Конспект урока открытия новых знаний по теме "Уравнение cos x = a" 10 класс
план-конспект урока по алгебре (10 класс)

 Тип урока: Урок открытия новых знаний

 Цель урока: Ввести понятие арккосинус числа и сформировать у учащихся умения решать простейшие тригонометрические уравнения cos x = a.  

Задачи урока:

- заполнить таблицу по уровням усвоения учебной информации по первой главе тригонометрии «Тригонометрические формулы»;  

- сформировать умения  решать уравнения  cosх = а, различая частные случаи и общее решение; 

- расширить знания учеников за счёт включения новых определений, формул, описаний.

Планируемые образовательные результаты (у учащихся будут или могут быть сформированы):

1. Предметные:

- умения решать тригонометрические уравнения типа cosx = a, различая при этом частные случаи и общее решение уравнения;

- умения владеть базовым понятийным аппаратом по главе «Тригонометрические формулы»;

- умения работать с математическим текстом (структурирование, извлечение необходимой информации).

2. Метапредметные:

- умения формулировать учебную задачу;

- умения осуществлять контроль по образцу;

- умения сличать способ действия и его результат;

- умения выделять и формулировать то, что усвоено и что нужно усвоить, определять качество и уровень усвоения;

- умения использовать общие приемы решения задач;

-  умения осуществлять смысловое чтение;

- умения устанавливать причинно-следственные связи; строить логические рассуждения;

- умения организовывать учебное сотрудничество и совместную  деятельность с учителем и сверстниками.

3. Личностные:

- ответственное отношение к учению;

- готовность и способность обучающихся к саморазвитию и самообразованию;

- умение точно, ясно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;

-способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений;

- умения контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.

Методические приемы:

Найдите лишнее, найдите ошибку, поставьте в соответствие (работа в парах), «продвинутая лекция» (работа с теоретическим материалом), комментированное решение уравнений, самостоятельная работа учащихся, составление кластера.

Формы организации работы обучающихся на уроке: индивидуальная, фронтальная, парная, групповая.

Методы обучения: частично-поисковый (эвристический), работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме,  системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

Ход урока

1. Организационный момент

1)Учитель организовывает деятельность учащихся по установке тематических рамок. Отмечает, что первая глава тригонометрии изучена, но раздел математики «Тригонометрия» многолика, она используется почти во всех областях науки.

2) Для создания условий для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебный процесс провести работу с текстом «Тригонометрия в нашей жизни» (Приложение 1). Учащиеся работают в парах по отработке читательской грамотности и смыслового чтения предложенного текста. Результат их работы – ответы на викторину (тест). На всю работу 5 минут. Учитель даёт ключ к проверке, ребята оценивают свою работу по количеству правильных ответов. Излагают свои мысли по тексту, какие способы смыслового чтения использовали, а также нужно ли им дальнейшее изучение тригонометрии.

II Актуализация знаний

Установить уровень усвоения знаний и осознанность их применения в рамках изученного теоретического материала «Тригонометрические формулы». Учащиеся выполняют индивидуальное задание, в котором  должны пройденный материал представить в таблице «Лист достижений».  

III Проблемное объяснение нового знания

В таблице ребята показали свои теоретические знания по уровням усвоения, а какими практическими навыками владеют, должны перечислить при фронтальной работе. Учитель должен подвести разговор к решению уравнений вида cosx = a, которые ребята уже умеют решать при а=0;1;-1. Для этого им  предложены следующие уравнения:            

и вопросы, на которые ребята дают ответы «да» или «нет»:

1. Здесь есть уравнения, которые вы умеете решать?
2. Здесь есть уравнения, которые не имеют решения?
3. Здесь есть уравнения, которые имеют решения?
4. Здесь есть уравнения, которым требуются тождественные преобразования?   
5. Здесь есть уравнения, корни которых можно найти с помощью  макета «Числовая окружность»?
6. Здесь есть уравнение, решение которого вызывает у вас вопросы?

Ученики обсуждают проблему (нужна формула для решения уравнения cosx = a, где -1≤а≤1)   и определяют цель и задачи урока, определяют, на какие вопросы необходимо получить ответы, в чём имеется затруднение.

Эпиграф занятия:

«Без уравнения нет математики как средства познания природы» (академик П.С.Александров).

Учитель организует подводящий диалог по проблемному объяснению нового знания. Учащиеся решают уравнения в тетради и у доски. К доске выходят по желанию, каждый должен выбрать по 2 уравнения. Объясняют решение, при необходимости, отвечают на вопросы. При решении уравнения

𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0,1 зафиксировать причину затруднения и ввести новое понятие арккосинус числа

(Общепринятым этот символ стал лишь в конце XVIII столетия. Приставка «арк» происходит от латинского arcus (лук, дуга), что вполне согласуется со смыслом понятия) и подвести к получению общей формулы решения уравнения cosx = a. Соотнести новые знания с правилом в учебнике и организовать фиксацию преодоления затруднения.

Рассмотрим уравнение  , мы не смогли его решить с помощью числовой окружности:

  , , где t1- длина дуги АМ, а t2=-t1.
Встретившись впервые с подобной ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке. Они ввели в рассмотрение новый символ  arccos  и с помощью этого символа таинственные корни записали так   и

Теперь все корни уравнения  можно описать двумя формулами:   и , или обобщая одной формулой

Что же такое . Это – число (длина дуги АМ), косинус которого равен  и которое принадлежит первой четверти числовой окружности – отрезку 
Символ  введенный математиками, содержит новый математический знак (агс), напоминание об исходной функции соs t (агссоs) и, наконец, напоминание о правой части уравнения, в приведенном нами случае о числе . Вот так в итоге и появился символ а (состоящий как бы из трех частей).  Аналогично рассматриваем решение  уравнение    
Сформулируем определение арккосинуса в общем виде (работа с текстом учебника) и  сделаем общий вывод о решении уравнения соs t =а при  -1≤а≤1 имеет вид

Правда, в трех случаях предпочитают пользоваться не полученной общей формулой, а более простыми соотношениями.

IV Первичное закрепление во внешней речи

Организовать усвоение детьми нового способа действий при решении данного класса задач с их проговариванием во внешней речи в группах. А.Эйнштейн  говорил так: « Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

1 группа                                                   2 группа                        

cosx =                                                cosx =                                

 cosx  +1 =0                                      2 cosx  +  =0

2 cos (                              2 cos(3x - ) = -

V Самостоятельная работа с самопроверкой

Самостоятельное выполнение учащимися типовых заданий на новый способ действия №573(4,5,6)  и самопроверка (готовые решения на обратной стороне доски). По результатам выполнения самостоятельной работы организовать выявление и исправление допущенных ошибок, создание ситуации успеха.

VI Включение нового знания в «Лист достижений».

Работа с дидактическим материалом учебника по выявлению типов заданий, где возможно использование нового способа действия.

VII Итог урока

Обсуждение  нового содержания, изученного на уроке, запись домашнего задания (№№ 569, 570, 573 1-3), самооценка учениками работы на уроке и зафиксировать направления будущей деятельности.

Список литературы и источников

1. Алимов Ш.А. Математика: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы. Базовый и углубленный уровни)

2.Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов-

(http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/a87d6303-ae07-46dd-a18a-  855c725fb448/?interface=electronic)   

3.Современный учительский портал - (http://easyen.ru)

4. Виды универсальных учебных действий - (http://www.u14.edu35.ru/fgos/fgosooo/34-tabluud)

Приложение1

ТРИГОНОМЕТРИЯ В НАШЕЙ ЖИЗНИ

Тригонометрия используется в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов), в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятности, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации (компьютерная томографии и ультразвук), в аптеках, в химии, в теории чисел, в сейсмологии, в метеорологии, в океанографии, во многих физических науках, в межевании и геодезии, в архитектуре, в фонетике, в экономике, в электротехнике, в машиностроении, в гражданском строительстве, в компьютерной графике, в картографии, в кристаллографии, в разработке игр и многих других областях.

Геодезия

Часто с синусами и косинусами приходится сталкиваться геодезистам. Они имеют специальные инструменты для точного измерения углов. При помощи синусов и косинусов углы можно превратить в длины или координаты точек на земной поверхности.

Древняя астрономия

Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. 56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания — 360 локтей.

Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем астронома Аристарха Самосского (III век до н. э.). В его трактате «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» ставилась задача об определении расстояний до небесных тел; эта задача требовала вычисления отношения сторон прямоугольного треугольника при известном значении одного из углов. Аристарх рассматривал прямоугольный треугольник, образованный Солнцем, Луной и Землёй во время квадратуры. Ему требовалось вычислить величину гипотенузы (расстояние от Земли до Солнца) через катет (расстояние от Земли до Луны) при известном значении прилежащего угла (87°), что эквивалентно вычислению значения sin угла 3. По оценке Аристарха, эта величина лежит в промежутке от 1/20 до 1/18, то есть расстояние до Солнца в 20 раз больше, чем до Луны; на самом деле Солнце почти в 400 раз дальше, чем Луна, ошибка возникла из-за неточности в измерении угла.

Несколько десятилетий спустя Клавдий Птоломей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике. Среди прочего, описана стереографическая проекция, исследованы несколько практических задач, например: определить высоту и азимут небесного светила по его склонению и часовому углу. С точки зрения тригонометрии, это значит, что надо найти сторону сферического треугольника по другим двум сторонам и противолежащему углу.

                В общем, можно сказать, что тригонометрия использовалась для:

• точного определения времени суток;
• вычисления будущего расположения небесных светил, моментов их восхода и заката, затмений Солнца и Луны;
• нахождения географических координат текущего места;
• вычисления расстояния между городами с известными географическими координатами.

Гномон— древнейший астрономический инструмент, вертикальный предмет (стела, колонна, шест),позволяющий по наименьшей длине его тени (в полдень) определить угловую высоту солнца.

Так, под котангенсом понималась длина тени от вертикального гномона высотой 12 (иногда 7) единиц; первоначально эти понятия использовались для расчёта солнечных часов. Тангенсом называлась тень от горизонтального гномона. Косекансом и секансом назывались гипотенузы соответствующих прямоугольных треугольников (отрезки AO на рисунке слева)

Архитектура

Широко используется тригонометрия в строительстве, а особенно в архитектуре. Большинство композиционных решений и построений рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Хочу привести пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства. Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (тоже самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения. Ситуация меняется , так как статую поднимают на высоту, поэтому расстояние от верхушки статуи до глаз человека увеличивается, следовательно и синус угла падения увеличивается. Сравнив изменения расстояния от верхушки статуи до земли в первом и во втором случаи, можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу.

Медицина и биология.

Модель боритмов можно построить с помощью тригонометрических функций. Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (кол-во дней). Формула сердца. В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии. Формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.

Также тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов.

Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Строго говоря, идея "измерения углов" не является новой. Еще художники Древнего Китая рисовали удаленные объекты выше в поле зрения, несколько пренебрегая законами перспективы. Сформулировал теорию определения расстояния по оценке углов арабский ученый XI века Альхазен. После долгого забвения в середине прошлого столетия идею реанимировал психолог Джеймс Гибсон (James Gibson), строивший свои выводы на основе опыта работы с пилотами военной авиации. Однако после того о теории вновь позабыли.

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

Измерительные работы

Тригонометрией пользуются при измерение расстояния между точек на местности. Предположим, что нам надо найти расстояние d от пункта А до недоступного пункта «дерево».

Викторина

Где используется тригонометрия?

1. во всех областях науки
2. почти во всех областях науки
3. только в математике
4. только в астрономии

Как используется тригонометрия в медицине?

1.  в медицине тригонометрия не используется
2. помогает вычислить, как передвигается кровь в нашем теле
3. помогает определить, на какой угол могут гнуться наши суставы
4. модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций 

В этой статье есть пример про архитектуру. Почему после поднятия статуи на высокий пьедестал она смотрелась уродливо?

1. потому что у большинства людей есть небольшое косоглазие, в результате чего пропорции статуи сразу же увеличиваются
2. потому что при создании статуи следовало особое внимание уделить материалу, из которого она сделала. Камни бывают ведь разные, и все они поддаются архитектору по-разному
3. потому что при создании статуи скульптор не учел, где будет стоять его творение
4. потому что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности

Как звали человека, который являлся автором трактата «О величинах и расстояниях Солнца и Луны»?

1. Аполлоний Пергский
2. Аристарх Самосский
3. Гамлет
4. Клавдий Птолемей

Для чего в основном использовалась тригонометрия в древние времена?

1. нахождения географических координат текущего места
2. в домашнем быту
3. для стратегии, в войны
4. для развития экономического положения государства

Какой треугольник в космосе рассматривал автор трактата «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» ?

1. Солнце, Луна, Кассиопея
2. Солнце, Земля, Юпитер
3. Солнце, Луна, Земля
4. Солнце, Луна, Марс

Движение рыб в воде происходит по...

1. по прямой
2. по закону синуса и косинуса
3. по параболе или гиперболе
4. по теореме Пифагора

Как использовался гномон?

1. его использовали в войны в качестве оружия
2. его использовали при строительстве пирамиды в Египте (египетский треугольник)
3. его использовали при строительстве разных зданий, рассчитывая гипотенузу между стеной здания и землей
4. его использовали как инструмент, позволяющий по наименьшей длине его тени (в полдень) определить угловую высоту солнца

Зачем нужна тригонометрия геодезистам?

1. т.к. нужно рассчитывать расстояние между движущимися объектами
2. т.к. в воде также нужно рассчитывать угол падения света
3. т.к. при помощи синусов и косинусов углы (между землей и объектом) можно превратить в длины или координаты точек на земной поверхности
4. т.к. при самолетостроении нужно учитывать неровности земной поверхности

Как тригонометрия помогает нашему мозгу?

1. помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов,измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения
2. помогает нашему мозгу определить высоту и только высоту предметов
3. помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов, выстраивая синусоиду между этими объектами
4. клетки в нашем мозге двигаются по закону синуса и косинуса