Функция. Первое знакомство.
статья по алгебре (7, 8, 9, 10 класс)

«Трудные» темы в изучении математики. Что такое функция?

Понятие функции - одно из основных в математике. Оно играет большую роль в познании реального мира. Невозможно успешно освоить курс алгебры и начал анализа без хорошего и глубокого понимания  действий, связанных с исследованием функций, построением графиков.

 На уроках ученики часто слышат слово « функция». Однако практика часто показывает, что на простой вопрос « Что такое функция?»  ответить не могут. Возможно, что одна из причин – формальная подача нового материала, изобилующая научной терминологией. А ведь впервые мы даем определение функции в 7 классе. И непонимание данного материала может очень испортить ученику его долгую математическую « жизнь» в школе.

  Поэтому  важно именно на этом этапе научить учащихся “сконструировать” образ функции. Учащиеся должны научиться употреблять такие термины как “область определения функции”, “независимая переменная” (или “аргумент”), “зависимая переменная” (или “функция”), и понимать их смысл.

 Я предлагаю давать определение функции несколькими способами. Все они будут дополнять друг друга. Возможно, что каждый ученик выберет свое, ему понятное. А ведь именно понимание - залог будущего успеха.

1. Функция – это зависимость одной переменной величины от другой. Другими словами, взаимосвязь между величинами. Любой физический закон, любая формула отражают такую взаимосвязь величин.

 Например, формула s= vt- это зависимость пройденного пути от времени. Чем больше времени мы идем по улицам любимого города, тем большее расстояние мы преодолеваем. Можно сказать, что пройденный путь является функцией от времени.

Обозначение y=f(x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина y зависит от величины x  по определенному закону, или правилу, обозначаемому f.

Другими словами: меняем  x (независимую переменную, или аргумент)- и по определенному правилу меняется и  у.

2. Можно дать и другое определение.

Функция - это определенное действие над переменной.

Это означает, что мы берем величину х, по определенному правилу f (х) делаем с ней определенное действие (например, умножаем на 5, или возводим в квадрат)- и получаем величину у.

Здесь можно показать ученикам знакомый им калькулятор. На одной кнопке написано , на другой. Нажимаете кнопку - и калькулятор совершает предписанное действие с тем числом, которое вы ввели.

Из многолетнего опыта заметила, что ребятам очень понятно « техническое» определение функции как устройства, на вход которого подается х – а на выходе получается у.

                                          x→  f  → y

  Переменные, которые мы закладываем в аппарат, называются независимыми переменными или аргументами.  Те значения, которые нам аппарат  выдал,  называются зависимыми переменными или функциями (от латинского functio – исполнение, осуществление).

Итак, функция - это действие над переменной. В этом значении функция применяется в областях далеких от математики. Например, можно говорить о функциях головного мозга или функциях мобильного телефона, о функциях депутата. Во всех этих случаях речь идет именно о совершаемых действиях.

3. И еще одно определение, то, которое чаще всего  встречается в учебниках.

Функция - это соответствие между множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Конкретизируя, каждому элементу множества Х по определенному правилу мы ставим в соответствие элемент множества У.

Например, функция у=8х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в восемь раз большее, чем х. 

Итак, после того как слово « функция» начинает приобретать вполне четкие смысловые представления, его не боятся, им оперируют, можно переходить к способам задания функции, терминологии. И обязательно сохранить устойчивую мотивационную среду, интерес к изучаемой теме, к творчеству.