Работа на районную научно-практическую конференцию школьников «Старт в науку»

Секция «Математика»

«Экономические» задачи

повышенного уровня

сложности в ЕГЭ

Введение        3

ГЛАВА I        5

Анкетирование учащихся 5 – 11 классов        5

Из истории процентов. Понятие процента.        7

ГЛАВА II        14

Решение задач .        14

Задача 1.        14

Задача 2.        15

Задача 3.        16

Задача 4.        17

Задача 5.        18

Заключение.        21

Список литературы.        22

Введение

В школьном курсе математики  тема «Проценты» изучается в V - VI классе, но в силу возрастных особенностей школьников не может быть полностью освоена. Далее этому вопросу не уделяется значительного внимания: в программу по математике в старших классах проценты не входят.

При такой необязательности математические навыки обращения с процентами легко забываются. В заданиях ЕГЭ   есть задачи на проценты не только базового, но и повышенного уровней сложности. Большое практическое значение имеет умение решать задачи на проценты, потому что понятие процента широко используется как в реальной жизни, так и в различных областях науки.  Без процентов нельзя обойтись ни в финансовом анализе, ни в жизни. Чтобы начислить зарплату работнику нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть депозитный счет в сбербанке мы интересуемся размером процентных начислений на сумму вклада; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году, мы интересуемся процентом инфляции. В торговле понятие процент используется наиболее часто: скидки, наценки, уценки, прибыль, кредит, налог на прибыль и т.д. Россию захватил «кредитный бум»: в наше время люди все чаще берут кредит на приобретение жилья, автомобиля, потребительские кредиты и кредит на образование.

Решение многих задач школьного курса, нестандартных задач, практических задач помогает разобраться в новых экономических веяниях жизни.

Данная работа может представлять интерес для всех, кто сталкивается с математическими расчетами. Кроме того, при решении задачи удалось вывести формулу сложных процентов, которую сможет применять в последующих жизненных ситуациях.

Цель:

разработка и апробация методов решения «экономических» задач.

Задачи:

• изучить теоретические аспекты решения «экономических» задач;

- познакомиться с видами «экономических» задач из сборников для подготовки к ЕГЭ 2015г. и открытого банка задач по математике;

- рассмотреть различные способы решения задач.

Объект исследования:

«Экономические» задачи на проценты повышенного уровня сложности.

Предмет исследования:

решение задач на проценты повышенного уровня сложности.

Методы:

• поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;
• исследовательский метод при определении видов задач, их решения различными способами;
• практический метод решения задач;
• анализ полученных в ходе исследования данных.

План работы:

• Работа с литературой
• Анкетирование учащихся
• Изучение видов задач на проценты
• Изучение способов решения задач
• Выводы

Гипотеза: существует множество видов «экономических» задач на проценты и способов их решения, но их можно проклассифицировать по типам для облегчения усвоения материала.

ГЛАВА I

Свое исследование я начала с анкетирования учащихся и изучения имеющейся литературы

Анкетирование учащихся 5 – 11 классов

1. Часто ли в жизни вы встречаетесь с понятием процента?

Да - 39, нет - 23

2. Считаете ли вы необходимым современному человеку уметь решать задачи на проценты?

Да –56,нет - 7

3. Умеете ли вы решать задачи на проценты?

Да – 27, нет - 36

4. В каких сферах жизни чаще всего используют проценты?

На уроках математики – 17, в магазинах -30, в телефоне (зарядка)  - 2, в банках - 14

Отношение учащихся к решению задач на проценты неоднозначно. Большинство их них не умеют решать данные задачи. Данные диаграммы ещё раз показывают актуальность выбранной темы.

Из истории процентов. Понятие процента.

Слово «процент» происходит от латинского слова procentum, что буквально переводится «за сотню», или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных таблицах вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применив так называемое тройное правило, т. е. пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов. Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.

В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особо много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т. е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли  коммерческий секрет фирмы.

Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в  1584 году Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в том числе, – особой записи десятичных дробей.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль и убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Нынче процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента.

Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

Если речь   идет о проценте от данного числа, то это число принимается за 100%. Например, 1% зарплаты – это сотая часть зарплаты; 100% зарплаты – это 100 сотых частей зарплаты. Т.е. вся зарплата. Подоходный налог с зарплаты берется в размере 13%, т. е. 13 сотых от зарплаты. Надпись «60%» хлопка на этикетке обозначает, что материал содержит 60 сотых хлопка, т. е. более чем на половину состоит их чистого хлопка. 3,2 жира в молоке означает, что 3,2 сотых массы продукта составляет жир (или, другими словами, в каждых 100 граммах этого продукта содержится 3,2 грамма жира).

Как известно из практики, с помощью процентов часто показывают изменение той или иной конкретной величины. Такая форма является наглядной числовой характеристикой изменения, характеризующей значимость произошедшего изменения. Например, уровень подростковой преступности повысился на 3%, в этом ничего страшного нет – быть может, эта цифра отражает только естественные колебания уровня. На если он повысился на 30%,  то это уже говорит о серьезности проблемы и необходимости изучения причин такого явления и принятия, соответствующих мер.

Основные понятия:

Определение. Процентом называется сотая часть числа.

Один процент – это сотая часть чего-либо. А в математике говорят, что один процент – это сотая часть числа. Те, кто внимательно читает, сразу же зададутся вопросом: какого еще числа? Именно об этом самом числе и идет речь в предлагаемых задачах. Спрашивают о цене товара – значит один процент - это одна сотая часть цены. Решаете задачу на скорость – значит, речь идет о сотой части скорости и т.д. Само же число, о котором идет речь, всегда составляет 100%

Формулы расчета процентов

1. Формула расчета доли в процентном отношении.

Пусть задано два числа: A1 и A2. Надо определить, какую долю в процентном отношении составляет число A1 от A2.

P = A1 / A2 * 100.

В финансовых расчетах часто пишут

P = A1 / A2 * 100%.

Пример. Какую долю в процентном отношении составляет 10 от 200

P = 10 / 200 * 100 = 5 (процентов).

2. Формула расчета процента от числа.

Пусть задано число A2. Надо вычислить число A1, составляющее заданный процент P от A2.

A1= A2 * P / 100.

Пример. Банковский кредит 10 000 рублей под 5 процентов. Сумма процентов составит.

P = 10000 * 5 / 100 = 500.

3. Формула увеличения числа на заданный процент.

Пусть задано число A1. Надо вычислить число A2, которое больше числа A1 на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:

A2= A1 + A1 * P / 100.

или

A2= A1 * (1 + P / 100).

Пример 1. Банковский кредит 10 000 рублей под 5 процентов. Общая сумма долга составит.

A2= 10000 * (1 + 5 / 100) = 10000 * 1.05 = 10500.

Пример 2. Сумма без НДС равна 1000 рублей, НДС 18 процентов. Сумма с НДС составляет:

A2= 1000 * (1 + 18 / 100) = 1000 * 1.18 = 1180.

4. Формула уменьшения числа на заданный процент.

Пусть задано число A1. Надо вычислить число A2, которое меньше числа A1 на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:

A2= A1 - A1 * P / 100.

или

A2= A1 * (1 - P / 100).

Пример. Денежная сумма к выдаче за минусом подоходного налога (13 процентов). Пусть оклад составляет 10 000 рублей. Тогда сумма к выдаче составляет:

A2= 10000 * (1 - 13 / 100) = 10000 * 0.87 = 8700.

5. Формула вычисления исходной суммы.

Пусть задано число A1, равное некоторому исходному числу A2 с прибавленным процентом P. Надо вычислить число A2. Иными словами: знаем денежную сумму с НДС, надо вычислить сумму без НДС.

Обозначим p = P / 100, тогда:

A1= A2 + p * A2.

или

A1= A2 * (1 + p).

тогда

A2= A1 / (1 + p).

Пример. Сумма с НДС равна 1180 рублей, НДС 18 процентов. Стоимость без НДС составляет:

A2= 1180 / (1 + 0.18) = 1000.

6. Расчет процентов на банковский депозит. Формула расчета простых процентов.

Если проценты на депозит начисляются один раз в конце срока депозита, то сумма процентов вычисляется по формуле простых процентов.

S = K + (K*P*d/D)/100Sp = (K*P*d/D)/100

Где: S — сумма банковского депозита с процентами, Sp — сумма процентов (доход), K — первоначальная сумма (капитал),P — годовая процентная ставка, d — количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу, D — количество дней в календарном году (365 или 366).

Пример 1. Банком принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 1 год по ставке 20 процентов.

S = 100000 + 100000*20*365/365/100 = 120000Sp = 100000 * 20*365/365/100 = 20000

Пример 2. Банком принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 30 дней по ставке 20 процентов.

S = 100000 + 100000*20*30/365/100 = 101643.84Sp = 100000 * 20*30/365/100 = 1643.84

7. Расчет процентов на банковский депозит при начислении процента на процент. Формула расчета сложных процентов.

Если проценты на депозит начисляются несколько раз через равные промежутки времени и зачисляются во вклад, то сумма вклада с процентами вычисляется по формуле сложных процентов.

S = K * ( 1 + P*d/D/100 )N

Где:S — сумма депозита с процентами, К — сумма депозита (капитал), P — годовая процентная ставка,N — число периодов начисления процентов.

При расчете сложных процентов проще вычислить общую сумму с процентами, а потом вычислить сумму процентов (доход):

Sp = S – K = K * ( 1 + P*d/D/100 )N – K

или

Sp = K * (( 1 + P*d/D/100 )N – 1)

Пример 1. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 90 дней по ставке 20 процентов годовых с начислением процентов каждые 30 дней.

S = 100000 * (1 + 20*30/365/100)3 = 105 013.02

Sp = 100000 * ((1 + 20*30/365/100)N – 1) = 5 013.02

Пример 2. Проверим формулу начисления сложных процентов для случая из предыдущего примера.

Разобьем срок депозита на 3 периода и рассчитаем начисление процентов для каждого периода, использую формулу простых процентов.

S1 = 100000 + 100000*20*30/365/100 = 101643.84Sp1 = 100000 * 20*30/365/100 = 1643.84S2 = 101643.84 + 101643.84*20*30/365/100 = 103314.70

Sp2 = 101643.84 * 20*30/365/100 = 1670.86S3 = 103314.70 + 103314.70*20*30/365/100 = 105013.02

Sp3 = 103314.70 * 20*30/365/100 = 1698.32

Общая сумма процентов с учетом начисления процентов на проценты (сложные проценты)

Sp = Sp1 + Sp2 + Sp3 = 5013.02

Таким образом, формула вычисления сложных процентов верна.

8. Формула сложных процентов.

Если процентная ставка дана не в годовом исчислении, а непосредственно для периода начисления, то формула сложных процентов выглядит так.

S = K * ( 1 + P/100 )N

Где: S — сумма депозита с процентами, К — сумма депозита (капитал),P — процентная ставка, N — число периодов начисления процентов.

Пример. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 3 месяца с ежемесячным начислением процентов по ставке 1.5 процента в месяц.

S = 100000 * (1 + 1.5/100)3 = 104 567.84

Sp = 100000 * ((1 + 1.5/100)3 – 1) = 4 567.84

ГЛАВА II

Решение задач.

Задача 1.

1 января 2015 года Тарас Павлович взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты следующая – 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Тарас Павлович переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Тарас Павлович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?

Решение.

При начислении процентов оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент 1+0,02=1,02. В конце первого года долг составит 1 100 000·1,02=1 122 000 рублей. После выплаты 220 000 рублей останется долг 902 000 рублей и т.д.

        Составим таблицу выплат.

Ответ: 6

Задача 2.

31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (т.е. за два года)?

Решение.

Х рублей – ежегодная плата.

I год:  

II год:

После второго взноса кредит погашен полностью, значит, остаток равен нулю. Решим полученное уравнение.

Ответ: 2 622 050

Задача 3.

31 декабря 2014 года Сергей взял в банке 6 944 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (т.е. за три года)?

Решение.

I год:

II год: =

III год:

После третьего взноса кредит погашен полностью, значит, остаток равен нулю. Решим полученное уравнение.

Ответ: 2 916 000

        При решении этих задач я увидела закономерность и, оформив  решение в общем виде, получила формулу.

S-сумма кредита,

р=, где a - процентная ставка,

х – сумма ежегодных выплат;

I год: S·p-х

II год:

III год:

IV год:

и т.д.

Задача 4.

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (т.е. за четыре года)?

Решение.

, где

S-сумма кредита,

р=, где a- процентная ставка,

х – сумма ежегодных выплат;

Ответ: 2 296 350

Задача 5.

31 декабря 2014 года Родион взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на a%), затем Родион переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 1 464 100 рублей, то выплатит долг за четыре года. Если по 2 674 100 рублей, то за два года. Под какой процент Родион взял деньги в банке?

Решение.

S-сумма кредита,

, где a- процентная ставка,

суммы ежегодных выплат:

1 464 100 обозначимв (на четыре года),

2 674 100 обозначим с (на два года).

В общем виде рассчитаем оплату кредита за два года и за четыре года.

I. За два года:

II. За четыре года:

В полученное выражение подставим числовые значения.

Ответ: 10

Заключение.

При написании данной учебно-исследовательской работы я изучили большое количество дополнительной научной литературы по теме «Проценты», расширила свои знания по данному вопросу, овладела простейшими и более сложными процентными расчетами. В ходе выполнения работы мною рассмотрены разные способы решения «экономических» задач на проценты. При решении рассмотрены способы, которых нет в школьной программе, но знание их, несомненно, упрощает решение сложной задачи и позволяет экономить время на ЕГЭ. Проклассифицированы  задания из открытого банка задач по математике 2015г, что поможет учащимся в решении заданий при подготовке к экзамену. Кроме того умение решать задачи с процентами пригодится всем нам в повседневной жизни.

        Данные работы  могут  быть использованы учащимися 11 классов при самостоятельной подготовке к ЕГЭ.

Списоклитературы.

1. ЕГЭ 2015. Математика. 30 вар. + 800 зад.части 2_ред. Ященко_2015

2.. Г. И. Глейзер. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1981

3. В.В. Ткачук. Математика-абитуриенту. Том 1. – М.: ТЕИС, 1995

4. С.К. Кожухов, С.А. Кожухова. Задачи на проценты.- Орел: ОИУУ, 2001.

5. И.И. Зубарева. «Ещё раз о процентах» . Журнал «Математика в школе»№10 2006г

6. О.О. Барабанов. «Задачи на проценты как проблема нормы словоупотребления». Журнал «Математика в школе»№5 2003г

7. А.В. Боровских, Н.Х. Розов. «О бедном проценте замолвите слово…». Журнал «Математика в школе»№3 2010г

8. Открытый банк заданий по математике http://mathege.ru/or/ege/Main