Исследовательски проект "Математическое моделирование игры теннис"
творческая работа учащихся по алгебре (11 класс)

Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Самарский государственный экономический университет»

Научная конференция для школьников

«Первые шаги в науке»

Тема научной работы:

Математическое моделирование игры «Теннис»

Клоков Сергей Алексеевич,

Чеканов Василий Сергеевич

класс: 11 «А» ГБОУ гимназии г. Сызрани

Руководитель: Константинова Ирина Альбертовна,

учитель математики ГБОУ гимназии г. Сызрани

                                           Самара 2019

Оглавление

1. Введение………………………………………………………    3-5
2. Теоретические основы………………………………………… 5-6
3. Основная часть…………………………………………………7-13
4. Выводы…………………………………………………………   14
5. Библиографический список……………………………………  15

Введение

Исследование – важная часть деятельности человека. В современном мире решение любой практически значимой задачи невозможно без применения математических знаний. Теория вероятностей – раздел математической науки, изучающий закономерности случайных явлений. Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях науки, техники, а также в спорте. Проблема применения математики в спорте достаточно актуальна. Спорт с каждым годом становится более интеллектуальным, и математические методы, которые служат для улучшения практического результата все чаще и чаще внедряются в существующую структуру спорта. Актуальность выбранной нами темы связана с популяризацией возможности рассчитать вероятность интересующего нас события, в частности с помощью основ теории вероятности определить, кто из спортсменов выиграет в теннисном турнире.

Больше ста лет тому назад, в феврале 1874 г. английский майор в отставке У. Уингфилд запатентовал изобретенную им игру. Он назвал ее теннисом. По некоторым сведениям, его прошлое уходит во времена древнего Египта. В более поздние времена - в XIII веке во Франции - играли в мяч, перебрасываемый ладонями. Игру называли королевским теннисом или игрой рукой ("же де пом"). В Англии в XIV - XVIII веках нашла широкое распространение игра, в которой участвовали двое. Один ударом ладони посылал мяч по направлению к стенке, а отскочивший от нее мяч уже ударял ладонью второй игрок, и так до первой ошибки кого-либо из них.

Теннис быстро получил широкое признание среди молодежи, учащихся гимназий. В 1903 г. впервые в международных соревнованиях (в Стокгольме) участвовали представители России. В 1913 г. в нашей стране впервые был проведен международный теннисный турнир.

Сейчас этот вид спорта, ранее доступный лишь для избранных, стал массовым. Теннис является несравненным средством против одной из особенностей нашего времени - неподвижного образа жизни. По темпам развития, росту популярности он уже ряд лет опережает все иные виды спорта. Теннис, являясь весьма подходящим видом спорта для людей, занимающихся различной деятельностью, способен в то же время давать огромное моральное и физическое удовлетворение. Недаром говорят, что в теннис играют руками, выигрывают головой. По словам одного известного теннисиста для игры высокого класса необходимы три составляющие: выносливость стайера, быстрота спринтера и стремительное мышление шахматиста, безошибочно играющего в глубоком цейтноте.

Методы математической статистики устанавливают перспективность спортсменов, условия, наиболее благоприятные для тренировок, их эффективность. В спорте и спортивных играх ум, образование, расчет – вещи далеко не лишние. Так, хороший теннисист должен обладать разнообразной и тонкой техникой ударов. Выходя на корт, теннисист встречается с соперником, который не уступает ему в мастерстве. И здесь исход игры решают тактика, расчет и предвиденье, поэтому подавляющая часть хороших теннисистов – образованные и умные люди.

1. Объект исследования: понятия и законы теории вероятностей, применимые для расчета вероятности выигрыша.
2. Предмет исследования: соотношения между вероятностями выигрыша и структурой теннисной встречи
3. Цель: рассчитать вероятности выигрыша теннисистов в гейме, сете, игре и выяснить, сколько сетов должна продолжаться игра.
4. Задачи:

а) собрать и изучить информацию о правилах и истории игры «Теннис»;

б) применить теоремы теории вероятности к решению вопроса о выигрыше в «теннис»;

в) составить алгоритмы для расчета вероятности счета в игре «теннис».

     5. Гипотеза: целесообразно ли играть матч из 5 сетов?

6. Методы исследования

1) изучение научно-популярной литературы

2) обобщение и систематизация материала по данной теме

3) анализ условия игры и полученного результата

Теоретические основы

Рассмотрим некоторые понятия теории вероятности, которые нам помогут при расчете вероятности счета в игре.

В качестве испытания рассмотрим розыгрыш отдельного мяча. Это испытание может иметь для рассматриваемого игрока два взаимно исключающих исхода: мяч выигран (событие А) или мяч проигран (событие В). Величина P(А) принимается за вероятность события А, где 0≤Р(А)≤1. Для каждого игрока известны вероятность Р(А) того, что мяч им будет выигран, и вероятность Р(В) того, что мяч будет проигран. Р (А) + Р(В) = 1.

Суммой (объединением) А + В (или A∪B) событий называют событие, которое реализуется как при исходах, приводящих к А, так и при исходах, приводящих к В. При этом исходы, которые приводят к А и В одновременно, считаются один раз.

Произведением (пересечением) АВ (или A∩B) двух событий называется событие, реализующееся при тех и только тех исходах, которые приводят как к А, так и к В. События А и В несовместны, если их произведение является событием невозможным: его вероятность равна нулю.

В нашем случае испытание J приводит лишь к двум несовместным исходам (выигрыш или проигрыш мяча). Их сумма А + В - событие достоверное: его вероятность равна единице: Р(А + В) = 1, а произведение АВ - событие невозможное: Р(АВ) = 0.

Теорема сложения вероятностей обобщается на тот случай, когда испытание приводит к любому конечному числу В1, ..., Bk попарно несовместных исходов (т. е. каждое произведение BtiBj при i≠j - событие невозможное):

P(B1 + B2 + ... + Bk) = P(B1) + P(B2) + ... + P(Bk).

Событие А называется независимым от события В, если условная вероятность Р(А/В) равна безусловной вероятности P(А), т. е. Р (А/В) = Р (А). Из предыдущего вытекает, что для независимых событий справедлива теорема умножения вероятностей:

Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Для зависимых событий

Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В).

Пусть события B1, ..., Bk попарно несовместны и событие А имеет место, когда возникает по крайней мере одно какое-либо из событий B1, ..., Bk. Тогда справедливо тождество А = А(B1+ ... + Bk) = AB1 + ... + ABk и формула полной вероятности Р(А) = Р(AB1) + Р(АB2) + ... + Р(АBk),

или Р(А) = Р(B1)Р(А/B1) + Р(B2)Р(А/B2) + ... + Р(Bk)Р(А/Bk).

Основная часть

Рассмотрим кратко, как формируется счет в гейме. При выигрыше какой-либо стороной первого в гейме мяча счет становится 15:0 (или 0:15), при выигрыше той же стороной второго мяча добавляется еще 15 и счет становится 30:0 в ее пользу. При выигрыше третьего мяча счет становится 40:0, выигрыш четвертого мяча дает 60:0 и приносит завершение гейма в пользу этой стороны. Если одна из сторон после выигрыша первого мяча второй мяч проиграла, то 15 засчитывается противнику. Следовательно, счет (первыми всегда указываются очки подающего) в гейме может быть только одним из следующих: 15:0, 30:0, 40:0, 0:15, 0:30, 0:40, 15:15, 30:15, 40:15, 15:30, 15:40, 30:30, 40:30, 30:40, "ровно", больше", "меньше", "игра". Счет "ровно" имеет место при равенстве очков у противников, начиная с шестого разыгранного мяча; "больше" ("меньше") - начиная с седьмого мяча, если подающий выиграл (проиграл) мяч после счета "ровно". "Игра" подающего имеет место, если при счете "больше" он выиграл следующий мяч; "игра" принимающего - если при счете "меньше" подающий проиграл следующий мяч.

По завершении первого гейма начинается розыгрыш второго гейма, при котором подача переходит к противной стороне, и т. д. до завершения сета (партии). Сет считается завершенным, если один из противников выиграл не менее шести геймов и получил перевес над другой стороной не менее, чем на два гейма. Следовательно, сет заканчивается, как только счет становится равным одному из следующих: 6:0, 6:1, 6:2, 6:3, 6:4, 7:5, 8:6 и т. п. По окончании сета разыгрывается второй сет и т. д., пока одна из сторон не выиграет встречи - двух (из трех) или трех (из пяти) сетов в зависимости от условий соревнований. При выигрыше одной из сторон подряд двух (трех) сетов ей присуждается победа и остальные сеты не играются.

Построим математическую модель игры в теннис. Рассмотрим игру сначала в рамках 1 гейма между теннисистами 1 и 2, с вероятностью выигрыша мяча P(1)=0,6 и P(2)=0,4 и рассчитаем вероятности счета.

После розыгрыша 1-ого мяча: P(15:0) = P(1) = 0,6,  P(0:15) = P(2) =0,4.

После розыгрыша 2-ого мяча:

P(15:15) =  ,

P(30:0)= P(15:0)P(1)=0,60,6=0,62=0,36,

P(0:30)= P(0:15)P(2)=0,40,4=0,42 = 0,16.

После розыгрыша 3-ого мяча:

P(40:0) = P(30:0)P(1) = 0,620,6 = 0,63 = 0,216

P(30:15) = P(30:0) P(2)+P(15:15)P(1)=0,620,4+0,620,42=0,620,43 = 0,432

P(15:30)= P(0:30) P(1)+P(15:15)P(2) = 0,60,42+0,60,422 = 0,60,423 =0,288

P(0:40)= P(0:30) P(2) = 0,43 = 0,064.

После розыгрыша 4-ого мяча:

P(40:15)= P(40:0) P(2)+P(30:15)P(1) =0,630,4+0,630,43 =0,630,44 =0,3456

P(15:40)= P(0:40)P(1)+P(15:30)P(2) = 0,60,43+0,60,433=0,60,434 = 0,1536

P(30:30) = P(30:15)P(2)+P(15:30)P(1) = 0,620,423+0,620,423 = 0,3456

Р(60:0)

После розыгрыша 5 мячей вероятности счета: 

P(игра1) =

P(больше) =

P(ровно) =

P(меньше) =

P(игра 2) =

Таким образом, у нас получается граф с вероятностями, указанными внутри прямоугольников:

Далее игра может продолжаться на «больше-меньше».

Поэтому для определения вероятности выигрыша гейма игроками 1 и 2, составим таблицу:

В таблице на пересечении i-й строки и j-ого столбца указана вероятность перехода из состояния i в состояние j. Так, например, на пересечении 3 строки и 2 столбца P = 0,6 – означает вероятность перехода из состояния “Ровно” в состояние “Больше”.

Перепишем таблицу в виде матрицы М:

и назовем ее матрицей перехода. Вероятности состояний после розыгрыша 5 мячей примем в качестве вектора - вектора начального распределения вероятностей состояний счета, где подсчитаны ранее. Это 0,33; 0,15; 0,33; 0,1; 0,09

Из состояния «Игра 1» в состояние «ровно» переход осуществляется с вероятностью 0, т.к. гейм завершен, из состояния «больше» с вероятностью 0,4, из «ровно» с вероятностью 0, из «меньше» с вероятностью 0,6, из «Игра 2» с вероятностью 0. По формуле полной вероятности найдем, что после 1 шага игры на больше, меньше имеем:

0,12

Итак, получили вектор распределения вероятностей счета  

       ,  после розыгрыша первого мяча в игре на больше, меньше.

После розыгрыша второго мяча вычислим вектор распределения вероятностей:

.    - вектор второго состояния, т.е., после розыгрыша второго мяча.

Проводя аналогичные рассуждения дальше, можно прийти к выводу: т.к.

, то при n розыгрышей вектор распределения вероятностей состояний счета будет равен: = Нас интересуют вероятности Это вероятности выигрыша гейма первым и вторым теннисистами. Определяя последовательно эти вероятности после каждого мяча, можно заметить по полученным данным, что приращение этих значений стремится к нулю. Поэтому, можно говорить о существовании предельных значений этих величин. При  предельные вероятности выигрыша гейма игроками 1 и 2 равны соответственно 0,736 и 0,264.

Перейдем к вопросу о выигрыше сета. Выпишем возможные изменения счета в виде графа

На данной схеме видно, что после розыгрыша 12 геймов возникает процесс случайного блуждания. Он определен требованием иметь для победы в сете преимущество не менее, чем на 2 гейма. Граф случайного блуждания будет иметь вид:

Используя тот же подход, что и при расчете выигрыша гейма, найдем вероятности выигрыша сета:

.

Вероятность выигрыша сета первым игроком близка к 1. Это объясняется тем, что вероятность выигрыша мяча у первого игрока в 1,5 раза больше, чем у второго. Поэтому понятно, что матч из пяти сетов играть нецелесообразно. Если класс игроков почти одинаков, например, вероятности выигрыша мяча равны 0,51 и 0,49 соответственно, то при розыгрыше сета преимущество сильной стороны оказывается не очень убедительным. Поэтому целесообразен пятисетовый матч, где вероятности выигрыша 1 и 2 игроков будут соответственно равны 0,625 и 0,375.

Можно понять, что сложившаяся традиция, согласно которой на крупнейших теннисных соревнованиях с участием лучших игроков мира финальные и полуфинальные матчи проводятся из 5 сетов, оправдана не только экспериментально, но и имеет определенные теоретические основания.

Выводы

Собрав и изучив информацию о правилах и истории игры «Теннис», а также рассмотрев подходы теории вероятности к вопросу о расчете вероятности выигрыша в игре «Теннис»:

1. Мы рассчитали вероятности выигрыша теннисистов в гейме, сете, игре, а также выяснили, когда целесообразно играть матч из 3-х сетов, а когда из пяти.
2. Теоретическая значимость данного исследования заключается для нас в том, что предложенные решения для расчета вероятности выигрыша полностью обоснованы.

В своей работе мы выдвинули гипотезу: «Целесообразно ли играть матч из 5 сетов». После расчета вероятностей выигрыша стало понятно, что пятисетовый матч целесообразен при встрече примерно одинаковых по силе игроков. Когда же вероятности выигрыша мяча игроками различаются значительно, то достаточно играть трехсетовый матч.

Библиографический список

1. Учебник по теории вероятности онлайн. Глава 1, , режим доступа: https://www.matburo.ru/tv_book.php
2. Учебник «Алгебра и начала математического анализа» для 10 класса. Профильный уровень. Авторы : А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, Мнемозина 2010. Раздел «Комбинаторика и вероятность»
3. Правила игры в теннис [электронный ресурс], режим доступа: sports-academy/summer…tennis/tennis…
4. Садовский Л.Е., Садовский А.Л. Математика и спорт / Библиотечка «Квант» вып. 54 – М.: Наука, 1995. – 193 с.