Вариант КИМ для подгдтовки к ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)

1. Задание 1 № 26663

Найдите корень уравнения: 

Решение. Последовательно получаем:

Ответ: −5.

2. Задание 2 № 320186

На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.

Решение. Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (Д — Дания, Ш — Швеция, Н — Норвегия):

...Д...Ш...Н..., ...Д...Н...Ш..., ...Ш...Н...Д..., ...Ш...Д...Н..., ...Н...Д...Ш..., ...Н...Ш...Д...

Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна

Ответ: 0,33.

Замечание.

Пусть требуется найти вероятность того, что датские музыканты окажутся последними среди n выступающих от разных государств групп. Поставим команду Дании на последнее место и найдем количество перестановок без повторений из  предыдущих групп: оно равно  Общее количество перестановок из всех n групп равно  Поэтому искомая вероятность равна

3. Задание 3 № 27624

Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

Решение. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра (p) на радиус вписанной окружности (r):

Ответ: 6.

4. Задание 4 № 26749

Найдите значение выражения 

Решение. Выполним преобразования:

Ответ: 20.

5. Задание 5 № 27045

В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

Решение. Объём детали равен объёму вытесненной ею жидкости. Объём вытесненной жидкости равен 9/12 исходного объёма:

Ответ: 1500.

6. Задание 6 № 317541

На рисунке изображён график  - производной функции f(x).На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, ..., x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x) ?

Решение. Возрастанию дифференцируемой функции f(x) соответствуют положительные значения её производной. Производная положительна в точках x4, x5 x6. Таких точек 3.

Ответ: 3.

7. Задание 7 № 27966

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой  кг и радиуса  см, и двух боковых с массами  кг и с радиусами  При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в  даeтся формулой  При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 625 ? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение. Задача сводится к нахождению наибольшего решения неравенства  при заданных значениях параметров m, M и R:

Решая квадратное неравенство методом интервалов, получим  Наибольшее решение двойного неравенства — число 5.

Ответ: 5.

8. Задание 8 № 99570

Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон  — 42000 рублей, Гоша  — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

Решение. Антон внес  уставного капитала. Тогда Борис внес 100 − 12 − 14 − 21 = 53% уставного капитала. Таким образом, от прибыли 1000000 рублей Борису причитается 0,53 · 1 000 000 = 530 000 рублей.

Ответ: 530 000.

9. Задание 9 № 509149

На рисунке изображены графики функций  и  которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Решение. По графику, g(−2) = −1, g(−1) = −3, g(2) = 3. Тогда

Решая полученную систему, получаем: a = 1, b = 1, из g(2) = 3 получим c = −3. Теперь найдём абсциссу точки B:

Таким образом, ответ — 6.

Ответ: 6.

10. Задание 10 № 508780

Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Решение. Воспользуемся формулой Бернулли. Найдем вероятность события А, состоящего в том, что при десяти бросаниях выпадет ровно 5 орлов:

Аналогично найдем вероятность события B, состоящего в том, что при десяти бросаниях выпадет ровно 4 орла:

Тогда

Ответ: 1,2

11. Задание 11 № 77495

Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

Решение. Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Функция может принимать наименьшее значение в точках  или  Найдем их:

Поскольку  наименьшее из найденных чисел равно 18.

Ответ: 18.

12. Задание 12 № 505428

а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Решение. а) Пусть  тогда уравнение запишется в виде:

Вернемся к исходной переменной:

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку  Получим числа:    и 

Ответ: а)  б)    

13. Задание 13 № 513684

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точка K делит боковое ребро AA1 в отношении AK : KA1 = 1 : 2. Через точки B и K проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD1 в точке M.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD1 в отношении DM : MD1 = 2 : 1.

б) Найдите площадь сечения, если известно, что AB = 4, AA1 = 6.

Решение. Пусть четырёхугольник KBNM — сечение данной призмы плоскостью α (см. рисунок). Прямая AC параллельна плоскости α, а плоскость ACK пересекает плоскость α по прямой KN, следовательно, KN || AC и, значит, AKNC — прямоугольник. Прямые BD и AC являются соответственно проекциями прямых BM и KN на плоскость ABC, значит, точка пересечения прямых BD и AC (точка H) является проекцией точки пересечения прямых BM и KN (точки O) на эту плоскость. Таким образом,  C другой стороны, отрезок OH — средняя линия треугольника BDM и, следовательно,  откуда и следует доказываемое утверждение.

б) Так как AC ⊥ BD и AC ⊥ BB1, то  Но KN || AC, значит, и  Следовательно, KN ⊥ BM, поскольку  и площадь сечения S равна  Имеем:

Ответ: б) 

14. Задание 14 № 507691

Решите неравенство: 

Решение. Используя свойства логарифмов, преобразуем неравенство:

При 

При 

Таким образом, получаем, что решение неравенства — множество 

Ответ: 

15. Задание 15 № 519476

В июле 2018 года планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей необходимо взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами, и банку будет выплачено 311 040 рублей?

Решение. Пусть х руб. — ежегодный платеж, выплачиваемый банку. Четырьмя равными платежами было выплачено 311 040 руб, поэтому х = 311 040 : 4 = 77 760 руб. Проследим за изменением величины долга.

Июль 2018 года: 

Январь 2019 года: 

Февраль - июнь 2019 года: выплата х

Июль 2019 года: 

Январь 2020 года: 

Февраль - июнь 2020 года: выплата х

Июль 2020 года: 

Январь 2021 года: 

Февраль - июнь 2021 года: выплата х

Июль 2021 года: 

Январь 2022 года: 

Февраль - июнь 2022 года: выплата х

Июль 2022 года:

Последняя величина равна нулю, тогда

 руб.

Ответ: 201 300 руб.

16. Задание 16 № 512338

Дана равнобедренная трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне KL как на диаметре, касается боковой стороны MN и второй раз пересекает большее основание KN в точке H, точка Q — середина MN.

а) Докажите, что четырёхугольник NQOH — параллелограмм.

б) Найдите KN, если ∠LKN = 75° и LM = 1.

Решение. а) Треугольник KOH равнобедренный и трапеция KLMN равнобедренная, поэтому ∠KHO = ∠OKH = ∠MNK. Значит, прямые OH и MN параллельны, а так как OQ — средняя линия трапеции, то параллельны прямые OQ и KN. Противоположные стороны четырёхугольника NQOH попарно параллельны, следовательно, NQOH — параллелограмм.

б) Пусть окружность с центром в точке O радиуса R касается стороны MN в точке P. В прямоугольных треугольниках OPQ и KHL имеем

Поэтому

Пусть KH = x. Поскольку трапеция KLMN равнобедренная, KN = 2KH + LM, NH = KH + LM = x + 1.

Тогда

откуда x = 1. Значит, KN = 2x + 1 = 3.

Ответ: б) 3.

17. Задание 17 № 516765

Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение  имеет решения на отрезке 

Решение. Заметим, что

Преобразуем уравнение:

Рассмотрим два случая.

Пусть  тогда из неравенства:

Отрезку  принадлежат два числа и 

Пусть  тогда имеем:

В первой серии не содержится корней, лежащих на отрезке  Среди корней, содержащихся во второй серии, отрезку  принадлежит одно число  Подставляя его в неравенство, получаем:  откуда 

Ответ:  

18. Задание 18 № 514744

Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.

а) Приведите пример числа, для которого это частное равно 

б) Может ли это частное равняться 

в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?

Решение. а) Например, частное числа 339 и произведения его цифр равно 

б) Пусть это частное равно  Тогда число делится на 25, а его две последние цифры равны 2 и 5 или 7 и 5. Но произведение цифр числа должно делится на 27. Ни 2, ни 5, ни 7 не делятся на 3, а первая цифра не больше 9. Значит, частное не может равняться 

в) Рассмотрим два случая:

1. Если произведение цифр числа больше 27. Тогда число и произведение его цифр имеют общий делитель, больший 1, а частное числа и произведения его цифр не превосходят 

2. Если произведение цифр числа равняется 27. Тогда число состоит из единиц, троек и девяток. Наибольшее такое число с произведением цифр 27 равняется 931. Частное этого числа и произведения его цифр равняется 

Значит  − это наибольшее значение, которое может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27

Ответ: а) например, 339; б) нет; в)