КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ» В УГЛУБЛЕННОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ 10 КЛАССА.(элективный курс)
элективный курс по алгебре (10 класс)

КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ» В УГЛУБЛЕННОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ 10 КЛАССА.(элективный курс)

Составитель курса: Сурскова Татьяна Александровна, учитель математики МАОУ Гимназия №1, г. Балаково, Саратовской области, e-mail: surskovatata@mail.ru

Пояснительная записка.

Элективный курс предназначен для 10-ых классов с углубленным изучением математики.

В ходе освоения содержания элективного курса учащиеся приобретают и совершенствуют опыт:

- задание функций различными способами;
- построение и исследование графиков функций; 
- умение решать уравнения и неравенства с помощью свойств функций;

- подготовки к высокорейтинговым соревнованиям и ЕГЭ;
- самостоятельной работы с источниками информации, учебной и 
справочной литературой, современными информационными технологиями.

ЦЕЛЬ КУРСА: расширение представления о функциях, их свойствах, способах задания; овладение системой знаний необходимых для изучения смежных дисциплин, а главное показать общекультурную роль математики, её целостность.

ЗАДАЧИ КУРСА:

- развить познавательный интерес и творческий подход к решению задач;
- сформировать компетенции связанные с изучением свойств и графиков функций;
- сформировать представления об идеях и методах математики в тесной связи с другими науками.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КУРСА.

Данный элективный курс «Ключевые задачи при изучении темы «Функции и графики» в углубленном курсе алгебры 10 класса» определяет примерный объем знаний, умений и навыков, которыми должны владеть учащиеся. В результате изучения курса школьники должны научиться решать задачи более высокого уровня сложности по сравнению с обязательным, овладеть некоторыми умениями на уровне их свободного использования. В каждой теме курса содержатся задания на актуализацию и систематизацию знаний и способов деятельности, что способствует эффективному усвоению знаний.
Для изучения теоретического материала наиболее эффективной является лекция. Развивать и закреплять теоретические знания учебного материала помогут уроки – практикумы, уроки решения задач. Домашние задания, которые являются обязательными, могут быть как традиционными, так и творческими. Формы занятий предусматривают проектную и исследовательскую деятельность учеников, например создание презентаций на некоторые темы.
Для выявления степени усвоения учебного материала необходимо проводить промежуточные и итоговые проверочные работы, использовать компьютерное тестирование.
Задания выбираются по усмотрению учителя, в зависимости от индивидуальных способностей учащихся. 
 

МЕСТО КУРСА В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ.

Курс рассчитан на 18 часов. Каждое занятие курса рассчитано на 90 минут.

Содержание курса

Краткое содержание курса.

1. Основные понятия, относящиеся к числовым функциям (2 часа)

Рассмотрены такие понятия как: «Функциональная зависимость(функция)», «Область определения функции», «Множество значений функции». Приведены примеры нахождения области определения и множества значений функции.

2. Свойства функций (4 часа)

Четность (нечетность) функций, монотонность, периодичность, ограниченность функций, наибольшее и наименьшее значение функций.

3. Графики функций (6 часов)

Рассмотрены вопросы, связанные с суперпозицией функций; построение графиков функций, с помощью элементарных(геометрических) преобразований; обратная функция.

4. Применение свойств функций при решении уравнений и неравенств. (4 часа)

Подробно разобраны методы решения функциональных уравнений и неравенств, а так же рассмотрены функциональные методы решения уравнений и неравенств.

5. Итоговое занятие (2 часа).

Защита творческих работ групп или индивидуальных работ (защита решений задач). Сравнение различных способов решения задачи.  

Разработанные занятия в приложении.( ПРИЛОЖЕНИЕ 1.)

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ

УЧЕБНОГО (ЭЛЕКТИВНОГО) КУРСА[10.]

«Ключевые задачи при изучении темы «Функции и графики» в углубленном курсе алгебры 10 класса».

Личностные результаты. Сформированность:

• целостного мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки математики и общественной практики ее применения;
• готовности и способности к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательного отношения к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности на основе развитой мотивации учебной деятельности и личностного смысла изучения математики, заинтересованности в приобретении и расширении математических знаний и способов действий, осознанности в построении индивидуальной образовательной траектории;
• логического мышления: критичности (умение распознавать логически некорректные высказывания), креативности (собственная аргументация, опровержения, постановка задач, формулировка проблем, работа над исследовательским проектом и др.).

В предметных результатах сформированность:

• умений приводить примеры реальных явлений (процессов), количественные характеристики которых описываются с помощью функций; использовать готовые компьютерные программы для иллюстрации зависимостей; описывать свойства функций с опорой на их графики; строить графики, используя геометрические преобразования; строить графики взаимно-обратных функций; решать функциональные уравнения и неравенства, применяя различные методы; решать уравнения и неравенства , применяя функциональный метод; соотносить реальные зависимости из окружающей жизни и из смежных дисциплин с элементарными функциями, делать выводы о свойствах таких зависимостей;
• умений применения методов доказательств и алгоритмов решения; умения их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

Метапредметные результаты освоения программы представлены тремя группами универсальных учебных действий (УУД).

Регулятивные универсальные учебные действия.

• способность самостоятельно ставить цели учебной и исследовательской, проектной деятельности, планировать, осуществлять, контролировать и оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей и условиями ее выполнения;

Познавательные универсальные учебные действия.

• навыков осуществления познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;
•  владения навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств их достижения.

Коммуникативные универсальные учебные действия.

•  умения продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;
•  владения языковыми средствами — умения ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства.

Заключение.

В данной работе мной были рассмотрены понятия, связанные с функциями и их свойствами, понятие функциональных уравнений и функциональных методов решения уравнений и неравенств. Рассмотрела различные приемы решения функциональных уравнений, приведя необходимые примеры решения.

Занятие 1

Область определения функции. Множество значений функции.

Понятие функции является одним из основных понятий математики вообще. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике.[4]

Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин /определения он не дал вообще/ он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него "геометрический налет".

Ученик Лейбница Иоганн Бернулли пошел дальше своего учителя. Он дает более общее определение функции, освобождая последнее от геометрических представлений и терминов: "функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой величины и постоянных".[5]

Принципиально важным вопросом при формировании понятия функции является вопрос об области определения функции и области значений функции. Из определения функции вытекает, что функция у = f(x) должна задаваться вместе с ее областью определения Х. При этом подчеркнем, что область определения функции может задаваться либо условиями решаемой задачи, либо физическим смыслом изучаемого явления, либо математическими соглашениями.

Определение 1. Пусть даны множества действительных чисел Х и Y. Функциональной зависимостью(функцией) называется закон, по которому каждому значению величины , называемой аргументом, ставится в соответствие некоторое(единственное) число y=f(x) из множества Y.

 Определение 2. Множество X называется областью определения функции ( обозначается

Определение 3. Множеством значений Е(f) числовой функции f называется множество всех , для которых существует хотя бы одно  такое, что f(x)=a. Можно сказать иначе:  состоит из тех значений а, при которых уравнение f(x)=a имеет хотя бы одно решение.

Задачи:

1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 12 см.  Выразите площадь треугольника как функцию длины высоты, проведенной к его основанию, и найдите область определения этой функции.

Ответ.  при .

2. Найдите по графику область определения и множество значений функции.

Ответ. а)

3. Выяснить, на каком множестве равны функции 

Решение: Так как

Следовательно,.

4. Найдите область определения функции[1]

.

Решение: Для функции

Функция  определена на множестве тех значений х, для которых  Следовательно,

Ответ.

Задания для самостоятельного решения

5.    Найти область определения функции:[2]

 1)   ;  2) ; 3) .

Ответ. 2)

6.  Найдите множество значений функции:[3]

а)

.

Ответы и указания: а) (0;; b) ; c);

d) Рассмотрим функцию

Значит, нам нужно найти множество значений функции  заданной на множестве .

Выясним, при каких значениях параметра а уравнение

Если это уравнение имеет два решения , то только одно из них может быть больше 2, так как по т. Виета  Если же - единственное решение, то

Т.о. уравнение (1) имеет решение, принадлежащее промежутку т.т.т., когда оно имеет ровно два решения, одно из которых принадлежит этому промежутку, а другое –нет. Для этого необходимо и достаточно, чтобы для квадратичной функции

 выполнялось условие

Получаем неравенство   Значит, .

Ответ. .

7.  Множество значений функции f-отрезок . Найдите все целочисленные значения функции

Ответ.

8.  Найдите все значения параметра a, при каждом из которых областью определения функции    будет:1) луч; 2) отрезок; 3) единственная точка; 4) пустое множество.

Ответ.

9. На рисунке представлен график функции, определенной на отрезке . S(x)-площадь «подграфика» на отрезке  Выразите величину S(х) через х и постройте график функции y=S(x). По этому графику найдите множество значений функции y=S(x).

Ответ. S(x)=

10. Найдите все значения функции y = 2x + |x2 – 4x + 3|, каждое из которых она принимает ровно один раз. Постройте график функции.

Ответ. 2

Задания для самостоятельной работы.[2]

1. Найдите область определения функций:

1.

2.

3. ;

4. .

2.  Найдите множество значений функции.

1.

2.

3.

4.

5.

Список литературы

 1.  Пратусевич М.Я. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Углубленный уровень. Методические рекомендации. 2-е изд., перераб. - М.: 2017. - 301 с.

2. Пратусевич М.Я. Алгебра и начала математического анализа.10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень/ М.Я. Пратусевич, К.М. Столбов, А.Н. Головин.-М.: Просвещение, 2009.-415 с.

3.   М.И.Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: методическое пособие 10 класс/ М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев, Т.А. Олейник, Т.В. Соколова.-М.:БИНОМ.Лаборатория знаний,2008.-448с.

4. “Справочник по математике” И. Бронштейн, К. Семендяев 1948 г.(стр. 309)

5.“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г. (стр. 42-48, 82)