Практикум "Бесконечный мир задач"
тренажёр по алгебре (10 класс)

Тема: Формула зависимости объема выполненной работы от производительности и времени её выполнения.

1. Работа А. (м3, га, л, машин, деталей, и т.д.)
2. Производительность Р (м3/ч, га/смена, деталей/день.)
3. Время работы t (часы, минуты, смена, и т.д.)

Зависимость: 

P = A/t

t = A/P

Задача №1.

За первые 14 дней завод изготовил 560 стиральных машин, а затем стал изготовлять в день на 5 машин больше. Сколько машин выпустил завод за 2о дней?

               Задача №2.

Новая машина может выкопать канаву за 8 ч, а старая за 12ч. Новая машина работала 3ч, а старая 5ч. Какую часть канавы осталось вырыть?

Задача №3.

Заготовительного сена хватило на 180 дней. Если бы расход сена уменьшился на 32ц в день, то его хватило бы на 192 дня. Сколько центнеров сена было заготовлено на 1 день? Можно ли найти массу всего заготовительного сена?

Задача №4.

Двум землекопам было поручено вырыть канаву за 3ч 36мин. Однако первый приступил к работе тогда, когда второй уже вырыл треть канавы и перестал копать. В результате канава была вырыта за 8ч. За сколько часов каждый землекоп может вырыть канаву?

Задача №5.

60 деталей первый рабочий изготавливает на 3ч быстрее, чем второй. За сколько часов второй рабочий изготовит 90 деталей, если работая вместе, они изготавливают за 1ч 30деталей?

Задача №6.

В бассейн проведены две трубы – подающая и отводящая, причем через первую бассейн наполняется на 2ч дольше, чем через вторую опорожняется. При заполненном на 1/3 бассейна были открыты обе трубы, и бассейн  оказался пустым через 8ч. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполняет, а вторая опорожняет?

Задача №7.

Через один кран вода вливается в бак за 6 часов, через второй – за 10 часов. За сколько минут вода заполнит бак, если открыть оба крана?

Задача №8.

Бассейн заполняется трубами за 12 часов. Одна первая труба заполняет его на 10 часов быстрее, чем одна вторая. За сколько часов первая труба заполнит бассейн?

Задача №9.

Два землекопа, работая одновременно, могут выкопать траншею за 4 часа. Один из них, работая отдельно, может выкопать траншею на 6 часов быстрее другого. Сколько времени требуется более быстрому землекопу, чтобы выкопать одну траншею?

           Задача №10.

Одна из дорожных бригад может заасфальтировать один участок дороги на 1,5 часа быстрее другой. Обе бригады, работая одновременно, за 4 часа заасфальтировали 4 участка. Сколько времени требуется более медленной бригаде на один участок?

Задача №11.

Два хлопчатобумажных комбайна могут собрать хлопок с поля на 9 дней скорее, чем один первый комбайн, и на 4 дня скорее, чем один второй. За сколько дней первый комбайн может собрать весь хлопок?

Задача №12.

Вокруг завода необходимо провести вспашку земли. За 2 дня совместной работы двух тракторов различной мощности будет вспахана 1/3 площади. За сколько дней будет вспахана вся площадь более мощным трактором отдельно, если первый трактор может вспахать всю землю на 5 дней скорее, чем второй?

Задача №13.

Три тракторные бригады вместе вспахивают поле за 4 дня. Это же поле первая и вторая бригады вместе вспахивают за 6 дней, а первая и третья вместе – за 8 дней. Во сколько раз больше площадь, вспахиваемая за день второй бригадой, по сравнению с площадью, вспахиваемой за день третьей бригадой? (ответ округлить до целого).

Задача №14.

Бассейн наполняется четырьмя трубами за 8 часов. Первая, вторая и четвертая заполняют бассейн за 12 часов. Вторая, третья и четвертая заполняют бассейн за 10 часов. За сколько времени заполняют бассейн первая и третья трубы?

Тема: Решение текстовых задач методом составления уравнений, неравенства или систем

Задача №1.

Для приобретения формы двум командам было выделено по 84 руб. Первая команда купила на один комплект больше, т.к. каждый комплект, купленный первой командой, стоил на 2 рубля дешевле. Сколько комплектов формы купила первая команда?

Задача №2.

Из сухофруктов II и I сортов ценой 1руб 20 коп и 1руб 50 коп за килограмм соответственно. Нужно составить 36кг смеси ценой по 1руб 30 коп за килограмм. Сколько килограммов первого сорта нужно взять?

Задача №3.

Покупатель пришел в магазин, имея при себе 500рублей. На вторую покупку он потратил в 2 раза больше денег, чем в I , а на III – в 4 раза больше, чем на две предыдущие вместе. После этого у него осталось 140 рублей. Сколько стоила третья покупка?

Задача №4.

За 8м сатина и 10м шелка уплатили 175,2руб. После снижения цен на сатин на 25%, а на шелк на 10%, а за 6м сатина и 12м шелка уплатили 129,6руб. Сколько стоил метр шелка до снижения цен?

Тема: Движение тел по течению и против течения.

Задача №1.

Катер прошел 58км по течению реки и 75км против течения реки за то же время, что он проходит 135км в стоячей воде. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 2км/ч?

Задача №2.

Расстояние между пристанями А и В по реке 36км. Из А в В отплыл плот, а из В в А спустя 8 часов отошла лодка. В пункты назначения они прибыли одновременно. Какова скорость плота, если собственная скорость лодки 12км/ч?

Задача №3.

Велосипедист каждую минуту проезжал на 1000 метров меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь в 36км он затратил времени на 2ч 30мин больше, чем мотоциклист. Сколько км/ч проезжал велосипедист?

Задача №4.

Катер прошел 45км по течению реки и 35км против течения реки за то же время, что он проходит 80км в стоячей воде. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 3км/ч?

Задача №5.

Катер прошел 52км по течению реки и 66км против течения реки, затратив на путь по течению на 1ч меньше, чем на путь против течения. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 2км/ч?

Задача №6.

Теплоход прошел расстояние от А до В по течению реки за 7ч, а от В до А – за 14ч. За какое время проплывет от А до В плот?

Задача №7.

Катер прошел по течению реки расстояние от пункта А до пункта В за 3ч, а от В до А – за 5ч. За сколько часов проплывет от А до В плот?

Задача №8.

Расстояние между пристанями А и В 300км. Из А в В плывут два катера. Разность во времени отправления катеров равна 5 часам. К пристани В катера прибывают одновременно. Определить время движения катера, вышедшего первым, если скорость одного из них на 10км/ч больше скорости другого.

Тема: Формулы зависимости расстояния, пройденного телом, от скорости, ускорения и времени в различных видах движения.

Задача №1.

Из города в поселок, расстояние до которого 90км, одновременно выехали автобус и автомобиль. Скорость автомобиля на 30км/ч больше скорости автобуса, и поэтому он пришел в поселок на 4/5 ч раньше автобуса. Найдите скорость автобуса.

Задача №2.

Велосипедист и мотоциклист выезжают одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми 60км, и встречаются через 1ч. Чему равна скорость велосипедиста, если мотоциклист проезжает каждый километр на 1,5 минуты быстрее велосипедиста?

Задача №3.

Из пунктов А и В навстречу друг другу выезжают велосипедист и автобус. Время, затрачиваемое велосипедистом на проезд из А в В, на 2ч 40мин больше времени, которое тратит автобус на проезд из В в А, а сумма этих времен в  раза больше времени, прошедшего от начала движения велосипедиста и автобуса до момента их встречи. Какое время велосипедист затрачивает на проезд из А в В, а автобус – на проезд из В в А?

Задача №4.

Велосипедист проехал расстояние между двумя поселками за 3 дня. В первый день он проехал 1/6 всего пути и еще 50км, во второй 1/5 всего пути и еще 15км, а в третий день 1/20 всего пути и оставшиеся 70км. Найдите расстояние между поселками.

Тема: Решение текстовых задач с использованием элементов геометрии.

             Задача №1.

Одна сторона прямоугольника длиннее другой на 12. А его площадь больше периметра на 9. Сколько процентов составляет периметр от площади?

           Задача №2.

Аквариум с прямоугольным дном занимает на столе площадь равную 465см2. Ширина дна аквариума на 16см меньше длины. Найдите ширину дна аквариума.

Задача №3.

Первая сторона треугольника на 1см короче второй, а третья сторона – в полтора раза длиннее второй. Найдите длину первой стороны, если периметр треугольника равен 13см.

Задача №4.

Площадь треугольника на 2см2 меньше площади квадрата, а площадь трапеции в 2 раза больше площади квадрата. Найдите площадь треугольника, если общая площадь всех трех фигур равна 34см2.

Задача №5.

Объём параллелепипеда в 3 раза меньше объёма куба, а объём куба на 8см3 меньше объёма шара. Найдите объём шара, если объём всех трех фигур равен 15см3.

Тема: Движение тел по окружности в одном направлении и навстречу друг другу.

Задача №1.

Два тела движутся равномерно по окружности в одну сторону. Первое тело проходит окружность на 3с быстрее второго и догоняет второе тело каждые полторы минуты. За какое время каждое тело проходит окружность?

Задача №2.

На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник прошел круг на 2мин быстрее другого и через час обошел его ровно на круг. За какое время каждый лыжник проходил круг?

Задача №3.

Из точки А, лежащей на окружности, выходят одновременно два тела, движущиеся равномерно по этой окружности в противоположных направлениях. Через некоторое время они встретились, и оказалось, что первое тело прошло на 10см больше второго. После встречи тела продолжали путь, причем первое тело пришло в точку А через 9с, а второе – через 16с после встречи. Найдите длину окружности, по которой двигались тела.

Задача №4.

По двум концентрическим окружностям равномерно вращаются две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5с быстрее, чем вторая, и поэтому успевает сделать в одну минуту на 2 оборота больше. Сколько оборотов в минуту совершает каждая точка?

Задача №5.

Из пункта А кольцевой трассы длиной 24км выехал велосипедист, а через т20мин в том же направлении выехал мотоциклист. Через 10мин после выхода он догнал велосипедиста, а еще через 30мин догнал его вторично. Определить скорости велосипедиста и мотоциклиста.

Тема: Равномерное и равноускоренное движение тел по прямой линии в одном направлении и навстречу друг другу.

        Задача №1.

Турист проехал расстояние между двумя городами за 3 дня. В I день он проехал 1/5 сего пути и еще 60км, во второй – ¼ пути и еще 20км и в третий день – 23/80 всего пути и оставшиеся 25км. Найти расстояние между городами.

            Задача №2.

Первую четверть пути поезд двигался со скоростью 80км/ч, а оставшуюся часть – скоростью 60км/ч. С какой средней скоростью двигался поезд?

Задача №3.

Самолет летел сначала со скоростью 220км/ч. Когда ему осталось лететь на 385км меньше, чем он пролетел, скорость его стала равной 330км/ч. Средняя скорость самолета на всем пути 250км/ч. Какое расстояние пролетел самолет?

Задача №4.

Товарный поезд был задержан в пути на 18 минут, а затем на расстоянии в 60км наверстал это время, увеличив скорость на 10км\ч. Найдите первоначальную скорость поезда.

Задача №5.

Пешеход должен был пройти 12км за определенный срок, но он был задержан с выходом на один час, поэтому ему пришлось увеличить скорость на 1км/ч. С какой скоростью шел пешеход?

Задача №6.

Велосипедист выехал из пункта А. Когда он был на расстоянии 200м от него, за ним вдогонку отправился мотоциклист. Скорость мотоциклиста в 2 раза больше скорости велосипедиста. На каком расстоянии от пункта А мотоциклист догонит велосипедиста?

Тема: Решение задач на движение.

Задача №1.

Если велосипедист и мотоциклист выедут одновременно из двух пунктов навстречу друг другу, то они встретятся через 1ч 20мин. Если они выедут одновременно в одном направлении, то мотоциклист догонит велосипедиста через 4ч. Найдите отношение скорости мотоциклиста к скорости велосипедиста.

Задача №1.

Велосипедист каждую минуту проезжает на 800м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь в 30км он затратил времени на 2ч больше, чем мотоциклист. Сколько км/ч проезжал мотоциклист?

Задача №2.

Расстояние между пристанями А и В по реке равно 36км. Из А в В отплыл плот, а из В в А спустя 8 часов отошла лодка. В пункт назначения они прибыли одновременно. Какова скорость плота, если собственная скорость лодки 12км/ч?

Задача №3.

Из города А в город В, расстояние между которыми 50км, выехал велосипедист. Через 1ч 40мин вслед за ним выехал мотоциклист, скорость которого на 40км/ч больше, чем у велосипедиста. Найдите скорость велосипедиста, если в город В они прибыли одновременно.

Задача №4.

Расстояние между городами А и В равно 3405км. Из города А в город В отправился один поезд, а через час навстречу ему из города В вышел второй поезд, скорость которого на 15км/ч больше скорости первого. С какой скоростью должен ехать первый поезд, чтобы поезда встретились на станции, расположенной на расстоянии 1600км от города А?

Задача №1.

За 60км до станции назначения поезд был задержан у семафора на 12мин. Затем машинист увеличил на 15км/ч скорость, с которой поезд ехал до остановки, и поэтому поезд прибыл в пункт назначения по расписанию. С какой скоростью ехал поезд после остановки?

Задача №2.

Из пункта А в пункт В, расположенный в 24км от А, одновременно отправились велосипедист и пешеход. Велосипедист прибыл в пункт В на 4 часа раньше пешехода. Известно, что если бы велосипедист ехал с меньшей скоростью на 4км/ч, то на путь из А в В он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход. Найдите скорость пешехода.

                  Задача №3.

От пристани а отправились одновременно вниз по течению реки катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14ч. Найдите скорость катера в стоячей воде и скорость течения реки, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24км от А.

Задача №4.

Расстояние между городами А и В равно 3795км. Из города А в город В отправился один поезд, а через час навстречу ему из города В вышел второй поезд, скорость которого на 15км/ч больше скорости первого. С какой скоростью должен ехать первый поезд, чтобы поезда встретились на станции, расположенной на расстоянии 1800км от города А?

Контрольная работа на тему: «Движение».

2 вариант.

1. (2003 г. № 541) Велосипедист каждую минуту проезжает на 800 м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь в 3о км он затратил времени на 2 ч больше, чем мотоциклист. Сколько км в час проезжал мотоциклист?

2. (2003 г №547) Расстояние между пристанями А и В по реке равно 36 км. Из А в В отплыл плот, а из В в А спустя 8 часов отошла лодка. В пункты назначения они прибыли одновременно. Какова скорость плота, если собственная скорость лодки 12 км в час.

3. (2003 № 545)  Из города А в город В, расстояние между которыми 50 км, выехал велосипедист. Через 1ч 40 мин вслед за ним выехал мотоциклист, скорость которого на 40 км/ч больше, чем у велосипедиста. Найдите скорость велосипедиста, если в город В они прибыли одновременно.

4. (2007г № 35)  Расстояние между городами А и В равно 3405 км. Из города А в город В отправился один поезд, а через час навстречу ему из города В вышел второй поезд, скорость которого на 15 км/ч больше скорости первого. С какой скоростью должен ехать первый поезд, чтобы поезда встретились на станции, расположенной на расстоянии 1600 км от города А ?

1 вариант.

1. (2007г № 34)  За 60 км до станции назначения поезд был задержан у семафора на 12 мин. Затем машинист увеличил на 15 км/ч скорость, с которой поезд ехал до остановки, и поэтому поезд прибыл в пункт назначения по расписанию. С какой скоростью ехал поезд после остановки?

2. ( Л.Д.Лаппо, М.А.Попов стр 172)  Из пункта А в пункт В, расположенный в 24 км от А, одновременно отправились велосипедист и пешеход. Велосипедист прибыл в пункт В на 4 часа раньше пешехода. Известно, что если бы велосипедист ехал с меньшей на 4 км/ч скоростью, то на путь из А в В он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход, найдите скорость пешехода.

3. ( Л.Д.Лаппо, М.А.Попов стр 173)  От пристани А отправились одновременно вниз по течению реки катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14 часов. Найдите скорость катера в стоячей воде и скорость течения реки, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от А.

4. (2007г  №36) Расстояние между городами А и В равно 3795 км. Из города А в город В отправился один поезд, а через час навстречу ему из города В вышел второй поезд, скорость которого на 15 км/ч больше скорости первого. С какой скоростью должен ехать первый поезд, чтобы поезда встретились на станции, расположенной на расстоянии 1800 км от города А ?

Тема: Решение основных задач на процент.

Задача №1.

Цену товара снизили на 30%, затем новую цену повысили на 30%. Как изменилась цена товара?

Задача №2.

Цену товара повысили на 20%, затем новую цену снизили на 20%. Как изменится цена товара?

Задача №3.

Увеличили число а на р%. На сколько процентов надо уменьшить число, чтобы получить а?

Задача №4.

Зарплату рабочему повысили сначала на 10%, а через год еще на 20%. На сколько процентов повысилась зарплата по сравнению с первоначальной?

Задача №5.

Выпуск продукции завода за 4 года увеличился в 16 раз. На сколько процентов в среднем увеличивался выпуск продукции за каждый год по сравнению с предыдущим годом?

Банковские операции.

Тех, кто берет в долг деньги в банке, называют заемщиками, а ссуду, т.е. величину взятых у банка денег, называют кредитом.

Увеличение вклада по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы процентов в течении всего срока хранения определяются только из первоначальной суммы вклада  независимо от срока хранения и количества начисления процентов.

Пусть вкладчик открыл сберегательный счет и положил на него   рублей. Пусть банк обязуется выплачивать вкладчику в конце каждого года р% от первоначальной суммы  . Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составляет  рублей и величина вклада станет  рублей, р% называют годовой процентной ставкой.

Если по прошествии одного года вкладчик снимает со счета начисленные проценты  , а сумму   оставит, в банке вновь начисляют  рублей, а за два года начисления проценты составят  рублей, а через n лет на вкладе по формуле простого процента будет .

Рассмотрим другой способ расчета банка с вкладчиком. Он состоит в следующем: если вкладчик снимет со счета сумма начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять р% уже на новую, увеличенную сумму. Это означает что банк станет теперь начислять проценты не только на основной вклад, , но и на проценты, которые на него начисляют и такой способ начисления «процентов на проценты», называют сложными процентами , где n=1, 2, 3…

Задача №6.

Цена товара была повышена на 12%. На сколько процентов надо снизить новую цену, чтобы получить первоначальную?

Задача №7.

Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 200 000руб. Какая сумма будет на его счете через 5 лет, через 10 лет?

Задача №8.

При какой процентной ставке вклад на сумму 50руб возрастет за 6 месяцев до 650 руб.?

Задача №9.

Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4% в месяц он увеличился за 8 месяцев до 33 000руб.?

Задача №10.

Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000руб., на вклад, годовой доход по которому составляет 12%, и решил в течении 6 лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через 6 лет?

Задача №11.

В сберкассу положили 200руб., на которое начисляют 3% годовых. Сколько денег будет в конце первого года хранения?

Задача №12.

Сумма в 1000руб. уменьшается ежемесячно на 5%. Через сколько месяцев эта сумма сократится на а) 750руб.;б) 500руб.;в) 250руб.; г) 50руб.

Задача №13.

Какая сумма будет на счете через 4 года, если на него положены 2000руб. под 30% годовых?

Распродажи

Задача №14.

Зонт стоил 360 руб. В ноябре цена зонта снижена на 15%, а в декабре – еще на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре?

Задача №15.

На осенней ярмарке фермер планирует продать не менее одной тонны лука. Ему известно, что при хранении урожая теряется до 15% его массы, а при транспортировке – 10%. Сколько лука должен собрать фермер, чтобы осуществить свой план?

Задача №16.

На сезонной распродаже магазин снизил цены на обувь сначала на 24%, а потом еще на 10%. Сколько рублей можно сэкономить при покупке кроссовок, если до снижения цены они стоили 593руб.?

Тарифы

Задача №17.

В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составит 3руб 15коп вместо 2руб 75коп. Соответствует ли рост цен на товары почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5%?

Задача №18.

Тарифы для мобильных телефонов зависят от системы оплаты. В 2000 году тарифы оплаты по системам КиМ были одинаковыми, а в следующие три года последовательно либо увеличивалась, либо уменьшалась. Сравните тарифы в 2003 году.

Штрафы

Задача №19.

Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250руб. Оплата должна производиться до 15-ого числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

Задача №20.

За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику8% годовых. Вкладчик положил на счет 5000руб., и решил в течении пяти лет не снимать деньги со счета и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счете вкладчика через год? Через два года? Через пять лет?

Голосование

Задача №21.

Из 550 учащихся школы на референдуме по вопросу о введении ученического совета участвовали 88% учащихся. На вопрос референдума 75% принявших участие в голосовании ответили «да». Какой процент от числа всех учащихся школы составили те, кто ответил положительно?

Тема: Решение задач на «смеси и сплавы»

Задача №1.

Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12кг, содержащей 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы получившийся сплав содержал 40% меди?

Задача №2.

Кусок сплава меди с цинком массой 36кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?

Задача №3.

Имеется смесь из двух веществ массой 260г. После того как выделили 40% первого вещества и ¾ второго, то масса смеси стала 100г. Определите, сколько осталось каждого вещества?

Тема: Формула зависимости массы  или объема вещества от концентрации массы или объема.

При решении задач на смеси, сплавы, растворы принимаются следующие основные допущения:

- все получившиеся сплавы и смеси однородны;

- при слиянии двух растворов, имеющих объемы и , получаете смесь, объем которой равен .

- при слиянии двух растворов масса смеси равняется сумме масс, составляющих ее компонентов.

Объемной концентрацией компонента А называется отношение объема чистого компонента () в растворе ко всему объему смеси ().

              (1)

Объемным процентным содержанием компонента А называется величина , т.е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах.

Аналогично определяется массовая концентрация и процентное содержание: отношения массы чистого вещества А в сплаве к массе всего сплава, т.е. весовая концентрация.

Для решения задач на смеси и сплавы удобно ввести в рассмотрении объем или массу каждой смеси, а также концентрации составляющих их компонентов. С помощью концентрации нужно «расщепить» каждую смесь на отдельные компоненты, как это сделано в формуле (1), а затем указанным в условии задачи способом составить новую смесь. При этом легко посчитать, какой объем(масса) каждого компонента входит в получившуюся смесь, а также полный объем(массу) этой смеси. После этого определяют концентрации компонентов в новой смеси.

Концентрация – это число, показывающее сколько процентов от всей смеси составляет растворимое вещество. Если масса т кг, масса растворимого вещества а кг, концентрация р%, то между этими величинами существует зависимость:

Работу с этой формулой можно оформить в виде таблицы

Задача №1.

Один раствор содержит 30% по объему азотной кислоты, а во второй 55% азотной кислоты. Сколько нужно взять первого и второго раствора, чтобы азотной кислоты получить 100 л 50% - ого раствора азотной кислоты?

Задача №2.

Сплав меди с цинком, содержащий 5 кг цинка, сплавлен с 15 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось по сравнению с первоначальным на 30%. Найти первоначальную массу сплава.

Задача №3.

Имеется смесь из двух веществ массой 900г. После того как выделили 5/6 первого вещества и 70% второго, то второго вещества осталось на 18 г дольше, чем первого в смеси. Сколько осталось каждого вещества?

Задача №4.

В сплаве золота на 200г больше чем серебра. После того, как из сплава выделили 2/3 золота и 80% серебра, вес оказался равным 80г. Сколько весил слав первоначально?

Задача №5.

Смешали 10%-й и 25%-й раствор соли и получили 3 кг 20%-го раствора. Какое количество каждого раствора в кг было использовано?

ЕГЭ А.Д.Лаппо, М.А.Попов.

Задача №1.

Из 40 т железной руды выплавляют 20 т стали, содержащей 6% примесей. Какой процент примесей в руде?

Задача №2.

Плотность первого металла на 4 г/см3 больше плотности второго металла. Из 6 кг первого металла и 4 кг второго изготовили сплав, деталь из которого имеет массу 0,5 кг. Если бы такая же по объему деталь была изготовлена только из второго металла, то её масса была бы на 20% меньше. Найти плотность второго металла.

Задача №3.

Из двух растворов с различным процентным содержанием спирта массой т г п г отлили по одинаковому количеству раствора. Каждый из отлитого растворов долили в остаток другого раствора, после чего процентное содержание спирта в обоих полученных растворах стало одинаковым. Сколько раствора было отлито из каждого сосуда?

Задача №4.

Сколько граммов воды нужно выпарить из 0,5 кг солевого раствора, содержащего 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды?

Задача №5 (ЕГЭ – 2007 В.В Водопьянов)

Сколько чистого спирта надо прибавить к 735 г 16% раствора йода в спирте, чтобы получить 10%-ный раствор?

Тема: Зачет по теме «Задачи на сплавы, смеси, растворы».

Вариант 1

Задача №1.

Смешали 120 г раствора, содержащего 40% поваренной соли, и 280 г раствора, содержащего 60% поваренной соли. Сколько процентов соли в получившемся растворе?

Задача №2.

Смешали 250 г раствора, содержащего 20% поваренной соли и 150 г раствора, содержащего 60% поваренной соли. Сколько процентов соли в получившемся растворе?

Задача №3.

Имеются 22%-й и 2%-й растворы соляной кислоты. Используя их, получили 200 г нового раствора, содержащего 5% соляной кислоты. Используя их, получили 200 г нового раствора, содержащего 5% соляной кислоты. Сколько граммов первого раствора потребовалось для получения нового раствора? 

Задача №4.

Смешали  270 г раствора, содержащего 40% поваренной соли и 330  раствора, содержащего 20% поваренной соли. Сколько процентов соли в получившемся растворе?

Вариант 2

Задача №1.

Смешали 200 г раствора,  содержащего 30% поваренной соли и 400 г раствора, содержащего 60% поваренной соли. Сколько процентов соли в получившемся растворе?

Задача №2.

Смешали 330 г раствора, содержащего 40% поваренной соли и 270 г раствора, содержащего 20% поваренной соли. Сколько процентов соли в получившемся растворе?

Задача №3.

Имеются 20% и 5% растворы соляной кислоты. Используя их, получили 300 г нового раствора, содержащего 10% соляной кислоты. Сколько граммов первого раствора потребовалось для получения нового раствора?

Задача №4.

Имеется лом, стали двух сортов с содержанием никеля 55% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?

Задачи из ЕГЭ Цыганова

Задача №1.

Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в I и II сплавах одинакова. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определить сколько килограммов олова содержится в получившимся новом сплаве?

Задача №2.

Какое процентное содержание меди будет в металле, который получится, если сплавить 60 г металла с 40% меди и 40 г металла с 70% меди?

Задача №3.

Имеются три куска сплава меди с никелем  в отношениях 2:1, 3:1 и 5:1 по массе. Из них сплавлен кусок массой 12 кг с отношением меди и никеля 4:1. Найти массу каждого и сходного куска, если масса первого была вдвое больше массы второго.

Задача №4.

Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2:3, а в другом – в отношении 3:7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, котором золото и серебро находились бы в отношении 5:11?

Задача №5.

Один раствор содержит 20% по объему этой кислоты, а второй – 70% этой кислоты. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 л 50%-го раствора соляной кислоты?

Задача №6.

Имеется два сплава золота с серебром. В первом сплаве з:с=1:2, во втором сплаве з:с=2:3. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить сплав весом 19 кг, в котором з:с=7:12?

Задача №7.

В двух различных сплавах железо и олово находятся в отношении 2:5 и 4:3. Сколько килограммов каждого сплава нужно взять, чтобы получить 14 кг нового сплава с равным содержанием железа и олова?

Задача №8.

Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2:3, а другая – в отношении 3:7. По сколько нужно взять из каждой бочки, чтобы составить 12 ведер смеси, в которой спирт и вода были бы в отношении 3:5?

Задача №9.

В сплаве весом 10 кг отношение меди к цинку равно 4:1, во втором сплаве весом 16 кг отношение меди к цинку равно 1:3. Сколько надо добавить чистой меди к этим сплавам, чтобы получить сплав, в котором отношение меди к цинку равно 3:2?

Тема: Формула общего члена и суммы первых п членов арифметической и геометрической прогрессий.

Арифметическая прогрессия. Числовую последовательность, каждой член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

,     (п=2, 3, 4…)

- формула п-го члена арифметической прогрессии.

Сумма члена, находящегося на k-м месте от начала конечной арифметической прогрессии, и члена, находящегося на k-м месте от её конца, равна сумме первого и последнего членов прогрессии.

 - формула суммы п – членов арифметической прогрессии.

 - формула суммы п – членов арифметической прогрессии.

Каждый член арифметической прогрессии (кроме первого и последнего) равен среднему  арифметическому предшествующего и последующего членов.

Геометрическая прогрессия. Числовую последовательность, все члены которой отличны от 0 и каждый член которой, начиная со второй, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией.

q – Знаменатель прогрессии.

     (п = 2, 3, 4…)

                                      (b≠0, q=0)

 - формула  n-го члена геометрической прогрессии.

 - формула п членов геометрической прогрессии. (q≠1)

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии (кроме первого и последнего) равен произведению предшествующего и последующего членов.

Бесконечная геометрическая прогрессия.

 - сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии называется число, к которому стремится сумма первых и п членов геометрической прогрессии.

Задача №1.

Разность арифметической прогрессии является отрицательным числом. Найдите сумму семи первых членов этой прогрессии, если сумма третьего и седьмого членов равна 18, а их произведение равно 45.

Задача №2.

Произведение первого и десятого членов арифметической прогрессии равно – 45, а их частное равно – 0,2. Найдите сумму десяти первых членов прогрессии, если известно, что первый член является отрицательным числом.

Задача №3.

Сумма двух первых членов геометрической прогрессии равна 6, а сумма следующих двух членов равна 24. Найти сумму первых трех членов этой прогрессии, если известно, что знаменатель прогрессии отрицательный.

Задача №4.

В арифметической прогрессии разность пятого и третьего членов равна 8, а их сумма равна 26. Найти номер члена прогрессии, равного 17.

Задача №5.

Одиннадцатый член арифметической прогрессии равен – 89, а сумма первых двадцати членов равна – 1810. Найдите число членов прогрессии, содержащихся в интервале (0; 18).

Задача №6.

Найти сумму бесконечной убывающей бесконечной геометрической прогрессии: 12, 4,  …

Контрольная работа на тему «Задачи на работу», «Задачи на прогрессии», «Задачи с экологическим содержанием».

1 вариант.

1. (№33.2007). Две трубы вместе наполняют бассейн за 1ч 12мин. Одна труба может наполнить бассейн на 1ч быстрее, чем одна вторая труба. За сколько часов может, наполнить бассейн  одна первая труба?

2. (№518.2003г). В арифметической прогрессии сумма первых семи членов равна 21, разность пятого и третьего членов равна  -6. На каком месте  в этой прогрессии стоит число  -21?

3.(№229. 2005г.) Агрофирма предлагает продать моркови на 10% меньше, чем в прошлом году. На сколько процентов агрофирма должна повысить цену на свою морковь, чтобы получить за нее на 3,5 % больше денег, чем в прошлом году.

4. Колхоз обычно засевал пшеницей и ячменем 125 га  угодий. После увеличения площади посевов пшеницей на 10% и уменьшения площади посева ячменя на 8 % ,  занимаемая площадь стала равной 124 га. Какова была первоначальная площадь пшеничного поля?

Дополнительная задача(№535. 2003г) В арифметической прогрессии восемнадцать членов. Сумма членов, стоящих на четных местах, равна 27, а сумма членов,  стоящих на нечетных местах, равна 20. найдите наибольший целый член данной прогрессии.

2 вариант.

1. Насос может выкачать из бассейна  воды за 10 мин. Проработав 0,25 ч, насос остановился. Найдите вместимость бассейна, если после остановки насоса в бассейне ещё осталось 40  воды.

      2. Разность между седьмым и пятым членами геометрической прогрессии равна 48,                          сумма пятого и шестого членов прогрессии также равна48. Найти двенадцатый член этой прогрессии.

3. (№224. 2005г.) При покупке ребенку новых лыж с ботинками родителям пришлось заплатить на 35% больше, чем два года назад, причем лыжи подорожали с тех пор на 20 % , а ботинки – на 70%. Сколько процентов от стоимости лыж с ботинками составляла два года назад стоимость лыж?

4.В первой смене летного лагеря отдыхали 550 школьников. Во второй смене число мальчиков сократилось на 4 %, а число девочек увеличилось на 4 %. Всего же во второй смене отдыхало 552 школьника. Сколько мальчиков отдыхало в первой смене?

Дополнительная задача(№535. 2003г) В арифметической прогрессии восемнадцать членов. Сумма членов, стоящих на четных местах, равна 27, а сумма членов,  стоящих на нечетных местах, равна 20. найдите наибольший целый член данной прогрессии.

Тема:  Представление многозначного числа в виде суммы разрядных слагаемых.

№.1.

Найдите двузначное число, зная, что число его единиц на 2 больше числа десятков, а произведение искомого числа на сумму его цифр равна 280.

№2.

Двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр, а квадрат этой суммы в 2,25 раза больше самого числа. Найдите это число.

№3.

Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 3 и в остатке 3. найдите это число, если разность квадратов его цифр по модулю в 2 раза больше квадрата разности его цифр.

№4.

Сумма квадратов цифр двузначного числа равен 61. если от этого двузначного числа отнять 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите число.

№5.(10.14 Сборник задач по алгебре 8-9 класс.)

Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится1, а в остатке 16. если же к квадрату разности цифр это число прибавить произведение его цифр, то получится данное число. Найдите это число.

№6 (10.16)

Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 9. если же из квадрата суммы цифр этого числа вычесть произведения его цифр, то получится данное число. Найдите это число.

№7 (10.17.)

 Найдите трехзначное число, если известно, что сумма его цифр равна 17, а сумма квадратов  его цифр равна 109. если из этого числа вычесть 495, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Литература: Задачи на составление уравнений.

М.В.Лурье, Б.И.Александров (57-58 стр.)

№ 8.

Некто купил 30 птиц за 30 монет. Из числа этих птиц за каждых трех воробьев заплачена 1 монета, за каждых двух горлиц -  также 1 монета, за каждого голубя – 2 монеты. Сколько было куплено птиц каждой породы?

№ 9.

Покупатель купил несколько одинаковых тетрадей и одинаковых книг, причем книг куплено на 4 штуки больше, чем тетрадей. За все тетради он заплатил 72 коп, а за все книги – 6 рублей 60 копеек.

Если бы тетрадь стоила столько, сколько стоит книга, а книга – столько, сколько стоит тетрадь, то покупатель истратил бы на покупку меньше, чем 4рубля 44копейк. Сколько куплено тетрадей?

№10.

Четыре школьника сделали в магазине канцтоваров следующие покупки: первый купил пенал и ластик, заплатив 40 коп, второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 коп, третий купил пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 коп, четвертый купил пенал и тетрадь. Сколько заплатил четвертый школьник?

№ 11.

Купили несколько одинаковых книг и одинаковых альбомов. За книги заплатили 10 руб. 56 коп., за альбомы 56 коп. книг купили на 6 штук больше, чем альбомов. Сколько купили книг, если цена одной книги больше, чем на 1 руб., превосходит цену одного альбома?

№12.

Группа студентов, состоящая из 30 человек, получила на экзамене оценки 2, 3, 4 и 5. сумма полученных оценок равна 93,  причем «троек» было больше, чем «пятерок», и меньше, чем «четверок». Кроме того, число «четверок» делилось на 10, а число «пятерок» было четным. Определите, сколько каких оценок получила группа.

№13.(7.6.8. 3000 конкурсных задач по математике)

За 4 карандаша и 3 тетради заплатили 70 копеек, а за 2 карандаша и 1 тетрадь заплатили 28 копеек. Сколько стоит одна тетрадь и один карандаш?

№14(7.6.9.)

Группу школьников нужно рассадить в соловой. За стол можно усадить 3 человека. Если сажать за стол по 2 девочки, то окажется 3 стола, где сидят одни мальчики, а если сажать за стол по 2 мальчика, то будет 2 стола с одними девочками. Сколько было девочек в группе?

Тема: Векторы. Формулы, свойства и теоремы. Нахождение расстояния между точками.

Опр. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Свойства:

1)    (переместительное свойство)

2)   (сочетательное свойство)

Теорема. Для любых векторов  и  справедливо равенство

Свойства. Для любых чисел к, р и векторов    и справедливо равенства:

1. (кр) =к(р)  (сочетательное свойство);
2. (к+р) =к+р  (распределительное свойство);
3. к (+)= к+ к(распределительное свойство).

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Координаты вектора.

Правила:

1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

2. Каждая координата разности двух  векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей  координаты вектора на это число.

Простейшие задачи в координатах.

1. Координаты середины отрезка.

Отрезок АВ, С- середина отрезка АВ.

   точка С имеет координаты ( х; у ).

2) Вычисление длины вектора по его координатам.

Длина вектора.

3) Расстояние между двумя точками.

Задачи из Цыганова.

№1. (2013).

 Найти длину вектора АВ по заданным координатам его начала А(2;3) и конца В(1;5)

№2.(2014).

Длина вектора равна 5. какие значения могут принимать его координаты (х;у) ?

№3.(2020).

Даны точки А(1;3), В(2;4), С(5;14). Найти .

№4. (9 класс)

Найдите координаты вектора , зная координаты его начала и конца:

а) А(2;7), В(-2; 7)

б) А(-5;1), В(-5;27)

в) А(-3;0), В(0;4).

№5. Найти периметр треугольника МЕР, если М(4;0), Е(12;-2), Р(5;-9).

№6. Найдите длину векторов:

№7. Докажите, что четырехугольник АВСД является прямоугольником, и найдите его площадь, если А (-3;-1), В (1;-1), С (1;-3), Д (-3;-3).

№8. Найдите медиану АМ треугольника АВС, вершины которого имеют координаты: А(0;1), В(1;-4), С(5;2).

№9. Найдите х, если расстояние между точками А(2;3) и В(х;1) равно 2.

№10. (2062).

Найти длину отрезка АВ, если его концы заданы координатами: А(-20;7) и В(20;16).

№11. (2063).

Найти длину отрезка АВ, если его концы заданы координатами: А(-11;3) и В(13;10).

№12.(2064).

 Найти длину отрезка АВ, если его концы заданы координатами: А(-5;3) и В(7;8).

Тема: Вычисление скалярного произведения векторов. Нахождение углов между векторами.

Опр. Два вектора называется перпендикулярными, если угол между ними равен 90.

Опр. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

 скалярный квадрат.

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины

Теорема. Скалярное произведение векторов выражается формулой:

Следствие 1. Ненулевые векторы  и  перпендикулярны тогда и только тогда, когда

Следствие 2. Косинус угла  между ненулевыми векторами

выражается формулой:

Свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов , , и любого числа к справедливы соотношения:

Задачи из ЕГЭ (Цыганов)

№ 1.(№ 2006)  Найти угол между векторами .

№2. (№ 2007)  Найти угол между векторами .

№3. (№ 2008)  Найти угол между векторами .

№4. Найдите косинус углов треугольника с вершинами А (2;8), В (-1;5), С (3;1).

№5. (№2030)   Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , если угол между   и составляет , а скалярное произведение .

№6. (№ 2038)   Сумма векторов

Найти

№7 (№2037)   Векторы ,,  образуют попарно углы , причем

Найдите угол между векторами  и -.

№8. (2036)   Векторы , образуют  угол , а векторим перпендикулярен,   причем

Найдите абсолютную величину вектора  ++.

№9 (2035)     Векторы , образуют угол . Найти , если известно, что

ЕГЭ 100 баллов. Л.Д.Лаппо, М.А.Попов.

№10. Абсолютная величина вектора  равна 13, а вектора  равна 25.

Найти

№11. Найдите  вектор  и его абсолютную величину, если:

№12. Даны векторы . Найти вектор  и его абсолютную величину.

№13. Докажите, что векторы  перпендикулярны или равны нулю.

№14. Векторы   +   и  -перпендикулярны. Докажите, что .

№15. Даны четыре точки А (1;1), В (2;3), С (0;4), Д (-1;2). Докажите, что четырехугольник АВСД – прямоугольник.

№16.   Даны три вектора . Найти угол между векторами + и .

№17.   Найдите угол между векторами  и 7+2, если известно, что .

Тема: Уравнение прямой, окружности и линии.

Уравнение окружности:

,     - центр окружности , r – радиус окружности.

 - уравнение окружности с центром в начале координат.

ах+ву+с=0 – уравнение прямой.

Ось ОХ – имеет уравнение у=0, ось ОУ – имеет уравнение х=0.

у= кх + в – уравнение прямой, где к – угловой коэффициент; к = tg

если к=к, то прямые параллельны, если не равны к и к, то прямые пересекаются.

Задачи из ЕГЭ (Цыганов)

№1 (2043). Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(0;1) и В(2;5).

№2 (2044). Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку (2;3).

№3 (2039). Известно, что точка А(5;0) и В(0;5) лежат на одной прямой. Чему равен угловой коэффициент этой прямой?

№4 (2040) Известно, что точка А(0;4) и В(4;0) лежат на одной прямой. Чему равен угловой коэффициент этой прямой?

№5 (2041) Определить угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки А(1;2) и В(2;-1).

№6 (2042) Чему равен угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки А(1;2) и В(2;1)?

№7 (2045) Найти уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом равным 4.

№8 (2046) Написать уравнение прямой, параллельной оси х и проходящей через точку (5;2).

№9 (2047) Найти уравнение прямой, параллельной оси у и проходящей через точку (2;-7).

№10 (2048) Написать уравнение прямой, проходящей через точку (-2;3) и параллельную прямую у = -х+5.

№11 (2049). Каким уравнением задается прямая, проходящая через начало координат перпендикулярно биссектрисе первого координатного угла?

№12 (2050) Написать уравнение прямой, проходящей через точку(0;0) перпендикулярно прямой у=0,2х-1.

№13 Написать уравнение прямой, проходящей через точку (0;1) и перпендикулярной прямой у=4х+1.

№14 (2087)  Записать уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку (3;4).

№15 (2088)  Записать уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку (2;3).

№16 (2089) Составить уравнение окружности радиуса 4 с центром в точке А(1;1).

№17 (2090) Найти радиус окружности

№18 (2091) Найти радиус окружности

№19 (2092) Найти радиус окружности

№20 (2093) Найти радиус окружности

№21 (2094) Найти длину окружности

№22  (2095) Найти  площадь круга

№23 (2096) Найти центр окружности

№24 (2097) Найти расстояние от центра окружности  до точки (4,5;1,5).

№25 (2098) Найти расстояние от центра окружности  до точки (8,5;2,5).

Контрольная работа.

1 вариант.

1.(2099). Найти расстояние от центра окружности

   до точки с координатами (-14;4).

2.(2078).  Определить вид четырехугольника АВСД с вершинами в точках А(1;2), В(43;12), С(63;42), Д(21;32).

3. (2063). Найти длину отрезка АВ, если его концы заданы координатами: А(-11;3) и В(13;10).

4. (2005г.) Разность двух чисел равна 57. если из большего числа зачеркнуть цифру единиц, равную 3, то получим меньшее число. Найти эти числа.

5. (№2005). Отрезок длины 6 составляет ОХ угол . Найти длину его проекции.

2 вариант.

1.(2100). Найти расстояние от центра окружности

   до точки с координатами (2,5;1,5).

2.(2079). Вершины P,Q, R - параллелограмма  PQRS имеют координаты (15;-5), (3;12) и (11,21) соответственно. Определите координаты вершины S.

3. (2064). Найти длину отрезка А В, если его концы заданы координатами: А(-5;3) и В (7;8).

4. (2005г.) Разность двух натуральных чисел равна 16, а произведение на 553 меньше суммы их квадратов. Найдите эти числа.

5. (№2005) Отрезок длины 8 составляет ОХ угол . Найти длину его проекции.