Рабочая тетрадь по математике 1 часть
учебно-методическое пособие по алгебре

СМОЛЕНСКАЯ АКАДЕМИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Чернышева Л. В.

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

по математике

(часть 1)

СМОЛЕНСК 2021

                                 Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры ИТ

Чернышева Л. В.

Рабочая тетрадь по математике

(часть 1)

Данная рабочая тетрадь по математике предназначена для студентов 1 курса различных специальностей.

Рабочая тетрадь содержит краткие теоретические сведения, примеры решения типовых задач, упражнения для самостоятельного решения (среди которых задания репродуктивного, частично-поискового и творческого уровня).

©Смоленская академия профессионального образования, 2021

СОДЕРЖАНИЕ

РАЗДЕЛ 1. ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ.        4

§ 1. Числовая функция. Основные понятия.        4

§ 2.Основные характеристики функций.        6

§ 3.Простейшие преобразования графиков функций.        11

РАЗДЕЛ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.        15

§ 1. Тригонометрические функции числового аргумента.        15

§ 2. Свойства и графики тригонометрических функций.        23

§ 3. Тригонометрические уравнения и неравенства.        29

РАЗДЕЛ 3. СТЕПЕННАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ,      
               ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ.        38

§ 1. Обобщение понятия степени.        38

§2.Степенная функция, ее свойства и график.        42

§ 3. Логарифмы и их свойства.        43

§ 4. Показательная и логарифмическая функции.        46

§ 5. Показательные уравнения и неравенства.        50

§ 6. Логарифмические уравнения и неравенства.        52

РАЗДЕЛ 4. ПРЯМЫЕ  И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ.        54

§1. Основные понятия и аксиомы стереометрии.        54

§ 2. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.        57

§ 3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.        59

§4. Взаимное расположение плоскостей в пространстве.        61

§ 5. Перпендикулярность прямой и плоскости.        64

§6. Перпендикуляр и наклонная к плоскости.        66

§7. Перпендикулярность плоскостей.        70

РАЗДЕЛ 1. ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ.

§ 1. Числовая функция. Основные понятия.

 Понятие функции. Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Функция -  ___________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

При этом используют запись  ___________________________________________________.

Переменную х называют _________________ переменной или _______________________,

а переменную у – _____________________________________________________________.

Значение у, соответствующее заданному значению х, называют _____________________.

Область определения функции (обозначение –____________) - _______________________

____________________________________________________________________________;

Множество значений функции (обозначение –______) - _____________________________

____________________________________________________________________________.

Функция f(x) называется числовой, если ее область определения D(f) и множество значений E(f) содержатся во множестве действительных чисел R.

В дальнейшем будем изучать лишь числовые функции.

Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. При этом если область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Например, область определения функции, заданной формулой , состоит из всех чисел, кроме числа –7 (D(f)=(- ∞; -7)U(-7; +∞)).

Способы задания функций. Функции могут быть заданы различными способами. Отметим некоторые из них.

1. Аналитический способ.______________________________________________________

_________________________________________________________________________________

Например, ___________________________________________________________________

2. Табличный способ. _________________________________________________________

_________________________________________________________________________________. Например, широко известны таблица квадратов, таблица обратных чисел и т. д.

3. Графический способ представления функции – самый наглядный. График функции – это линия, дающая цельное представление о характере изменения функции по мере изменения ее аргумента.

Графиком функции y=f(x) называется ___________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Линия, изображенная на рис. 1, не может быть графиком функции, а линия, изображенная на рис. 2, есть график некоторой функции.

                  Рис. 1                                                        Рис. 2

Почему?____________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Благодаря своей наглядности графический способ задания функции часто сопутствует другим способам. Выведя формулу какой-либо функциональной зависимости, исследователь вслед за этим строит еще и ее график. Многие приборы выдают показания именно в виде графиков. Например, барограф вычерчивает график атмосферного давления как функции времени, кардиограмму можно назвать графиком работы сердца.

Упражнения для самостоятельного решения.

№1. Формула у = -5х + 6 задает некоторую функцию. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному -1,2; 2,8. При каком значении аргумента значение функции равно 6; 8; 100.

№2. Запишите значения функции:

а) f(x) = х2 + 2х в точках х0, t + 1;

б) f(x) = +1 в точках х0, а – 2.

№3. Найдите область определения каждой из функций:

а) ;   б) ;  в) ; г) ;

д) ; е) ; ж);  з) ;  

и) .

№4. Найдите область определения и область значений функции:

а) ;   б) .

§ 2. Основные характеристики функций.

 Монотонные функции.

Функция у=f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке Х, если

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Функция у=f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке Х, если

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется _________________ на этом промежутке.

Пример 1. Доказать, что функция, заданная формулой f(x)=3x2 возрастает на промежутке [0; +∞).

Р е ш е н и е. Пусть х2>х1≥0. Тогда оценим разность f(x2)-f(x1)=3x22-3x12=3(x22-x12)=3(x2-x1) (x2+x1)>0.

Итак из неравенства х2>х1≥0 следует неравенство f(x2)>f(x1), т. е. большему значению аргумента из промежутка [0; +∞) соответствует большее значение функции. Следовательно, функция f(x)=3x2 возрастает на промежутке [0; +∞).

О монотонности функции можно судить по ее графику. Например, функция, график которой представлен на рис. 3, ______________________________________________________. Функция, график которой изображен на рис. 4, убывает на промежутке _________ и возрастает на промежутке __________________________________________________________________.

Рис. 3                                                        Рис. 4

Точки максимума и минимума (точки экстремума).

 Четные и нечетные функции.

Функция y=f(x) называется четной, если она обладает следующими двумя свойствами:

1. ____________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

2. ____________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

          __________________________________________________________________________

Функция y=f(x) называется нечетной, если она обладает следующими двумя свойствами:

1. ____________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

2. ____________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

          __________________________________________________________________________

Пример 2. Исследовать на четность функции:

а) у=х20;               б) у=х13;           в) ;            г) .

Р е ш е н и е. а) Область определения функции D(y)=R симметрична относительно нуля.  

Найдем f(-x):

f(-x)=(-x)20= x20= f(x)

Значит, для всех х выполняется неравенство f(-x)=f(x). Функция является четной.

б)  Область определения функции D(y)=R симметрична относительно нуля. Найдем f(-x):

f(-x)=(-x)13= -x13= -f(x)

Значит, для всех х выполняется неравенство f(-x)=-f(x). Функция является нечетной.

в) Область определения функции D(y)=(-∞; -3)U(-3; 3)U(3; +∞) симметрична относительно нуля. Найдем f(-x):

Так как f(-x)≠f(x) и f(-x)≠-f(x), то функция не является ни четной, ни нечетной (такие функции называют функциями общего вида).

г) Область определения функции D(y)=(-∞; -5)U(-5; +∞) не является симметричной относительно нуля, поэтому функцию исследовать на четность, нечетность нельзя.

Графики четной и нечетной функции обладают следующими особенностями:

1. Если функция является четной, то ее график ________________________

____________________________________________________________________ (рис. 6).

2. Если функция является нечетной, то ее график _____________________

_____________________________________________________________________(рис. 7).

                       Рис. 6                                                         Рис. 7

Промежутки знакопостоянства и нули функции.

Промежутками знакопостоянства функции - ___________________________________

____________________________________________________________________________.

О промежутках знакопостоянства функции легко судить по ее графику. Рассмотрим, например, функцию у=x (рис. 8)

Нули функции - ___________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Процесс определения основных характеристик функции по ее графику называется ______________________________________________________________________________.

Упражнения для самостоятельного решения.

№5. Докажите, что функция, заданная формулой f(x)=3x2 убывает на промежутке (-∞; 0].

№6. Докажите, что функция y = kx + b

а) возрастает на множестве R при k > 0;

б) убывает на множестве R при k < 0.

Установите четность или нечетность функций (7 – 9)

№7. а) у = -2х2;    б) у = х7 – 2х3.

№8. а) у = (х – 3)2 – (х + 3)2;  б) ;  в) у = 0,5х3 – 5х2.

№9. a) ;   б) ;   в) .

№10. Для функций, графики которых изображены на рис. 10, а - е, найдите:

а) f(3); f(-1); f(5);

б) те значения х, при которых значение функции равно 1;

в) область определения функции;

г) множество значений функции;

д) нули функции;

е) промежутки знакопостоянства;

ж) промежутки монотонности;

д) точки экстремума, вид экстремума;

з) является ли функция четной, нечетной.

                     а)                                          б)                                           в)                    Рис. 10                          

                     г)                                           д)                                          е)

Начертите эскиз графика функции f  (11 – 13):

№11. а) f возрастает на промежутке (-∞; 2] и убывает на промежутке [2; +∞);

б) f убывает на промежутках (-∞; -1] и [4; +∞), возрастает на промежутке [1; 4].

№12. а) хmax = -3, хmin = 4, f(-3) = 5, f(4) = -5;

б) , хmin = -2 , хmin = 2, хmax = 0, f(-2) = f(2) = -3, f(0) = 2.

№13. а) f – четная функция, хmax = -3, , хmin = 0, f(-3) = 4, f(0) = 0;

б) f – нечетная функция, хmax = 2, , хmin = 5, f(2) = 3, f(5) = -4.

§ 3. Простейшие преобразования графиков функций.

Если известен график функции у=f(x), то с помощью некоторых преобразований плоскости (параллельного переноса, осевой и центральной симметрии и т. д.) можно построить графики более сложных функций.

1.График функции f(kx) получается сжатием графика f(x) в k раз вдоль оси Ох при k>1 или растяжением в  раз вдоль этой оси при 0

Рис. 11

2.График функции f(x+c) получается параллельным переносом графика f(x) в отрицательном направлении оси Ох на │с│при с>0 и в положительном направлении на│с│при с<0 (рис. 12)

Рис. 12

3.График функции kf(x) получается растяжением графика f(х) вдоль оси Оу в k раз при k>1 или сжатием в  раз вдоль этой оси при 0

Рис. 13

4.График функции f(x)+c получается параллельным переносом графика f(x) в положительном направлении оси Оу на │с│при с>0 и в отрицательном направлении этой оси на│с│при с<0 (рис. 14)

Рис. 14

5.График функции у=f(-x) получается симметричным отображением графика f(x) относительно оси Оу (рис. 15).

6.График функции у= - f(x) получается симметричным отображением графика f(x) относительно оси Ох (рис. 16).

                                Рис. 15                                                          Рис. 16

7.График функции у=│f(x)│получается из графика функции у=f(x) следующим образом: часть графика у=f(x), лежащая над осью Ох, сохраняется, часть его, лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно оси Ох (рис. 17).

8.График функции у=f(│x│) получается из графика функции у=f(x)следующим образом: при х≥0 график у=f(x) сохраняется, а при х<0 полученная часть графика отображается симметрично относительно оси Оу (рис. 18).

                            Рис. 17                                                          Рис. 18

Замечание. Если необходимо построить график функции, содержащий знак модуля, можно воспользоваться определением модуля.

Пример. Построить графики следующих функций:

а) ; б) у=2х2-8х-1; в) ; г) у=х2-2 | х |-3; д) у=3 |х+2| -1

Р е ш е н и е.

Упражнения для самостоятельного решения.

№14. В одной и той же системе координат постройте графики следующих функций:

а);

б).

№15. Постройте графики функций:

а);  б);   в);  г);  д).

№16. Используя преобразования, постройте графики следующих функций:

а);  б);  в) ;  г).

№17*.Постройте графики функций:

а);  б).

РАЗДЕЛ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

§ 1. Тригонометрические функции числового аргумента.

Градусное и радианное измерение углов.

Градус – величина центрального угла, стягиваемого дугой, равной  длины окружности (рис. 24 )

Минутой называют  градуса (обозначение: ’ )        

Секундой называют  минуты (обозначение: ’’ )        

Радиан – величина центрального угла, стягиваемого дугой, равной радиусу данной окружности (рис. 25).

                      Рис. 24                                             Рис. 25

Формулы перехода от радианной меры угла к градусной и наоборот имеют вид:

 рад

рад = .

Пример 1.

а) выразим в радианах величину угла А, если А=1500:

______________________________________________________________________.

б) выразим в градусах величину угла α, если α = 4,5 рад:

______________________________________________________________________.

Запишем градусную и радианную меры наиболее часто встречающихся углов:

Тригонометрические функции.

Рассмотрим единичную окружность, т. е. окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1 (рис. 26). На единичной окружности отметим точку Р0 (1; 0). При

Синусом угла α _______________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Косинусом угла α _____________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Каждому углу α соответствует единственная точка Рα (хα; уα) и, следовательно, единственное значение синуса и косинуса этого числа.

Вывод _______________________________________________________________________

Укажите множество значений синуса и косинуса угла  ______________________________

Тангенсом угла α ______________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Котангенсом угла α ___________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

В практических вычислениях часто используются значения тригонометрических функций, приведенные в таблице:

Отметим знаки значений тригонометрических функций по четвертям:

Важное значение имеет следующее свойство тригонометрических функций: значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются при прибавлении к данному углу целого числа оборотов. Этот факт позволяет свести нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к нахождению их значения для неотрицательного угла, меньшего 3600.  Например,

cos 7850 = cos (2∙3600  + 650) = cos 650.

Пример 2. Определить знак произведения sin 670 ctg 2670 cos 3750 tg (-680) sin 2.

Р е ш е н и е. sin 670 > 0, так как угол 670 является углом первой четверти, а синус в первой четверти положителен.

ctg 2670 < 0, так как угол 2670 является углом третьей четверти, а котангенс в этой четверти отрицателен.

cоs 3750 > 0, так как угол 3750 является углом первой четверти (3750 = 3600+150), а косинус в этой четверти положителен.

tg (-680) < 0, так как угол –680 является углом четвертой четверти, а тангенс четвертой четверти отрицателен.

sin 2 > 0, так как угол величина которого 2 радиана, является углом второй четверти, а синус во второй четверти положителен.

Следовательно, исходное произведение положительно.

Основные формулы тригонометрии.

Из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса следуют основные тригонометрические тождества:

sin² α + cos² α =1

;  ;

tgα ⋅ ctgα = 1;

;  .

Пример 3 . Вычислить значения остальных трех основных тригонометрических функций, если sin α = -0,8,  .

Р е ш е н и е. Найдем значение косинуса, воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, из которого следует, что: .

Получаем: .

Выясним, какой знак надо оставить перед корнем. По условию , т. е. угол принадлежит III четверти, а косинус в этой четверти отрицателен. Следовательно, перед корнем надо оставить знак «минус». Итак, соs α = -0.6.

Для нахождения значений тангенса и котангенса воспользуемся формулами:

;  .

Получим: .

Формулы, выражающие зависимость между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противолежащих углов:

sin (-α) = - sin α;

cos (-α) = cos α;

tg (-α) = - tg α;

ctg (-α) = - ctg α.

Основой для вывода остальных формул являются формулы сложения:

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β;

sin (α  - β) = sin α cos β - cos α sin β;

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β;

cos (α  - β) = cos α cos β + sin α sin β;

; ;

; .

Пример 4. Вычислить без таблиц: 1) sin 1050; 2) tg 150.

Р е ш е н и е.

1) Представим 1050 в виде суммы 600+450. Тогда

sin 1050 = sin (600 + 450) = sin 600 cos 450 + cos 600 sin 450 =.

2) Представим 150 в виде разности 450 – 300. Тогда

tg 150 = tg (450 - 300) =.

Из формул сложения, полагая , где nєZ, получаем формулы приведения для преобразования выражений вида

; ; ; , nєZ.

Для запоминания этих формул удобно пользоваться таким правилом:

а) перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция, если ;

б) функция меняется на «кофункцию», если n  нечетно; функция не меняется, если n четно. (Кофункциями синуса, косинуса, тангенса и котангенса называются соответственно косинус, синус, котангенс и тангенс).

Например, ; ;  и т. п.

Пример 5. Привести к тригонометрической функции острого угла:

          1) sin 4740;

2)cos (-15600); 3)tg 23,7π.

Р е ш е н и е.

1) sin 4740 = sin (3600 + 1140) = sin 1140 = sin (900 + 240) = cos 240.

2)cos (-15600) = cos 15600 = cos (3600∙4 + 1200) =cos 1200 = cos (1800 - 600) = -cos 600  =-0,5.

3)tg 23,7π = tg (23π +0,7π) = tg (0,7π) = tg (π – 0,3π) = -tg 0,3π.

Пример 6. Упростить выражение .

Р е ш е н и е.

.

Из формул сложения, полагая α = β, выводятся формулы двойного аргумента:

sin 2α = 2sin α cos α;

cos 2α = cos² α - sin² α;

cos 2α = 2 cos² α - 1;   cos 2α = 1-2 sin²α

.

Пример 7. Вычислить значение выражения: sin 750∙sin 150.

Р е ш е н и е.  

sin 750∙sin 150 = sin (900 – 150)∙sin 150 = сos 150∙sin 150 = .

Известны также формулы суммы и разности синусов и косинусов:

;

;

;

,

и формулы половинного аргумента:

;

;

.

В указанных формулах половинного аргумента знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол .

Полезно знать следующие формулы:

; .

Упражнения для самостоятельного решения.

№18. Данные углы выразите в радианах:

а) 400, 1600, 3100;

б) 360, 3170, 10000;

в) 17015’, 1005’’, 35’20’’.

№19. Найдите угловую величину дуги в градусах, если ее радианная мера равна:

а) , , ;

б) 4, -0,75π, 7π;

в) , cos 0,5π, sin 900 + cos 00 – ctg .

№20. Найдите числовое значение выражения:

а) ;                б) ;

в) ;             г) .

№21. Определите знак произведения:

а) sin 500 cos 600 sin 1880 ctg 4890;

б) sin 2100 tg 4650 cos 5400 ctg 3 sin (-460).

№22. Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно:

а)  и ; б) 0,4 и 0,7; в)  и ; г)  и ?

№23. Могут ли тангенс и котангенс одного и того же числа быть равными соответственно:

а)  и ; б) и ; в) 2,4 и ; г)  и ?

№24. Вычислите значения остальных тригонометрических функций, если известно значение:

а) ;            б) ;

в) tg α = 2, 1800 < α < 2700;             г) ctg α = -3, 2700 < α < 3600.

№25. Вычислите значение выражения:

а) ;      б) ;

в) ;      г) .

№26. Преобразуйте данное выражение таким образом, чтобы аргумент соответствующей тригонометрической функции принадлежал промежутку (0; ):

а) ;

б) .

№27. Найдите числовое значение выражения:

а) cos2 (π - α) tg (π + α) tg ( - α) + sin (2π - α) cos ( + α);

б) .

№28. Упростите выражение:

а) ;    б) ;    в) ;

г) ;    д) ;   г) ctg2 α (1-cos 2α) + cos2 α.

№29. Вычислите sin 2α, cos 2β, cos (α + β) и sin (α - β), если:

а);

б) .

№30. Найдите , если:

а) ;

б) .

№31*. Вычислите:

а) сos 1050 – sin 1950 + sin 1350;

б) sin 8100 cos 9000  + tg 5850 ctg 18450 + cos 1350 sin 4050;

в) tg 180 tg 2880  + sin 320 sin 1480 + sin 3020 sin 1220.

№32*. Докажите тождества:

а)  при ;

б) (sin2 t + 2 sin t cos t – cos2 t)2 = 1 – sin 4 t;

в) ;

г)  при .

№33*. Вычислите:

а) ;

б) .

§ 2. Свойства и графики тригонометрических функций.

Свойства функции у=sinx и ее график.

Числовая функция, заданная формулой y = sin x называется синусом.

Свойства:

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

График (рис. 27)

Рис. 27

Свойства функции у=cosx и ее график.

Числовая функция, заданная формулой y = cos x называется косинусом.

График (рис. 28)

                                                         Рис. 28

Свойства:

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Свойства функции у=tgx и ее график.

Свойства:

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________                                       

График (рис. 29)

Рис. 29

Свойства функции у=ctgx и ее график.

График (рис. 30)

                                                                      Рис. 30

Свойства:

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Обратные тригонометрические функции.

Теорема. Пусть функция f возрастает (или убывает) на некотором промежутке, а число а – любое из значений, принимаемых функцией на этом промежутке. Тогда уравнение f(x) = a имеет единственный корень на данном промежутке.

          Известно, что функция sin x возрастает на отрезке и принимает значения от        -1 до 1. Таким образом (по теореме), для любого числа а, такого, что –1 ≤ а ≤ 1, на промежутке  существует единственный корень уравнения sin x = a. Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают  arcsin a.

Итак, арксинусом числа а называется такое число α из отрезка , синус которого равен а.

Математическая запись данного предложения такова:

arcsin a = α, если sin α = a, где α ∈ ; а∈ [-1; 1].

Аналогично введем понятие арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Арккосинусом числа а называется такое число α из отрезка [0; π], что его косинус равен а.

Математическая запись данного предложения такова:

arccos a = α, если cos α = a, где α ∈ [0; π] ; а∈ [-1; 1].

Арктангенсом числа а называется такое число α из интервала , что его тангенс равен а.

Математическая запись данного предложения такова:

arctg a = α, если tg α = a, где α ∈  ; а ∈ R.

Арккотангенсом числа а называется такое число α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Математическая запись данного предложения такова:

arcсtg a = α, если сtg α = a, где α ∈ (0; π); а ∈ R.

Функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс называют обратными тригонометрическими функциями.

Упражнения для самостоятельного решения.

№34. Постройте графики следующих функций, используя преобразования:

а) у = cos x – 3;    б) у = sin (x + );   в) у = tg 2x;    г) у = 3 cos x.

№35. Постройте графики функций:

а) y = -3 tg 2x;    б) y = 4 sin ;

в) y = 1 - ;    г) y = ctg (2x - 1200).

№36*. Постройте графики тригонометрических функций, содержащих знак модуля:

а) у = ;   б) у = cos ;    в) у = ;  г) у = ;  д) у = 2 – sin .

§ 3. Тригонометрические уравнения и неравенства.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Уравнение sin x = a, где –1 ≤ а ≤ 1, имеет бесконечно много корней. Например, уравнению sin x =  удовлетворяют следующие значения:  и т. д.

Общая формула, по которой находят все корни уравнения sin x = a, где –1 ≤ а ≤ 1, такова:

_________________________________________________                              (1)

Решения уравнения сos x = a, где –1 ≤ а ≤ 1, находят по формуле

___________________________________________________                        (2)

Уравнение tg x = a решается по формуле

___________________________________________________                          (3)

а уравнение ctg x = a – по формуле

____________________________________________________                        (4)

Пример 1. Решить уравнение .

Р е ш е н и е. По формуле решения уравнения вида сos x = a имеем:

х = ±arccos + 2πn,  n ∈ Z.

Так как arccos = , то окончательно получаем х = ± + 2πn,  n ∈ Z.

Пример 2. Решить уравнение .

Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулой (3), получим:   = arctg 2 + πn,  n ∈ Z,

откуда находим: х = 2 arctg 2 + πn,  n ∈ Z.

Пример 3. Решить уравнение .

Р е ш е н и е. Запишем исходное уравнение в виде .

Функция синус нечетна. Поэтому    .

По формуле (1)

.

Так как , имеем:

.

Заметим, что в некоторых случаях удобнее пользоваться частными формулами:

Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратному.

Для решения тригонометрических уравнений вида

а sin2x + b sin x + c =0, a cos2x + b sin x + c = 0      и т. п.

используются следующие соотношения:       sin2x = 1 – cos2x;        cos2x = 1 – sin2x,

а также формулы корней квадратного уравнения и уравнений вида    sin x = a,    cos x = a.

Пример 4. Решить уравнение 2 sin2x + sin x – 1 = 0.

Р е ш е н и е. Введем новую переменную у = sin x. Тогда данное уравнение можно записать в виде     2у2 + у – 1 = 0.

Мы получили квадратное уравнение относительно у. Решая его, найдем:

у1= , у2= - 1.

Следовательно, sin x =  или sin x = - 1. В первом случае получим решения

т. е. .

Во втором случае имеем:    .

Пример 5. Решить уравнение 8cos2x + 6cosx – 3 = 0.

Р е ш е н и е. Заменяя sin2x на 1 – сos2x, получим:

8(1 – сos2x) + 6cosx – 3 = 0,

8cos2x – 6cosx – 5 = 0.

Введем новую переменную. Обозначим cos x  через y. Тогда уравнение примет вид:

8у2 – 6у – 5 = 0.

Корни последнего уравнения: у1= , у2 = .

Следовательно, сos x= , cos x = .

Уравнение cos x =  не имеет решений, так как cos x не может быть больше единицы.

Решая уравнение сos x= , находим:     .

Уравнение вида a tg x + b ctg x + c = 0 приводится к квадратному уравнению одной тригонометрической функции путем замены .

Пример 6. Решить уравнение tg x + 2 ctg x = 3.

 Р е ш е н и е. Обозначим tg x через у. Поскольку , получаем уравнение , которое приводится  к квадратному у2 – 3у + 2 = 0 (при условии у ≠ 0). Его корни у =2 и у = 1.

1) tg x = 2, x = arctg 2 + πn,  n ∈ Z.

2) tg x = 1, x = , n ∈ Z.

Однородные тригонометрические уравнения.

Уравнение вида a sinx + b cos x =0 (a ≠ 0, b ≠ 0) называется однородным первой степени относительно sin x и cos x. Оно решается делением обеих его частей на cos x ≠ 0. В результате получается уравнение вида    a tg x + b = 0.

Уравнение вида a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 называется однородным уравнением второй степени относительно sin x  и  cos x, если все три коэффициента a, b, c или какие-либо два из них отличны от нуля. Считая, что а ≠ 0, разделим обе части уравнения на cos2x ≠ 0, тогда получим:

a tg2x + b tg x + c = 0.

Полученное уравнение равносильно исходному, так как корни уравнения cos2x = 0 не являются корнями исходного уравнения.

Однако если а = 0, то исходное уравнение принимает вид b sin x cos x + c cos2x = 0, которое решается разложением левой части на множители: cos x ( b sin x + c cos x) = 0.

Пример 7. Решить уравнение 3 sin2x – 4 sin x cos x + cos2x = 0.

Р е ш е н и е. Значения аргумента, при которых cos x = 0, не являются решениями этого уравнения, так как если cos x = 0, то должно выполняться равенство 3 sin2x = 0, а косинус и синус не могут быть одновременно равными нулю (это следует из основного тригонометрического тождества). Поэтому обе части уравнения можно разделить на cos2x (или на sin2x) и при этом получить уравнение, равносильное данному уравнению

3 tg2x – 4 tg x + 1 = 0,

откуда tg x = 1 или tg x = . Следовательно,

 или .

Пример 8. Решить уравнение 2 sin x cos x – 2 cos2x = 0.

Р е ш е н и е. Вынесем общий множитель за скобки, получим 2 сos x (sin x – cos x) = = 0. Решим это уравнение.

1. 2 сos x = 0, cos x = 0, x = .

2) sin x – cos x = 0.

Разделив обе части на cos x, получим tg x = 1, значит x = ,

n ∈ Z.

З а м е ч а н и е. Если бы мы разделили обе части данного уравнения на сos2x, то получили бы уравнение 2 tg x = 2. Корни этого уравнения: x = , n ∈ Z. Как видно, мы потеряли бы серию корней x = . При таком способе решения необходимо учитывать, что те х, при которых cos x = 0, - корни данного уравнения.

Пример 9. Решить уравнение 22 cos2x + 8 sin x cos x = 7.

Р е ш е н и е. Так как sin2α + cos2α = 1, то данное уравнение можно заменить равносильным ему уравнением

22 cos2x + 8 sin x cos x = 7(sin2х + cos2х).

Раскроем скобки, перенесем все члены из правой части уравнения в левую, сделаем приведение подобных членов. Получим:

7sin2x – 8 sin x cos x – 15 cos2x = 0.

Это – однородное уравнение второй степени. Разделив обе части этого уравнения на cos2x, найдем:

7 tg2x – 8 tg x – 15 = 0,

откуда tg x = - 1, значит x = , n ∈ Z, или tg x = , значит, .

Простейшие тригонометрические неравенства.

Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции, сводится, как правило, к решению простейших тригонометрических неравенств вида sin x > a,

cos x ≤ a, tg x ≥ a и т. п. Для их решения используют единичную окружность или графики тригонометрических функций. Рассмотрим примеры.

Пример 10. Решить неравенство .

Р е ш е н и е. Для решения неравенства воспользуемся единичной окружностью.

Найдем х1 и х2.

х1 = ;

Рассмотрим обход дуги L от точка Ах1 до точки Ах2, в направлении по часовой стрелке: х2<х1.  Тогда х2 = .

Таким образом, . Чтобы получить все решения данного неравенства, достаточно к концам этого промежутка прибавить 2πn, n ∈ Z.

Окончательно имеем:

.

Пример 11. Решить неравенство .

Р е ш е н и е. Для решения данного неравенства строим графики функций

у = sin x    и   у =  (рис. 36).

Из рисунка видно, что прямая у =  пересекает синусоиду в бесконечном числе точек.

На рисунке выделены несколько промежутков, удовлетворяющих неравенству, один из них . Воспользовавшись тем, что значения синуса повторяются через промежуток 2π, запишем окончательный ответ:

.

                                    Рис. 36

Пример 12. Решить уравнение .

Р е ш е н и е. Обозначим 3х через t, тогда данное неравенство примет вид .

дуга, выделенная на рис. Концы этой дуги входят в искомое множество, так как их абсциссы равны  и, значит, удовлетворяют неравенству.

Таким образом, .

Учитывая, что значения косинуса повторяются через промежуток 2π, запишем множество всех решений неравенства :

.

Переходя снова к переменной х, получаем искомый ответ:

.

Пример 13. Решить неравенство tg x ≤ 1.

Р е ш е н и е. Построим единичную окружность и проведем линию тангенсов, которая является касательной к окружности в точке (1; 0).

Упражнения для самостоятельного решения.

Решите уравнения (37 – 42):

№37.

а) ;  б) ;  в) ;  г) ;  д) ; е) .

№38. а) 2 cos x += 0;  б) cos x + 1 = 0;  в) 2 sin x += 0;

          г) 2 sin x + 1 = 0;  д) сtg x – 1 = 0;  е) tg x + = 0.

№39. а) sin 2x =;  б) cos ;  в) sin ;

          г) tg (-4x) =;  д) сos 4x = 0;   е) ctg  = 1.

№40. а) 2 сos =;  б) 2 sin (3x - ) = -;

          в) tg  = 3;  г) sin  + 1 = 0.

№41. а) cos  = -1;  б) 2 sin ;  

           в) tg = - 1;  г) 2 cos  = .

№42*. а) sin 3x cos x – cos 3x sin x = ;  б) sin2 - cos2 = 1;

            в) sin 2x cos 2x = ;   г) sincos - cossin =.

№43*. Решите уравнения cos =  , sin (2x + ) = -1  и найдите для каждого из них:

а)наименьший положительный корень;

б)корни, принадлежащие промежутку ;

в)наибольший отрицательный корень;

г)корни, принадлежащие промежутку .

Решите уравнения (44 – 49):

№44. а) 3 sin2x – 5 sin x – 2 = 0;  б) 4 cos2x – 8 cos x + 3 = 0;  в) 2 sin2x + 3 cos x = 0;

г) 6 cos2x + cos x – 1 = 0;  д) 3 tg2x + 2 tg x – 1 =0;  е) 5 sin2x + 6cos x – 6 = 0;

ж) 4 сos x = 4 – sin2x;  з) tgx – 2ctgx +1 = 0;  и) sin2 - 2 cos = -2.

№45. а) 2 cos2x +cos x = 0;   б) 4 cos2x – 3 = 0;

в) tg2x – 3 tg x = 0;   г) 4sin2x – 1 = 0.

№46. а) 3 sin2x + sin x cos x = 2 cos2x;   б) 2 cos2x – 3 sin x cos x + sin2x = 0;

в) 9 sin x cos x – 7 cos2x = 2 sin2x;  г) 2 sin2x – sin x cos x = cos2x.

№47. а)  4 sin2x – sin 2x = 3;     б) сos 2x = 2 cos x – 1;

в) sin x +cos x = 0;     г) tgx = 3 ctg x.

№48*. а) sin4- cos4 =;  б) 4 (1 + cosx) = 3 cossin2;

            в) 4 (1 – cosx) = 3 sincos;   г) 1 – cos x = 2 sin ;

            д) 22 сos2x + 4 sin 2x = 7;  е) 2 сos2(2700 + x) + 3 sin (x + ) = 0;

            ж) sin 4x + sin22x = 0;   з) sin3x + cos3x = 0.

№49*. а) cos 5x – cos 3x = 0;   б) sin 7x – sin x = cos 4x;

           в) sin 5x – sin x = 0;   г) сos 3x + cos x = 4 cos 2x.

№50. На единичной окружности отметьте точки, для которых соответствующие значения х удовлетворяют данному неравенству. Найдите множество значений х, удовлетворяющих неравенству и принадлежащих указанному промежутку

а) sin x < -, x є [-π; 0];  б) sin x ≥, x є [0; π];

в) cos x > , x є ;  г) cos x < -, x є ;  

д) tg x > -, x є;   д) tg x <, x є.

Решите неравенства (51 – 53):

№51. а) sin x >;   б) sin x ≥;   в) sin x < -; г) cos x ≥;   д) cos x < ;  

          е) cos x ≥ -;  ж) tg x ≤ ;  з) tg x ≥ ;  и) tg x < - 1.

№52. а) 2 cos x – 1 ≥ 0;    б) 2 sinx +  ≥ 0;    в) 2 cos x -≤ 0;    г) 3 tg x + ≥ 0.

а) 2 сos  ≤ 1;    б)  tg  < 1;

в) sin  ≥ 1;    г) 2 cos  >.

№53*. а) sincos x + cossin x < -;  б) sin x + cos x <;  в) (sin - cos)2 < sin x;

г) -≤ сos x < -;   д) 2 сos2x + 3 cos x – 2 ≥ 0;  е) sin x – cos2x > 0.

РАЗДЕЛ 3. СТЕПЕННАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ, ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ.

§ 1. Обобщение понятия степени.

Вам уже знакомо понятие степени числа с целым показателем. Выражение аn определено для всех а и n, кроме случая а = 0 при n ≤ 0. Напомним свойства таких степеней.

Для любых чисел а, b  и любых целых чисел m и n справедливы  равенства:

аm· an = __________;     аm: an = _________ (a ≠ 0);

(am)n = _________;

(ab)n = ___________  ; __________ (b ≠ 0);

a1 = ___;     a0 =______ (a ≠ 0)

Отметим также следующие свойства:

1. Если m > n, то am > an   при a > 1      и  am< an   при 0 < a < 1.

2. Пусть 0 < a < b.   Тогда an < bn   при n > 0;  an > bn   при n < 0.

Обобщим понятие степени числа, придав смысл выражениям типа 20,3, ,  и т. д.

Определение. Степенью числа a > 0 с рациональным показателем , где m – целое число, a n – натуральное (n > 1), называется число .

Запишите определение степени в символьном виде ________________________________

Степень числа 0 определена только для положительных показателей; по определению      0r = 0 для любого r > 0.

Например, , .

Для степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для целого показателя.

Далее определим степень с иррациональным показателем.

Пусть α – иррациональное число. Выясним, какой смысл вкладывается в запись аα, где а – положительное число. Рассмотрим три случая: а = 1, a > 1, 0 < a < 1.

1)Если а = 1, то полагают 1α  = 1.

2)Пусть a > 1. Возьмем любое рациональное r1 < α и любое рациональное число

r2 > α. Тогда r1 < r2 и ar1 < ar2. В этом случае под аα понимают такое число, которое заключено между ar1 и ar2 для любых рациональных чисел r1 и r2, таких, что r1 < α, а r2 > α.

В математике доказано, что такое число существует и единственно для любого а > 1 и любого иррационального α.

3) Пусть 0 < a < 1. Возьмем любое рациональное r1 < α и любое рациональное число

r2 > α. Тогда r1 < r2 и ar1 > ar2. В этом случае под аα понимают такое число, которое заключено между ar2 и ar1 для любых рациональных чисел r1 и r2, удовлетворяющих неравенству r1 < α < r2. В математике доказано, что такое число существует и единственно для любого а из интервала (0; 1) и любого иррационального α.

Для степени с иррациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для целого показателя.

Таким образом, определено понятие степени для любого действительного показателя.

Для степени с действительным показателем сохраняются ли основные свойства степеней?___________________________

Отметим основные свойства степени с действительным показателем.

Для любых действительных чисел x и y  и любых положительных а и b справедливы следующие утверждения:

_________________________________________________________________

__________________________________________________________________

_________________________________________________________________

__________________________________________________________________

_________________________________________________________________

__________________________________________________________________

_________________________________________________________________

__________________________________________________________________

_________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Пример 1. Упростить выражение а) ;  б) .

Р е ш е н и е. а) ;   б)  .

Пример 2. Найти значение выражения а) ;  б) .

Р е ш е н и е.

а)

б) .

Пример 3. Преобразовать выражения а) ;   б) .

Р е ш е н и е.

а) ;

б) .

Упражнения для самостоятельного решения.

№54. Представьте в виде корня из числа выражение:

а) 31,2;   б) ;  в) 41,25;  г) .

№55. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:

а) ;  б) ;   в) ;  г) .

Найдите значение числового выражения (56 – 57):

№56. а) 2430,4;  б) ;   в) ;  г) .

№57. а) ;   б) ;   в) ;  г) ;

д) ;   е) ;

ж) .

Разложите на множители (58 – 59):

№58. а) ;   б) ;  в) ;   г) .

№59. а) ;  б) ;  

в) ;   г) .

Упростите выражения (60 – 62) :

№60. а);   б) ;

в);  г) .

№61. а) ;   б) ;

в) ;

г).

№62*. а) ;

б) ;

в) ;

г) .

№63*. Имеет ли смысл выражение:

а) ;  б) (-2)-4;  в);  г).

№64*. Найдите область определения выражения:

а);   б) ;   в) ;  г) .1

§2. Степенная функция, ее свойства и график.

Для любого действительного числа α и каждого положительного х определено число хα.

Функция, заданная формулой _________________, называется степенной (с показателем степени α).

Отметим некоторые свойства степенной функции.

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

На рис 39. изображены схемы графиков степенных функций при α > 1, α = 1 и  0 < α < 1. На рис 40. изображен график степенной функции при α < 0.

                                                        Рис. 39                                                            Рис. 40

        З а м е ч а н и е. Для некоторых α степень хα определена не только для х > 0. Например, если α – натуральное число: α = n, то степень хn определена для любого х є R. Если α = -n, где n – натуральное число, то степень х-n определена для любого х є R, х ≠ 0. Функции хn, х є R, и

х-n, х є R, х ≠ 0, часто также называются степенными.

Эти функции являются четными, если n четное, и нечетными, если n нечетное.

Упражнения для самостоятельного решения.

№65. Постройте на одном и том же чертеже графики функций у = х, у = х2, у = х1/2,

у = х 2/3, у = х3/2. Укажите сходство и различие графиков этих функций.

№66. Постройте графики функций у = х -3/2, у = х –1/2.

№67*. На миллиметровой бумаге постройте графики функций .

1) Найдите с помощью графика приближенные значения:

а) ;  б) ;  в) ;  г) .

2) Найдите значения этих корней с помощью калькулятора.

3)  Сравните полученные значения.

§ 3. Логарифмы и их свойства.

Логарифм  положительного числа b по основанию а (где а > 0, а ≠ 1)

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Логарифм числа b по основанию а обозначается символом __________________________.

Установите связь между понятием степени и логарифмом___________________________

_____________________________________________________________________________

Основным логарифмическое тождество_________________________________________.

Пример 1. Найти значение: а) log232;   б) log50,04.

Р е ш е н и е. а) Заметим, что 32 = 25, т. е. для того, чтобы получить число 32, надо 2 возвести в пятую степень. Следовательно, log232 = 5.

б) Заметим, что 0,04 = = 5-2, поэтому log50,04 = - 2.

Пример 2. Найти х, такое, что: а) log8x =  ;   б) logx8 =.

Р е ш е н и е. Воспользуемся основным логарифмическим тождеством.

Для обозначения десятичных логарифмов принята специальная запись: вместо log10b, где b – произвольное положительное число, пишут _______________________________________.

Для обозначения натуральных логарифмов принята специальная запись: вместо logeb, где b – произвольное положительное число, пишут _______________________________________.

Запишите основные свойства логарифмов, используя понятие степени и логарифма.

При любом а > 0 (а ≠ 1) и любых положительных х и у выполняются равенства:

1) Логарифм единицы по любому основанию равен _______________________________.

_____________________________________________________________________;

2) Логарифм самого основания равен __________________________________________.

        ______________________________________________________________________;

3) Логарифм произведения равен _____________________________________________.

_____________________________________________________________________;

4) Логарифм частного равен _________________________________________________.

_____________________________________________________________________;

5) Логарифм степени равен ___________________________________________________.

Помимо основных свойств, при преобразовании выражений, содержащих логарифмы, полезно применять формулу перехода от одного основания логарифма к другому:    
                                                                      .

Пример 3. Найти значение выражения .

Р е ш е н и е. Пользуясь основными свойствами логарифмов, преобразуем числитель и знаменатель этой дроби: lg72 – lg9 = lg= lg8 = lg 23 = 3 lg 2;

 lg28 – lg 7 = lg = lg4 = lg 22 2 lg2.

Следовательно, .

Определим две операции: логарифмирование и потенцирование.

Логарифмирование – это преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме или разности логарифмов.

Пример 4. Прологарифмировать по основанию 2 выражение .

Р е ш е н и е. Пользуясь основными свойствами логарифмов, получаем:

.

Потенцирование – это преобразование, обратное логарифмированию.

Пример 5. Найти х, если log5x = log57 +2 log53 – 3 log52.

Р е ш е н и е. Сначала преобразуем правую часть данного равенства, пользуясь основными свойствами логарифмов:

log5x = log57 +log532 – log523 =,

т. е. log5x = и поэтому х = .

Упражнения для самостоятельного решения.

№68. Найдите логарифм по основанию а числа, представленного в виде степени с основанием а:

а) 32 = 9;     б) ;     в) ;     г) 70= 1;     д) ;    е) ;    ж) .

№69. Проверьте справедливость равенств:

а);  б) ;  в) ;

г) ;  д) ;  е);

ж) ;  з);  и) .

№70. Найдите логарифмы данных чисел по основанию а:

а) 25,  при а = 5;   б) 64, 8, 2 при а = 8;

в) 27,  при а = 3;    д) 4; 32; 0,25 при а = 0,5.

№71. Найдите число х:

а) ;  б) ;  в) ;

г) ; д) ;  е).

Вычислите (72 – 73):

№72. а) lg8 + lg125;  б);  в)log124 + log1236;   г) lg13 – lg130.

№73. а);   б);  в) log211 – log244;   г) log0,39 – 2 log0,310.

Прологарифмируйте выражение по основанию 10 (все переменные положительные)(74 – 76):

№74. а)  3ас;  б) ;  в)

№75. а) ;  б); в) ;  г) .

№76*. а);  б).

№77. Выполните потенцирование выражения:

№78. Вычислите:

а);   б) ;  в) ;  

д) ; е) ;  ж) .

§ 4. Показательная и логарифмическая функции.

Показательная функция, ее свойства и график.

Функция, заданная формулой вида _____________________________________________, называется  ______________________________________________________________________.

Показательная функция обладает следующими свойствами:

Логарифмическая функция, ее свойства и график.

Функция, заданная формулой вида ___________________________________________, называется  _______________________________.

Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:

Пример. Найти область определения функции f(x) = log8(4-5x).

Р е ш е н и е. Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел. Поэтому заданная функция определена только для тех х, при которых 4 – 5х > 0, т. е. при х < 0,8. Следовательно, областью определения заданной функции является интервал (-∞; 0,8).

Упражнения для самостоятельного решения.

№79. Перечислите свойства функции и постройте ее график:

а) y = 4x;  б) у = 0,2х;   в) у = 0,7х;   г) у =2,5х.

№80. Найдите область значений функции:

а) у = -2х;   б) ;  в) ;  г) 5х – 2.

№81. Сравните числа:

а) и 1;   б)  и ;  в) и 1;   г) и .

№82*. Решить графически уравнение:

а) 3х = 4 – х;   б) ;   в) 31- х = 2х – 1;  г) 4х + 1 = 6 – х.

Найдите область определения выражения (83 – 85):

№83. а) logπ(10 – 5x);   б) log5(9 – x2);   в) log5 (x – 4);   г) log0,3(x2 – 16).

№84. а) ;   б) ;   в);  г) .

№85. а);   б) .

№86. Сравните числа:

а) log23,8 b log24,7;   б) и ;  в) logπ2,9 и 1;

г)  и ;  д) log210 и log530;   е) log0,32 и log53.

№87. Перечислите основные свойства функции и постройте ее график:

а) у = log3 x;  б);   в) у = log4х;  г) .

№88*. Постройте график функции:

а) у = log3(x – 2);   б) .

№89*. Решите графически уравнение:

а) lg х = 1 – х;   б).

§ 5. Показательные уравнения и неравенства.

Показательные уравнения.

Показательное уравнение ____________________________________________________.

1.Простейшим примером показательного уравнения служит уравнение

 ах = b (где a > 0, a ≠ 1). При b ≤ 0 данное уравнение не имеет решений. Если b > 0, то для того, чтобы найти корень уравнения, надо b представить в виде b = ac.

2.Решение показательного уравнения вида af(x) = ag(x) (где a > 0, a ≠ 1) основано на том, что это уравнение равносильно уравнению f(x) = g(x).

3.Уравнение вида Аа2х + Вах + С = 0 с помощью подстановки ах = у сводится к квадратному уравнению Ау2 + Ву + С = 0.

Пример 1. Решить уравнение .

Р е ш е н и е. Заметим, что 49 = 72, а . Поэтому данное уравнение можно записать в виде . Следовательно, корнями данного уравнения являются такие числа х, для которых , т. е. .

Пример 2. Решить уравнение .

Р е ш е н и е. Представим 32х + 2 как 32х∙32. Тогда данное уравнение примет вид:

.

Пример 3. Решить уравнение 4х – 5∙2х + 4 = 0.

Р е ш е н и е. Заметим, что 4х = (2х)2. Сделаем замену переменной у = 2х. Тогда данное уравнение принимает вид у2 – 5у + 4 = 0. Решения этого квадратного уравнения:

у1 = 1 и у2 = 4. Решая уравнения 2х = 1 и 2х = 4, получаем х = 0 и х =2.

Показательные неравенства.

Показательное неравенство ________________________________________________

_________________________________________________________________________.

Решение показательных неравенств вида аf(x) > ag(x) (где a > 0, a ≠ 1) основано на следующих утверждениях:

1) если а > 1, то неравенства аf(x) > ag(x) и f(x) > g(x) равносильны;

2) если 0 < a < 1, то неравенства аf(x) > ag(x) и f(x) < g(x) равносильны.

Это следует из того, что при а > 1 показательная функция возрастает, а при 0 < a < 1 убывает.

Пример 4. Решить неравенство .

Р е ш е н и е. Замечая, что , перепишем данное неравенство в виде . Так как основание степени больше 1, то x < -2. Итак, получаем ответ: .

Пример 5. Решить неравенство .

Р е ш е н и е. Поскольку 0 < 0,25 < 1, заданное неравенство равносильно неравенству , т. е. ( х – 1) (х – 5) > 0. Решая последнее, получаем ответ: .

Пример 6. Решить неравенство .

Р е ш е н и е. Положим 2х = у, тогда 4х = (2х)2 = у2 и данное неравенство примет вид

у2 – 6у + 8 < 0. Решая это неравенство, находим 2 < y < 4. Возвращаясь к переменной х, получаем 2 < 2x < 22, откуда 1 < x < 2. Итак, интервал (1; 2) – решение данного неравенства.

Упражнения для самостоятельного решения.

Решите уравнения (90 – 98):

№90. а) 4х = 64;   б) ;   в) 3х = 81;  г) .

№91. а) ;  б) ;    в) ;  г) .

№92. а) 36 – х = 33х – 2 ;  б) ;   в) ;  г)

№93. а) 7х + 2 + 4∙7х + 1 = 539;  б)2∙3х + 1 – 3х = 15; в) 4х + 1 + 4х = 320;   г) 3∙5х + 3 + 2∙5х + 1 = 77.

№94. а) 9х – 8∙3х – 9 = 0;  б) 100х – 11∙10х + 10 = 0; в) 36х – 4∙6х – 12 = 0;  г) 49х – 87∙7х +7 = 0.

№95. а) ;  б) ; в) ;

          г) ;  д)

№96*. а) 2х – 2 = 3х – 2;    б);

№97*. а) ;  б) ; в) ;  г) .

№98*. а);  б) .

Решите неравенства (99 – 104):

 №99. а) ;  б) ;   в) ;   г) .

№100. а) 45 – 2х ≤ 0,25;  б) 0,42х + 1 > 0,16;  в) 0,37 + 4х > 0.027;  г) 32 – х  < 27. 

№101. а) ;  б) ;  в) ;  г) .

№102. а) ;  б) ; в) ;  

            г) ;    д) ;   е) .

№103*. а) ;   б) ;   в) .

№104*. а) ;   б) .

№105*. Решите графически неравенство:  а) ;    б) .

§ 6. Логарифмические уравнения и неравенства.

Логарифмические уравнения.

Логарифмическое уравнение - _________________________________________________

___________________________________________________________________________.

1. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение logax = b (где a > 0,

 a ≠ 1). Из определения логарифма следует, что аb является решением данного уравнения.

2. Решение логарифмического уравнения вида logaf(x) = logag(x) основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению f(x) = g(x) при дополнительных условиях f(x) > 0 и g(x) > 0.

Отметим, что переход от уравнения logaf(x) = logag(x) к уравнению f(x) = g(x) иногда приводит к появлению посторонних корней. Такие корни можно выявить либо с помощью подстановки найденных корней в исходное логарифмическое уравнение, либо с помощью нахождения области определения исходного уравнения (эта область задается системой неравенств f(x) > 0, g(x) > 0).

Пример 1. Решить уравнение log2(x2 + 4x + 3) = 3.

Р е ш е н и е. Данному уравнению удовлетворяют те значения х, для которых выполнено равенство x2 + 4x + 3 = 23. Мы получили квадратное уравнение x2 + 4x – 5 = 0, корни которого равны 1 и -5. Следовательно, числа 1 и -5 – решения данного уравнения.

Пример 2. Решить уравнение log5(2x + 3) = log5(x + 1).

Р е ш е н и е. Это уравнение определено для тех значений х, при которых выполнены неравенства 2х + 3 > 0 и х + 1 > 0. Для этих х данное уравнение равносильно уравнению 2х + 3 = х + 1, из которого находим х = -2. Однако, число -2 не удовлетворяет неравенству х + 1 > 0. Следовательно, данное уравнение корней не имеет.

Это же уравнение можно решить иначе. Переходя к следствию данного уравнения 2х + 3 = х + 1, находим, что х = -2. Проверим найденное значение подстановкой. В данном случае получаем, что равенство log5(-1) = log5(-1) не верно (оно не имеет смысла).

Пример 3. Решить уравнение .

Р е ш е н и е. Перейдем во втором слагаемом к основанию 5 и сделаем замену у = =log5x, тогда .

Теперь данное уравнение перепишется в виде у2 – 2у – 3 = 0. Корни этого уравнения 3 и -1. Решая уравнения замены log5х = 3 и log5х = -1, находим х = 53 = 125 и х = 5-1 = 0,2.

Пример 4. Решить уравнение 51 – 3х = 7.

Р е ш е н и е. По определению логарифма 1 – 3х = log57 и .

Логарифмические неравенства.

Логарифмическое неравенство______________________________________________

_________________________________________________________________________.

При решении логарифмических неравенств следует учитывать общие свойства неравенств, свойство монотонности логарифмической функции и область ее определения.

Пример 5. Решить неравенство .

Р е ш е н и е. Число -2 равно . Поэтому данное неравенство можно переписать в виде .

Логарифмическая функция с основанием  определена и убывает на множестве положительных чисел, так как . Следовательно, второму неравенству удовлетворяют такие числа х, для которых выполнено условие 0 < 5 – 2x < 9, откуда -2 < x < 2,5.

Итак, множество решений данного неравенства есть интервал (-2; 2,5).

Упражнения для самостоятельного решения.

Решите уравнения (106 – 111):

№106. а) 9х = 0,7;    б) (0,3)х = 7;   в) 2х = 10;  г) 10х = π.

№107. а) log5x = 2;   б) log0,4x = -1;   в);   г) lgx = 2.

№108. а) ; б) logπ(x2 + 2x + 3) = logπ6; в) log0,3(5 + 2x) = 1; г) log2(3 – x) = 0.

№109. а) logax = 2loga3 + loga5;  б) lg(x – 9) + lg(2x – 1) = 2;

            в) ;  г) lg(x2 + 2x – 7) – lg(x – 1) = 0.

№110. а) ;   б) lg2x – lgx2 + 1 = 0;

            в) ;  г).  - 2 - 3 = 0

№111*. а);  б) ;  в) ;

              г) ;  д) log2(9 – 2x) = 3 – x;   е) log2(25x + 3 – 1) = 2 + log2(5x + 3 + 1).

Решите неравенства (112 - 114):

№112. а) ;   б) ;   в) ;  г).

№113. а) ;  б) ;  в) ;   г) .

№114*. а) ;  б) ;

             в) ;  г) ;

              д) ;   е) .

РАЗДЕЛ 4. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ.

§1. Основные понятия и аксиомы стереометрии.

Стереометрия —____________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

При этом отправными являются свойства основных геометрических фигур, выражаемые аксиомами. Основными фигурами в пространстве являются _____________________________

_______________________________________________________.

Точка является идеализацией очень маленьких объектов, т. е. таких размерами которых можно пренебречь. Евклид в своей знаменитой книге «Начала» определил точку как то, что не имеет частей (точки обозначаются прописными латинскими буквами: А, В, С, D, …).

Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити, края стола прямоугольной формы. По прямой распространяется луч света (прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, …).

Плоскость является идеализацией ровной поверхности воды, стола, зеркала и т. п (плоскости обозначаются строчными греческими буквами: α, β, γ, …).

На рис. 41 изображены плоскость _________, прямые __________ и точки ____________. Про точку А и прямую а говорят, что они ___________________ или _____________________.

 Про точки В и С и прямую b, что они __________________ или _____________________.

                                           Рис. 41                      

Введение нового геометрического образа — плоскости — заставляет расширить систему аксиом. Поэтому вводится группа аксиом С, которая выражает основные свойства плоскостей в пространстве. Эта группа состоит из следующих трех аксиом:

С1. ________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

На рис. 41 точка А принадлежит плоскости α, а точки В и С не принадлежат ей.

С2. _______________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

На рис. 42 две различные плоскости α и β имеют общую точку А, а значит существует прямая, принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если какая – либо точка принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой а. Плоскости α и  β в этом случае называются пересекающимися по прямой а.

С3. _______________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

На рис. 43 изображены две различные прямые a и b, имеющие общую точку О, а, значит существует плоскость α, содержащая прямые а и b. При этом такая плоскость единственна.

Таким образом, система аксиом стереометрии состоит из _____________________________________________________________________________.  Для удобства изложения напомним аксиомы планиметрии первой  группы.

 I1. Какова  бы  ни  была  прямая,  существуют  точки,  при надлежащие  этой  прямой,  и  точки,  не  принадлежащие  ей.

 I2. Через   любые   две   точки  можно   провести   прямую,  и только одну.

Пользуясь этими аксиомами можно доказать несколько первых теорем стереометрии.

Теорема 1.1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

 Пример 1. Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-нибудь три из них лежать на одной прямой? Объясните ответ.

Р е ш е н и е. Допустим, что какие-нибудь три точки лежат на одной прямой. Проведем через эту прямую и четвертую точку плоскость (теорема 1.1). В этой плоскости лежат все четыре точки. А это противоречит условию задачи. Значит, никакие три точки не могут лежать на одной прямой.

Теорема 1.2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Из данной теоремы следует, что плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

Пример 2. Даны    две   различные прямые, пересекающиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие две данные и не проходящие через точку A,  лежат в одной плоскости.

Р е ш е н и е.   Проведем   через   данные прямые а и b плоскость α (рис. 44).

Теорема 1.3. .  Через три точки, не лежащие на одной прямой,  можно  провести  плоскость,  и  притом,   только одну.

Пример 3. Можно ли провести плоскость через три точки, если они лежат на одной прямой? Объясните ответ.

Р е ш е н и е. Пусть А, В, С — три точки, лежащие на прямой а. Возьмем точку D, не лежащую на прямой а (аксиома I1|). Через точки А, В, D можно провести плоскость (теорема 1.3). Эта плоскость содержит две точки прямой а — точки А и В, а значит, содержит и точку С этой прямой (теорема 1.2). Следовательно, через три точки, лежащие на одной прямой, всегда можно провести плоскость.

Упражнения для самостоятельного решения.

№115. Точки А,  В,  С и  D  не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые А В и CD не пересекаются.

№116. Можно  ли  через  точку  пересечения  двух  данных  прямых  провести  третью  прямую,  не  лежащую  с  ними  в одной плоскости? Объясните ответ.

№117. Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.

№118. Докажите,  что все  прямые,  пересекающие данную  прямую   и   проходящие   через   данную   точку   вне   прямой,  лежат в одной плоскости,

№119. Докажите, что если прямые АВ и CD не лежат в одной плоскости, то прямые АС и ВО также не лежат в одной плоскости.

№120. Даны   четыре   точки,   не   лежащие   в   одной   плоскости. Сколько   можно   провести   различных   плоскостей,   проходящих через три из этих точек? Объясните ответ.

Параллельность прямых и плоскостей.

§ 2. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если _______________________

____________________________________________________________________________.            

Свойства параллельных прямых в пространстве такие же, как и на плоскости:

1) _________________________________________________________________________;

2) _________________________________________________________________________

Вместе с тем в пространстве возможен еще один случай расположения прямых.

Скрещивающиеся прямые - ____________________________________________________

____________________________________________________________________________.

Признак скрещивающихся прямых - _____________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Составьте схему взаимного расположения двух прямых в пространстве (рис. 45).

Рис. 45

Пример. Прямые а и b пересекаются. Докажите, что все прямые, параллельные прямой b и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости.

Р е ш е н и е. Пусть с — прямая, параллельная прямой b и пересекающая прямую а (рис. 46).

Отсюда следует, что прямая с совпадает с прямой с', а значит, лежит в плоскости α. Итак, любая прямая с, параллельная b и пересекающая прямую а, лежит в плоскости α. Что и требовалось доказать.

Упражнения для самостоятельного решения.

№121. Докажите,   что  все  прямые,   пересекающие  две  данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.

№122. Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных   прямых,   то   она   пересекает   и   другую.

№123. Через концы  отрезка  АВ  и  его  середину  М  проведены параллельные   прямые,   пересекающие   некоторую   плоскость  в  точках  А1,  В1 и М1.  Найдите   длину   отрезка MM1, если отрезок АВ не пересекает плоскость и если  AA1 = 5 м, ВВ1 = 7 м.

№124. Решите  предыдущую  задачу  при  условии,  что  отрезок АВ пересекает плоскость.

№125. Через   конец   A   отрезка   AB   проведена   плоскость.   Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В1 и С1.  Найдите длину отрезка  ВВ1 если:   1)  СС1 = 15 см, АС : ВС  = 2 : 3; 2) СС1 = 8,1  см,

АВ : АС =11 : 9; 3) АВ = 6   см,   АС : СС1 =2 : 5.

№126. Прямые а и b не лежат в одной плоскости. Можно ли провести прямую с, параллельную прямым а и b?

№127. Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямые АС и BD тоже скрещивающиеся.

§ 3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Прямая и плоскость называются параллельными, если ____________________________

___________________________________________________________________________

На рис. 47 изображена прямая а, параллельная прямой b, лежащей в плоскости α, т. е по теореме 3.1 прямая а параллельна плоскости α.

Составьте схему  взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве (рис. 48).

Рис. 48

Пример. Докажите,   что любую   из   двух   скрещивающихся прямых   можно   провести   плоскость,   параллельную другой прямой.

Упражнения для самостоятельного решения.

№128. Сторона АС треугольника АВС лежит в плоскости α, вершина В не принадлежит этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон АВ и ВС параллельна плоскости α.

№129. Дана трапеция ABCD, основания – АD и ВС. Точка Р не принадлежит плоскости трапеции. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков РВ и РС, параллельна средней линии трапеции.

№130. Дан   треугольник   АВС.   Плоскость,   параллельная   прямой А В, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС — в точке В1. Найдите длину отрезка А1В1, если: 1) АВ = 15 см, АА1 : АС = = 2 : 3; 3) В1С = = 10 см, АВ : ВС = 4 : 5.

№131. Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.

№132. Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость α по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости α.

№133. Через  данную  точку  проведите  прямую,  параллельную каждой   из   двух   данных   пересекающихся   плоскостей.

§4. Взаимное расположение плоскостей в пространстве.

Две  плоскости  называются  параллельными, если _______________________________.

Теоремы о параллельных плоскостях.

Теорема 4.2. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость параллельную данной, и притом только одну.

Пример 1. Плоскости α и β параллельны плоскости γ. Могут ли плоскости α и β пересекаться?

Р е ш е н и е. Плоскости α и β не могут пересекаться. Если бы плоскости α и β имели общую точку, то через эту точку проходили бы две плоскости (α и β), параллельные плоскости γ. А это противоречит теореме 4.2.

Теорема 4.3. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Пример 2. Даны две параллельные плоскости α1 и α2, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через точку А проведена произвольная прямая. Пусть X1  и Х2 – точки пересечения с плоскостями α1 и α2. Докажите, что отношение длин отрезков AX1 : АХ2  не зависит от взятой прямой.

Теорема 4.4. Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.

Составьте схему взаимного расположения двух плоскостей в пространстве (рис. 54).

Рис. 54

Упражнения для самостоятельного решения.

№134. Плоскости   α и β пересекаются.   Докажите,   что   любая плоскость γ пересекает хотя бы одну из плоскостей α, β.

№135. Через   вершины   параллелограмма   ABCD,   лежащего   в одной   из   двух   параллельных    плоскостей,   проведены параллельные прямые, пересекающие вторую  плоскость в  точках  А1, В1, С1, D1.  Докажите,  что   четырехугольник A)B)C1D1 тоже параллелограмм.

№136. Через вершины треугольника AВС, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А1, В1, С1. Докажите равенство треугольников АВС и А1В1С1.

№137. Три прямые, проходящие через одну точку, пересекают данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость в точках А1, В1, С1. Докажите подобие треугольников АВС и А1В1С1.

№138. Даны   две   параллельные   плоскости.   Через   точки   А и В   одной  из  этих   плоскостей   проведены   параллельные прямые,   пересекающие   вторую   плоскость   в   точках А1 и В1. Чему равен отрезок А1В1, если АВ = а?

Перпендикулярность прямых и плоскостей.

Так же, как и на плоскости, две прямые в пространстве называются перпендикулярными, ____________________________________________________________.

Рассмотрим перпендикулярность прямой и плоскости и перпендикулярность плоскостей.

§ 5. Перпендикулярность прямой и плоскости.

Теорема 5.1. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения, то она перпендикулярна плоскости.

Эту теорему называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости или теоремой о двух перпендикулярах.

В следующих двух теоремах говорится о взаимосвязи параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей.

Теорема 5.2. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Теорема 5.3. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.