НОУ
методическая разработка по алгебре (11 класс)

НОУ

«Первые шаги в науку»

Направление: математика

Тема: «Решение экономических задач.

Методическое пособие для учащихся 10-11 классов

при  подготовки к ЕГЭ по математике.»

Содержание.

Введение    ________________________________________________ 3

1. Историческая справка_____________________________________ 6

2. Основные  виды экономических задач.

1.  Задачи на кредиты с равными платежами________________ 7
2.  Задачи на кредиты с дифференцированными платежами___11
3.  Задачи на вклады и сложные  проценты_________________17
4.  Задачи на оптимальный выбор_________________________19

3. Задачи для самостоятельного решения_______________________22

Заключение________________________________________________26

Список литературы_________________________________________ 27

Введение.

Я являюсь ученицей 11 класса и в  этом учебном году мне предстоит сдача ЕГЭ. Поэтому это меня волнует и вызывает интерес. На уроках математики мы готовимся  к сдаче единого экзамена. А общаясь с выпускниками прошлых лет, я выяснила, что одними из  самых трудных заданий по математике на экзамене являются  экономические задачи.  Анализ результатов ЕГЭ в последние годы показал, что с задачами по  экономике справляются очень малое количество выпускников. При этом высветился ряд существенных недостатков в подготовке выпускников: теоретическое содержание курса  математики усваивается формально, поэтому ученики не могут использовать изученный материал в ситуации, которая даже незначительно отличается от стандартной.  Мною были рассмотрены варианты ЕГЭ последних трех лет. Результаты моей работы я представляю в данном проекте.

Я провела  анкетирование выпускников 10-11классов нашей школы для выяснения причин малой решаемости  экономических задач. Вот такие результаты я получила.

1.Плохое знание теоретического материала - 7 человек

2. Недостаточность навыка решения  экономических  задач - 6 человек

3. Большая затрата времени на решение  экономических задач -12 человек

4. Малое количество часов на изучение  этой темы  в школе - 5 человек

5.Трудность  трудность  задач - 15 человек

Гипотеза: Результаты анкетирования позволяют мне предположить, что если мне удастся  изложить теоретический и практический материал , необходимый для решения экономических  задач, в доступной для каждого выпускника форме, количество учащихся справившихся с этим видом задач возрастет.  Поэтому я решила выполнить работу, которая поможет мне самой разобраться с экономическими задачами, которые перед нами ставит жизнь. Я понимаю, что вряд ли содержание задач соответствует конкретным жизненным ситуациям, но желание получить три балла на ЕГЭ за решение №17 побудило меня к созданию данного пособия. Очень надеюсь, что мои  труды принесут пользу не только мне, но и всем, кто ознакомится  с моим пособием.

     Актуальность работы заключается в том, что благодаря грамотной классификации и знаниям основных формул и приемов практически каждый выпускник сможет решить экономическую задачу на ЕГЭ.

Объект исследования:  КИМы из сборников для подготовки к ЕГЭ 2015-2017 учебные года.

Предмет исследования: экономические задачи

Цели проекта:

1. Классифицировать и систематизировать виды экономических  задач.
2. Научиться решать экономические задачи.
3. Создать методическое пособие для учащихся 10-11 классов при подготовке к ЕГЭ.

Задачи проекта:

1. Изучить  теоретический  материал в рамках подготовки ЕГЭ.
2. Проанализировать виды экономических задач, которые встречаются в ЕГЭ.
3. Развить умение применять полученные знания при решении  экономических задач

Методы исследования: анализ литературы, анкетирование, обобщение, синтез.        

Новизна исследования: поиск математических представлений у учеников о решении экономических задач практической направленности.

Практическая значимость работы заключается в том, что изучение способов применения математических знаний на практике  способствует повышению  интереса  к изучению математики у учеников,  родителей. Возможно  использования материала для подготовки к ЕГЭ по математике (профильный уровень).

1.    Историческая справка.

Первые прообразы ЕГЭ стали появляться в России в 1997 году. В отдельных школах начали проводить эксперименты по добровольному тестированию выпускников (в основном по математике).

Автором идеи Единого государственного экзамена в России стал Владимир Филиппов, возглавлявший Министерство образования с 1998 по 2004 год. Именно он начал масштабную реформу отечественного образования: присоединение России к Болонскому процессу с разделением высшего образования на бакалавриат и магистратуру, создание новых образовательных стандартов. Одним их необходимых условий этого процесса стало введение новых способов оценки знаний школьников.

ЕГЭ должен был уничтожить коррупцию в школах и вузах и обеспечить эффективную проверку знаний выпускников (стандартная пятибалльная шкала с этой задачей давно уже не справлялась). Именно поэтому была выбрана тестовая форма, с которой работает беспристрастная машина. Кроме того, государственный экзамен должен был сделать высшее образование по-настоящему доступным для детей из регионов.

«Во все элитарные и в большинство других вузов можно поступить только либо через репетиторство при данном вузе, либо через платные курсы при нем, либо через целевой прием, который они реализуют, либо через «договорные» школы, которые есть у московских и питерских вузов», - утверждал Филиппов.

В 1999 году создан Федеральный центр тестирования Мин.обр.науки.

Задача: развитие в стране системы тестирования, а также осуществление мониторинга качества знаний обучающихся в российских образовательных учреждениях.

Владимир Путин, президент РФ:

«Что касается ЕГЭ, то здесь есть минусы, мы об этом уже несколько лет говорим, но есть и плюсы, которые заключаются в борьбе с той же самой коррупцией, и количество молодых людей, которые поступают в лучшие вузы страны за счет сдачи ЕГЭ, кратно увеличилось».

2. Основные виды экономических задач.

2.1. Задачи на кредиты с равными платежами.

       Рассмотрим, что происходит, когда мы кладем в банк на   n   лет некоторую сумму   S     под  r%   годовых:

      S   →     S + = (1+ ) S = (1 + 0,01r) S – сумма, которая будет на  счету через год.

После второго года произойдет то же самое:

 (1 + 0,01r) S  →  (1 + 0,01r) S + 0,01r (1 + 0,01r) S =  S

Через  n  лет, после начисления последних процентов,  вклад  достигнет величины, равной

                                         S =                              (1)

Формулу (1) называют формулой сложных процентов,  q – повышающим коэффициентом или коэффициентом увеличения.

Давайте теперь возьмем кредит в размере  a  под   r%   годовых сроком  на   n  лет.

Условия возврата кредита могут быть различными.

1. Кредит погашается равными платежами, размером b.

Прошел год, наш долг банку увеличился на заявленные проценты, а мы платим заявленный платеж. К концу года долг перед банком будет иметь вид

                                                       (1 + 0,01r)a – b.

Проходит еще год:

                                 (1 + 0,01r) ((1 + 0,01r)a – b) – b  =                            

                      = =                                                       =

 и  т. д.

К концу договора мы отдаем долг полностью, его величина становится равной нулю и это равенство запишется таким образом:

                                     (2)

где  - геометрическая прогрессия, первый член которой равен 1, знаменатель q.

Напомним формулы n - ого члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии:    .

Тогда в нашем случае    

Таким образом,  уравнение (2) примет вид:  

                               (3).

Для того, чтобы формула (3) была понятна и легче запоминалась, введём новые обозначения:

q – %

а – «Кредит»

b – «Платёж», => таким образом формула (3) имеет вид:

                                                      %n - 1

«Кредит» * %n = «платеж» *  ------------

                                                % – 1

Рассмотрим решение задач первого вида:

Задача 1.

Тридцать первого декабря Андрей взял 9 282 000 под 10% годовых. Схема платежа такова:

- тридцать первого декабря следующего года начисляется % на оставшуюся часть долга;

- затем Андрей переводит в банк х рублей.

Какова должна быть сумма х, чтобы Андрей выплатил долг за 4 года?

ДАНО:

Кредит – 9  82 000

Процент – 110%=1,1

Платеж – х

Срок – 4 года

РЕШЕНИЕ:

                                           %n - 1        

Кредит * %n = платеж * -----------

                                           %  – 1

                                      1.14 - 1

9 282 000 * 1,14 =  x* -----------

                                      1.1 - 1

                                          0.4641

9 282 000 * 1.4641 =  x* ------------

                                             0.1

                      14 641                 4641

9 282 000 * -----------  =  x*  -----------

                      10 000                 1000

              14 641                 4 641

9 282 * -----------  =  x*  -----------

                 10                     1 000

         9 282 * 14 641       1 000

x =  --------------------- * ---------

                 10                   4 641

x = 2 928 200 рублей.

                                                                 Ответ: 2 928 200 рублей.

Задача 2.

В банке взяли  1,1 млн.рублей. Первого числа каждого месяца начисляется 3%. На какое минимальное количество месяцев может быть взят кредит, если ежемесячный платеж не должен превышать 220 тыс.рублей?

ДАНО:

Кредит =1,1 млн.рублей = 1 100 000 рублей

Процент = 3% = 1,03

Платеж = 220 000 рублей

n = ?

РЕШЕНИЕ:

                                            %n - 1        

Кредит * %n = платеж * ------------

                                            %  – 1

                                                            1,03n - 1        |

1 100 000 * 1,03n = 220 000 * --------------        |   : 10 000

                                                    1,03 – 1        |

                                 1,03n - 1        |

110 * 1,03n  = 22 * --------------        |   : 22  

                                    0,03        |

                                           100        |

5 * 1,03n  = (1,03n – 1) *  --------       |   * 3

                                             3           |

15 * 1,03n  = (1,03n – 1) * 100       | : 5

3 * 1,03n  = (1,03n – 1) * 20

ПУСТЬ:        1,03n  = х,   х>0.

3х = (х-1) * 20

3х = 20х - 20

-17х = -20

х= 20/17

Вернемся к замене:

1,03n = 20/17

т.к. платеж не должен быть больше 220 000 рублей, то:

1,03n  ≥ 20/17

1,03n  ≥ 1,17647…

1,032  = 1,0609 (<1,17647… – не верно)

1,033  = 1,092727 (<1,17647… – не верно)

1,034 = 1,12550881(<1,17647… – не верно)

1,036 = 1,194052296529 (> 1,17647 – верно) => минимальное количество месяцев – 6.

                                                                   Ответ: 6.

Задача 3.

Ольга Петровна взяла 1655000 рублей в кредит под 10% годовых. По истечении каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Ольга Петровна переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Ольга Петровна выплатила долг тремя равными годовыми платежами?

ДАНО:

Кредит – 1 655 000 рублей.

Процент – 10%

Срок – 3 года.

Платеж – ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть платёж равен  х.

                                               %n - 1

«Кредит» * %n = «платеж» *  ------------

                                                % – 1

                                   1,13 - 1

1 655 000 * 1,13  = х *  -------------

                                    1,1 – 1

            1,13 - 1

1 655 000 * 1,13  = х *  -------------

                                      0,1

                                   1,331 - 1

1 655 000 * 1,331 = х * --------------

                                        0,1

                                    0,331

1 655 000 * 1,331 = х *  ----------

                                      0,1

2 202 805 = 3,31 * х

х = 665 500.

Ответ: 665 500 рублей.

2.2. Задачи на кредиты с дифференцированными платежами.

Условия выплаты кредита таковы, что долг уменьшается на одну и ту же величину (т.е. оплата состоит из  и процентов). 

       Пусть (аn)(- сумма долга в конце n-ого месяца (года), (bn) – оплата в конце n-ого месяца (года), r – процентная ставка,                                                                                                    тогда

== 

=  =  =  

q

               и.т.д.  

Заметим, что арифметическая прогрессия,т.к. долг уменьшается на одну и ту же величину.

Напомним формулы для арифметической прогрессии:        или      

В нашем случае первый член прогрессии - сумма кредита,

тогда  + nd    и   d = -  

Задачи этого вида удобнее решать, составив предварительно таблицу вида:

Рассмотрим решение задач второго вида:

Задача 1.

В июле 2016 года Глеб планирует взять кредит в банке на три года в размере S млн. рублей, где S – целое число. Условия его возврата следующие:

- каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- выплата должна производится один раз в год с февраля по июнь;

- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат Глеба будет меньше 4 млн. рублей.

Решение:

Пусть кредит составляет S млн рублей.

Процент:                                                Платёж:

Июль 2017(н.) : S+0,2S=1,2S                       |        

Июль 2017(к.) : 0,75S                         |       0,45S

Июль 2018(н.) : 0,75S + 0,75S*0,2= 0,9S     |

Июль 2018(к.) : 0.5S                                      |       0,4S

Июль 2019(н.) : 0.5S+0.5S*0,2=0,6S            |

Июль 2019(к.) : 0                                           |       0,6S              

Т.к. каждая выплата (платёж) меньше 4 млн. рублей, то можем составить систему неравенств:

     0,45S < 4        S < 8,8

     0,4S < 4        =>        S < 10

     0,6S < 4                      S < 6,6

т.к. во всех неравенствах знак меньше, то пользуемся правилом «Меньше меньшего». Следовательно S < 6,6.

Т.к. S – целое число, то S=6.

Ответ: 6.

Задача 2.

15-го января Вика планирует взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн. рублей. Условия его возврата возврата следующие:

-  1-го числа каждого месяца долг увеличивается на  r  процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;

-  выплата должна производится один раз в месяц со 2-го по 14-е число каждого месяца;

- 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение r, при котором Вике в общей сумме придётся выплатить меньше 1,3 млн. рублей.

Решение:

Пусть процент будет равен r.

Долг:                                                                          |      Платёж:

15.02(н): 1 000 000 + 1 000 000*0.01r(10 000r)      |      100 000+10 000r

15.02(к): 900 000                                                       |

15.03(н): 900 000 + 900 000*0.01r (9 000r)        |      100 000+9 000r

15.03(к): 800 000        |

15.04(н): 800 000 + 800 000*0.01r (8 000r)             |      400 000+8 000r

15.04(к): 400 000                                                       |

15.05(н): 400 000 + 400 000*0.01r (4 000r)             |      200 000+4 000r

15.05(к): 200 000                                                       |

15.06(н): 200 000 + 200 000*0.01r (2 000r)             |      100 000+2 000r

15.06(к): 100 000                                                       |

15.07(н): 100 000 + 100 000*0.01r (1 000r)             |      100 000+1 000r

15.07(к): 0                                                                  |

т.к. общая сумма выплат (платежей) должна быть меньше 1,3 млн. рублей, составим неравенство:

1 000 000 + 34 000r < 1300 000

34 000r < 300 000

r < 8,8

т.к. r – целое число => r = 8.        

                                                                         Ответ: 8.

Задача 3.

31 декабря 2014 года Арсений взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на определённое количество процентов), затем Арсений переводит очередной транш. Арсений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 550 тыс. рублей, во второй – 638,4 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Арсению?

Решение:

Пусть процент равен – х.

2015: 1 000 000 + 1 000 000*0,01х = 1 000 000+10 000х

т.к. первый транш составлял 550 000 рублей => на начало 2016 года кредит был равен:

1 000 000+10 000х–550 000 = 450 000+10 000х

2016: 450 000+10 000х+0,01х(450 000+10 000х) = 450 000+10 000х+4 500х+100х^2

Второй транш составил 638 400 рублей. Т.к. Арсений выплатил весть кредит за два транша, следовательно кредит в 2016 году равен 638 400:

100x^2+14 500x+450 000 = 638 400  | :100

x^2+145x+4 500–6 384 = 0

x^2+145x–1884 = 0

D=21 025+7 536 = 28 561 (169^2)

x= (-145+169)/2= 24/2 = 12%

        Ответ: 12%.

Задача 4.

В июне планируется взять кредит в банке на сумму 455 тыс. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;

– ежегодные выплаты составляют одну и ту же постоянную величину.

  На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 648 000 рублей?

Решение:

Для решения задачи составим таблицу.

Составим уравнение:

   455               1               1                       455      1                           455       1                           455

  ----- * n + [( --- * 455)+--- * (455 – ------)+--- * (455 – 2*------ )+--- * (455 – (n-1)*-----)]=                          

  n                 5                5                   n        5                       n        5                             n

  = 648              

1                         455               455

455+----*[455+(455 – -----)+(455 – -----*(n–1))] = 648

5                           n                   n

Найдем сумму арифметической прогрессии для квадратной скобки.

 1      455+455– 455/n*(n–1)

--- * ------------------------------ * n = 193

 5                          2

(455+455– 455/n*(n–1))*n = 1930

(910 – 455/n*(n–1))*n = 1930

910n – 455(n–1) = 1930

910n – 455n + 455 = 1930

455n = 1475

         110

n = 3 -----    =>  n = 3 ( т.к. n – целое число).

           455

                                                                                                          Ответ: 3.

Задача 5.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн. рублей сроком на 10 лет. Условия его возврата таковы:

 – каждый январь долг возрастает на х% по сравнению с концом предыдущего года;

 – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

 – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите х, если известно, что наибольший платёж по кредиту составит не более 1,36 млн.рублей, а наименьший – не менее 0,856 млн. рублей.

Решение:

8/10+0,01х*8 ≤ 1,36

8/10+0,01х*(8 – 9*8/10) ≥ 0,856

4/5+0,08х≤ 1,36        | *25

4/5+0,08х–0,072х ≥ 0,856        | *250

20+2х ≤ 34

200+20х–18х ≥ 214

2х ≤ 14

2х ≥ 14

х ≤ 7

х ≥ 7  , => х=7%.

                                                                                Ответ: 7.

2.3. Задачи на вклады и сложные проценты.

Рассмотрим решение задач третьего вида:

Задача 1.

Вкладчик положил две одинаковые суммы под r% годовых в банки «А» и «Б». Через год условия по вкладу в банке «А» изменились и он понизил годовую ставку до 10% годовых, в то время как банк «Б» оставил годовую ставку на прежнем уровне. Найдите, при каком наименьшем целом r вклад в банке «Б» через 3 года будет по крайней мере на 20% больше, чем вклад в банке «А».

РЕШЕНИЕ:

 Банк «А»                        |                        Банк «Б»

Пусть положили S рублей в каждый банк

Начисление r% означает умножение суммы S на (1+0,01r)

Обозначим (1+0,01r) через х, а начисление 10% обозначим через 1,1S.

I год                 S*x                                |                        S*x

II год                 S*x*1.1                        |                        S*x2

III год         S*х*1.12                        |                        S*x3

        По условию задачи известно, что сумма в банке «Б» больше или равна         S*х*1.12*1,2

        S*x3 ≥S*x*1.12*1.2        | : S

        x3 ≥ x*1.12*1.2            | : х

x2 ≥ 1.12*1.21

    т.к. 100*х целое число, то имеем право извлечь корень, получим:

x ≥ 1.21

Вернемся к замене:

1+0,01*r  ≥ 1.21

0,01*r  ≥ 0.21

          r  ≥ 21, наименьшее целое число 21, => при r = 21, вклад в банке «Б» через 3 года будет на 20% больше, чем вклад в банке «А».

                                                                   Ответ: 21.

Задача 2.

Банк предлагает два вида вкладов: « Базовый» и « Активный». По вкладу «Базовый» начисляется 12% годовых. По вкладу «Активный» банк предлагает 8% годовых в первый год, 10% годовых во второй год и р% за третий год. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумму вклада. Найдите наименьшее целое р, при котором трёхлетний вклад «Базовый» выгоднее, чем «Активный».

Решение:

1. 1. S + 0,08S = 1,08S

2. 1,08S + 1,08S*0,1 = 1,08S+0,108S = 1,188S

  3. 1,188S + 1,188S*0,01p

     Б.    1. S + 0,12S = 1,12S

  2. 1,12S + 1,12S*0,1 = 1,254S

  3. 1,254S + 1,254S*0,12 = 1,404S

1,404S ≥ 1,188S + 1,188S*0,01p

0,216S ≥ 1,188S*0,01p

0,18 ≥ 0,01p

p ≤ 18, наименьшее целое число 18, => р = 18.

                                                                           Ответ: 18.

2.4. Задачи на оптимальный выбор.

Рассмотрим решение задач четвертого вида:

Задача 1.

Фермер для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма каждого вида надо расходовать ежедневно на одно животное, чтобы затраты были минимальными? Используйте данные таблицы.

Решение:

Пусть х (кг) – корм 1-го вида, а у (кг) – корм 2-го вида.

x>0, y>0

По условию задачи известно, что:

2х+у=6

2х+4у≥12

Выразим у через х:

у = 6–2х

Подставим вместо у выражение:

2х+4(6–2х) ≥ 12

2х+24–8х ≥ 12

-6х ≥ -12

х≤2, т.е. 0<х≤2

у=6–4

у=2, т.е. 0<у≤2

Составим функцию затрат: F(x)=0,2x+0,3y

                                               F(x)=0,2x+0,3(6–2х)

                                               F(x)=0,2x+1,8–0,6x

                                               F(x)= –0,4x+1,8

Т.к. функция монотонно убывает, то наименьшее значение достигается на правом конце промежутка, т.е. при   х=2

у=2.

        Ответ: 2кг и 2кг.

Задача 2.

Два индивидуальных предпринимателя занимались изготовлением зеркал.

В течении ряда лет первый предприниматель изготавливал одно и то же (но не более 210) количество зеркал на каждый год.

Второй предприниматель в этот период изготавливал за каждый год 90% от того количества зеркал, которое изготавливал первый предприниматель.

После обновления оборудования второй предприниматель стал изготавливать за каждый год на 80% больше, чем он изготавливал до этого обновления, и более, чем 244 зеркала.

Найдите, какое количество зеркал за каждый год после обновления оборудования стал выпускать второй предприниматель?

Каждый предприниматель за год изготавливает целое число зеркал.

Решение:

Первый предприниматель изготавливал а зеркал (т.е. а ≤210). Следовательно, 2-й изготавливал 0,9а.

После обновления оборудования 2-й стал изготавливать 0,9а×1,8; т.е. 1,62а.

По условию 1,62а>244, следовательно а>244/1,62; т.е. а>150,6. Следовательно, а≥151.

Запишем неравенство: 151≤a≤210.

Т.к. 1,62а целое число, следовательно, 162а делится на 100. Следовательно, 81а делится на 50 ( ½ от 162а и ½ от 100). Т.к. в разложении числа 81 на простые множители нет чисел 2 и 5, то а будет делится на 50.

Из промежутка 151≤ a ≤210 только 1 число делится на 50, это число 200. Следовательно, получаем 1,62а = 1,62×200 = 324.

                                                                                  Ответ: 324.

Задача 3.

На двух заводах производятся абсолютно одинаковый товар, но на втором заводе установлено более совершенное оборудование. В результате этого на первом заводе рабочие за t^2 человеко-часов производят 6t единиц товара, а на втором заводе за t^2 человеко-часов рабочими производится 8t единиц товара. Оплата труда рабочих на обоих заводах одинакова и составляет 400 руб. за каждый час. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести на неделю на этих двух заводах, если владелец заводов может выделять на оплату труда рабочих 1 миллион рублей в неделю.

Решение.

Так как оплата труда составляет 400 рублей в час и на неё выделяется 1 млн. рублей в неделю, то в неделю может быть оплачено 2500 (1000000/400) человеко-часов труда рабочих, т.е. x+y=2500 (x – количество человеко-часов труда рабочих на 1 заводе, а y – количество человеко-часов труда на 2 заводе.

Из условия задачи следует: за x часов труда на 1-ом заводе будет произведено 6√x единиц товара, а за y часов труда  на 2-ом заводе будет произведено 8√y единиц товара.

Итак, необходимо найти наибольшее значение функции: f(x;y)=6√x+8√y (1), (для не отрицательных x и y), при том условии, что x+y=2500. Следовательно, выразим из этого равенства y, у=2500 – х, и подставим в (1), получим: g(х)= 6√x+8√2500 – х, при условии, что 0≤х≤2500 (система ограничений х+у=2500, при х≥0 и у≥0 равносильна следующей системе: у=2500 – х, где 0≤х≤ 2500.

Наибольшее значение функции g(х) на отрезке [0;2500] найдём с помощью производной.

Имеем:

g'(x)=0, следовательно, (3×√2500 – х) – (4×√х)=0

(3×√2500 – х)^2= (4×√х)^2

9(2500 – х)=16х                

16х+9х=2500×9        

25х=2500×9

х=9×100

х=900

Т.к. при х<900, g'(х)>0 – положительна,  а при х>900 – отрицательна, то на промежутке [0;900), функция g(x) возрастает, а на промежутке (900;2500] – убывает.

Поэтому наибольшее значение g(х) на отрезке [0;2500] достигается при х=900:

gmax=g(900)=(6√900)+(8√2500 – 900)=6×30+8×40=180+320=500

                                                                                 Ответ: 500.

3. Задачи для самостоятельного решения.

1.   31 декабря 2014 года Ярослав взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Ярослав переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)? Ответ: 6 409 000 рублей

2.   В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 4,2 млн. руб. Условия возврата таковы: 

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года. 

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.

— в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 4,2 млн. руб. 

— суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.  Найдите r, если долг выплачен полностью и общие выплаты составили 6,1  млн. рублей. 

Ответ: 10%

.

3.   В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется y2 человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? Ответ : 200 кг.

4.   В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

 Найдите наибольшее значение S, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн. рублей.

Ответ: 13 млн.рублей.

5.   Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн. рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн. рублей.

Ответ: 7 млн. рублей.

6.   Вклад в размере 10 млн. рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн. рублей, где х — целое число. Найдите наименьшее значение х, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн. рублей.

Ответ: 8 млн. рублей.

7.   В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн. рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

 Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн. рублей. Ответ: 36 млн. рублей

1. 8.   31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)? Ответ: 2 622 050 рублей.

9.   Гражданин Петров по случаю рождения сына открыл 1 сентября 2008 года в банке счёт, на который он ежегодно кладет 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на счёте. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и 1 сентября 2014 года он открыл в другом банке счёт, на который ежегодно кладёт по 2200 рублей, а банк начисляет 44% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимают?

Ответ: 2019год.

10.   31 декабря 2014 года Валерий взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определённое количество процентов), затем Валерий переводит очередной транш. Валерий выплатил кредит за два транша, переводя в первый раз 660 тыс рублей, во второй — 484 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Валерию?

Ответ: 10%

11.   15 января планируется взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн руб. Условия его возврата таковы:

− Первого числа месяца долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего месяца, где r целое число.

− Со 2 по 14 число необходимо выплатить часть долга.

− 15 числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии с таблицей

 Найдите наибольшее r, при котором сумма выплат будет меньше 1,25 млн руб.

Ответ: 9 %

12.   У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

1. Ответ: 84 млн. рублей.

Заключение.

В результате данной работы я:

  –  смогла  все экономические задачи  разбить на четыре основных группы;

–решила ряд экономических задач;

 – создала методическое пособие для учащихся 10-11 классов при подготовке к ЕГЭ.

Исследование и решение мною заданий ЕГЭ показало, что отлично зная  теоретический материал и умея оперировать этими знаниями, можно с лёгкостью решить задачи любой сложности из экзамена по теме «Экономические задачи» даже ученикам 10 класса. Проводя проектную работу, я смогла  повторить прошлый материал и извлечь  новую информацию, которая в будущем поможет мне на ЕГЭ. Для успешной сдачи надо помнить, что все  экономические  задачи в вариантах ЕГЭ вычислительные, поэтому для их успешного решения должен быть отработан аппарат стандартных вычислений.  Благодаря полученным знаниям в процессе моей работы, экономические задачи стали для меня не проблемой. Теперь я с легкостью смогу решить экономическую задачу на ЕГЭ и получить 3 балла, ведь для математики 3 балла – это очень много.

Я надеюсь, что данная работа будет полезна не только мне, но и всем  выпускникам, учителям математики.

Экономические задачи – это не просто задачи из математики, это часть нашей жизни в современном мире. Умение их решать будет полезно как для проверки банковских операций, так и в простых жизненных ситуациях.

Список используемой литературы.

1. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов Единого государственного экзамена 2017 года по математике. Профильный уровень. – www.fipi.ru
2. ЕГЭ 2017. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2/ И.В. Ященко, М.А. Волчкевич и др.; под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», издательство МЦНМО, 2016.

3. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии на 2017 год: учебно-методическое пособие /Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.- Ростов-на-Дону:Легион, 2016

4. ЕГЭ 2016. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий

     / И.В. Ященко, М.А. Волчкевич и др.; под ред. И.В. Ященко. – М.:                 Издательство «Экзамен», издательство МЦНМО, 2015.

5. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2015. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии на 2015 год: учебно-методическое пособие /Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.- Ростов-на-Дону:Легион, 2014

6.  https://ege.sdamgia.ru 

                                   План работы над проектом

Руководитель проекта : учитель математики Точка И. Г.

Тезисы

Цели проекта:

1. Классифицировать и систематизировать виды экономических  задач.
2. Научиться решать экономические задачи.
3. Создать методическое пособие для учащихся 10-11 классов при подготовке к ЕГЭ.

Задачи проекта:

1. Изучить  теоретический  материал в рамках подготовки ЕГЭ.
2. Проанализировать виды экономических задач, которые встречаются в ЕГЭ.
3. Развить умение применять полученные знания при решении  экономических задач

В проектной работе  рассмотрены основные виды экономических задач, предлагаемые на ЕГЭ последние годы. Эти задачи были классифицированы на отдельные  группы, и для каждой группы предложены оптимальные пути решения. Подобраны задачи для самостоятельного решения.  В результате проделанной работы получено методическое пособие по решению экономических задач.

     Актуальность работы заключается в том, что благодаря грамотной классификации и знаниям основных формул и приемов практически каждый выпускник сможет решить экономическую задачу на ЕГЭ.

Методы исследования: анализ литературы, анкетирование, обобщение, синтез.        

Новизна исследования: поиск математических представлений у учеников о решении экономических задач практической направленности.

Практическая значимость работы заключается в том, что изучение способов применения математических знаний на практике  способствует повышению  интереса  к изучению математики у учеников,  родителей. Возможно  использования материала для подготовки к ЕГЭ по математике (профильный уровень).