результат извлечения будет найти затруднительно.

Этот способ являются самым простым и доступным для учащихся школ.

3.4 С помощью уравнения.

Существует удобный способ нахождения квадратного корня с помощью решения уравнения. В чем его суть рассмотрим на примере и попробуем вычислить значение корня из числа 37.Сначала определим границы искомого корня в целых числах. Легко догадаться, что это числа 6 и 7

Пусть х – это та разница, на которую отличны друг от друга наше число и 6. Возведем в квадрат обе части полученного уравнения  и раскроем скобки при помощи формулы квадрата суммы:

37 = (6 + х)²

37=36 + 12х + х².

Так как мы рассчитываем получить результат с точностью до десятых или до сотых, а х² явно достаточно малая дробь, то ей вполне можно пренебречь.

 В результате приходим к простому линейному уравнению 37 = 36 + 12х.

 Решив его, получаем значение: х = 0,08. Значит .

Но и этот способ требует терпения и умения решать уравнения с использованием формул сокращённого умножения.

3.5  Канадский метод

Канадский метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность – не более двух-трёх знаков после запятой. Применяли формулу:

  где X - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S - число ближайшего точного квадрата.

Например: извлечь квадратный корень из 86.

 = 9 + 0,27

= 9,27

Метод несложный и удобный.

3.6  Способ вычетов нечётного числа

Способ вычетов нечётного числа заключается в том, чтобы из подкоренного выражения последовательно вычитать нечётные числа 1, 3, 5, 7 и т. д. пока разность не станет равной 0, а затем подсчитать количество вычитаний. Это и будет ответ.

Например: извлечь квадратный корень из 81.

Решение: 81-1=80-3=77-5=72-7=65-9=56-11=45-13=32-15=17-17=0, количество вычитаний = 9, поэтому

Например: извлечь квадратный корень из 225.

Решение: 225-1=224-3=221-5=216-7=209-9=200-11=189-13=176-15=161-17=144-19=125-21=104-23=81-25=56-27=29-29=0,

количество вычитаний = 15, поэтому

Российские учёные называют этот метод арифметическим извлечением квадратного корня, а за глаза «методом черепахи» из-за его медлительности. Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.

4. Вывод

В ходе исследования было выявлено, что в современном мире существует много способов извлечения квадратного корня, начиная со способа математиков Древнего Вавилона. Были изучены и отработаны на практике часть найденных способов. Наше предположение, что существует не менее трех способов извлечения квадратных корней без калькулятора, подтвердилось.

Изучив пару способов, можно смело использовать их на экзамене где калькулятор не допускается.

5. Литература и сайты интернета

1. И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник, С.Б. Гашков «Примени математику». – М.: Наука, 1990
2. Керимов З., «Как найти целый корень?» Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" №2, 1980

1. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. «Рассказы о прикладной математики».- М.: Наука. Главная редакцияфизико- математической литературы, 1979
2. Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры.
3. Ткачева М.В. Домашняя математика.
4. http://translate.google.ru/translate
5. http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
6. http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/