Презентации
презентация к уроку по математике (6 класс)

Слайд 1

Слайд 4

История комбинаторики. Способы решения комбинаторных задач.

Слайд 5

Цель работы Изучение методов комбинаторики и их применение при решении занимательных задач, головоломок и математических фокусов.

Слайд 6

Задачи Ознакомиться с теоретическим материалом по данной проблеме. Отработать полученные теоретические знания при решении задач. Изучить наиболее интересные и увлекательные фокусы и занимательные задачи, основанные на методах комбинаторики

Слайд 7

История комбинаторики освещает развитие комбинаторики. Начав с анализа головоломок и азартных игр, комбинаторика оказалась исключительно полезной для решения практических задач почти во всех разделах математики. Кроме того комбинаторные методы оказались полезными в статистике, генетике, лингвистике и многих других науках.

Слайд 8

Комбинаторные задачи возникали и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. (Например, задача о расстановке восьми ферзей на шахматной доске так, чтобы ни один из них не оказался под боем, об обходе всех полей доски шахматным конем и т.д.

Слайд 9

Комбинаторные мотивы можно заметить в символике китайской «Книге Перемен» ( V век до н.э.) Историки отмечают также комбинаторные проблемы в руководствах по игре в Го и других играх. Большой интерес математиков многих стран с древних времен неизменно вызывали магические квадраты- это квадратные таблицы из целых чисел, в которых сумма во всех столбцах, строках и двух главных диагоналях равна одному и тому же числу.

Слайд 10

Термин "комбинаторика" был введён в математический обиход знаменитым Лейбницем. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1.07.1646 - 14.11.1716) - всемирно известный немецкий учёный, занимался философией, математикой, физикой, организовал Берлинскую академию наук и стал её первым президентом.

Слайд 11

В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались выдающиеся математики. Так, Леонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов.

Слайд 12

«ОСОБАЯ ПРИМЕТА» КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ «Особая примета» комбинаторных задач — вопрос, который всегда можно сформулировать так, чтобы он начинался словами: «Сколькими способами...».

Слайд 13

Способы решения комбинаторных задач: Перебор возможных вариантов Дерево возможных вариантов Составление таблиц Правило умножения В пятом классе для решения комбинаторных задач мы используем метод перебора

Слайд 14

Перебор возможных вариантов Задача . В финальном забеге на 100 м участвуют Иванов, Громов и Орлов. Назовите возможные варианты распределения призовых мест. Ответ: Вариант1: 1) Иванов, 2) Громов, 3) Орлов. Вариант2: 1) Иванов, 2) Орлов, 3) Громов. Вариант3: 1) Орлов, 2) Иванов, 3) Громов. Вариант4: 1) Орлов, 2) Громов, 3) Иванов. Вариант5: 1) Громов, 2) Орлов, 3) Иванов. Вариант6: 1) Громов, 2) Иванов, 3) Орлов. Задача 3. В кружок бального танца записались Петя, Коля, Витя, Олег, Таня, Оля, Наташа, Света. Какие танцевальные пары девочки и мальчика могут образоваться? Ответ: 1) Таня - Петя, 2) Таня - Коля, 3) Таня - Витя, 4) Таня - Олег, 5) Оля - Петя, 6) Оля - Коля, 7) Оля - Витя, 8) Оля - Олег, 9) Наташа - Петя, 10) Наташа - Коля, 11) Наташа - Витя, 12) Наташа - Олег, 13) Света - Петя, 14) Света - Коля, 15) Света - Витя, 16) Света - Олег.

Слайд 15

Задача 6. Запишите все возможные варианты расписания пяти уроков на день из предметов: математика, русский язык, история, английский язык, физкультура, причем математика должна быть вторым уроком. Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив М - математика, Р - русский язык, И - история, А - английский язык, Ф - физкультура.

Слайд 16

1 2 3 т и р т р и и т р и р т р т и р и т

Слайд 17

Комбин. Число взятых орехов Итого Остаток тир 1+1=2 2+4=6 3+12=15 23 1 три 1+1=2 2+8=10 3+6=9 21 3 итр 1+2=3 2+2=4 3+12=15 22 2 ирт 1+2=3 2+8=10 3+3=6 19 5 рти 1+4=5 2+2=4 3+6=9 18 6 рит 1+4=5 2+4=6 3+3=6 17 7

Слайд 18

Номер пары Расположение 1 Обе карты в 1 ряду 2 Обе карты во 2 ряду 3 Обе карты в 3 ряду 4 Обе карты в 4 ряду 5 Одна в 1 ряду и одна во 2 ряду 6 Одна в 1 ряду и одна в 3 ряду 7 Одна в 1 ряду и одна в 4 ряду 8 Одна во 2 ряду и одна во 3 ряду 9 Одна во 2 ряду и одна в 3 ряду 10 Одна в 3 ряду и одна в 4 ряду

Слайд 19

Н А У К А У М Е Е Т М Н О Г О Г И Т И К

Слайд 20

Учебные заведения – составление расписаний Азартные игры – подсчет частоты выигрышей Экономика – анализ вариантов купли-продажи акций Сфера питания- составление меню Биология – расшировка кода ДНК Военное дело – расположение подразделений и т.д.

Слайд 21

Выводы: . Изучение комбинаторики представляет огромный интерес для учащихся всех возрастов. 2. Существует множество способов решения комбинаторных задач, каждый из которых применяется для решения определенного типа задач. 3. С помощью методов комбинаторики можно решать и создавать новые занимательные математические задачи и фокусы. 3. Комбинаторика - один из разделов математики, который имеет самое широкое практическое применение во всех отраслях производства и жизни человека .

Слайд 1

Слайд 2

С тремительный рост числа или как не стать жертвой финансовых пирамид

Слайд 3

Проблемный вопрос: Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни? Объект исследования: последовательности: геометрическая прогрессиия Предмет исследования: практическое применение геометрической прогрессии Гипотеза исследования: На уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение. Цель исследования: установить картину возникновения понятия геометрическая прогрессия и выявить примеры ее применения.

Слайд 4

4 Задачи исследования Методы исследования 1 . Изучить наличие задач на геометрическую прогрессиию с практическим содержанием в различных учебных пособиях. Анализ школьных учебников математики. 2 . Выяснить: - когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности -прогрессии; - какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме. Анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета. Установить факты широкого применения геометрической прогрессии во всех сферах жизни, в частности при организации финансовых пирамид. Обобщение найденных фактов в учебниках, энциклопедиях и научной литературе.

Слайд 5

Определение : Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число . Обозначим, например, через ( b n ) - геометрическую прогрессию, тогда по определению b n+1 = b n q , где b n 0, n - натуральное число, q - некоторое число. Число q называют знаменателем геометрической прогрессии . Очевидно, что q ≠ 0 . Например: b 1 =2 , q=3 b(n)= 2; 6; 18; 54; 162…

Слайд 7

Немного истории В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко 2 тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны и индийским учёным.

Слайд 10

Царь древней Индии Шерам пригласил к себе изобретателя шахмат Сета и спросил, какую бы награду хотел бы он получить за изобретение столь мудрой игры. Тогда Сета попросил царя на первую клетку шахматной доски положить 1 зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4, на четвертую – 8 и т.д., т.е. на каждую клетку вдвое больше зерна, чем на предыдущую клетку. Поначалу царь удивился столь “скромному” запросу изобретателя и поспешно повелел выполнить ту просьбу. Однако, как выяснилось, казна царя оказалось слишком “ничтожной” для выполнения этой просьбы. Древняя индийская легенда

Слайд 11

Столько зёрен должен был получить изобретатель шахмат: S 64 =2 64 -1= =18446744073704551615

Слайд 12

Если желаете представить всю огромность этого числового великана ,прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения подобного количества пшеницы. Известно, что кубический метр пшеницы вмещает 15 миллионов зерен. Значит награда шахматного изобретателя должна была бы занять объем примерно 1 200 000 000 000 м 3 . При высоте амбара 4м и ширине 10м, длина его должна была бы составлять 30 000 000 км.

Слайд 13

“Потомство пары мух съест мёртвую лошадь также скоро как лев”. Карл Линней Девятое поколение одной пары мух наполнило бы куб, сторона которого равна 140 км, или же составило бы нить, которой можно опоясать земной шар 40 млрд. раз. мухи…

Слайд 14

“Потомство одного одуванчика за 10 лет может покрыть пространство в 15 раз больше суши земного шара”. К. А. Тимирязев одуванчик…

Слайд 15

Интенсивность размножения бактерий используют… в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.) в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.) в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин) в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод,ликвидации нефтяных пятен)

Слайд 16

Прогрессии в литературе. Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями! Так, вспомним строки из"Евгения Онегина". ... Не мог он ямба от хорея, Как мы не бились отличить... Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...пгн Примеры: Ямб: «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил ...» Прогрессия: 2; 4; 6; 8... Хорей:. «Я пропАл , как звЕрь в загОне » Б. Л. Пастернак Прогрессия: 1; 3 ;5; 7... « бУря мглОю нЕбо крОет » прогрессия 1; 3; 5;7. А.С. Пушкин.

Слайд 17

В каких процессах ещё встречаются такие закономерности? Деление ядер урана происходит с помощью нейронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и т.д. — это геометрическая прогрессия . Денежные вклады под проценты — это пример геометрической последовательности. Геметрическая прогрессия применяется при организации финансовых пирамид

Слайд 18

Финансовая пирамида – инвестиционная структура, в которой основным источником дохода участников являются денежные средства, вкладываемые привлеченными участниками. Первые финансовые пирамиды появились еще в 17-18 веках

Слайд 19

Основной принцип работы финансовой пирамиды заключается в постоянном вовлечении все большего количества вкладчиков, за счет их денег выплачиваются дивиденды тем, кто ранее вложил деньги в подобную структуру. И тут вступает в действие закон геометрической прогрессии. Для того что бы доходность оставалась на одном уровне, требуется экспоненциальный рост количества участников. Например, если на каждом уровне каждый вовлеченный будет привлекать всего по два человека, то уже к 31 уровню закончится все население Земли. Этим и обусловлен неизбежный крах всех финансовых пирамид. Пирамидами же подобные структуры называются из-за того, что львиную долю финансовых вливаний получает небольшая верхушка, включая, как правило, и основателя пирамиды. Близкие к верхушке участники могут даже успеть получить небольшой доход, все остальные неизбежно теряют вложенные средства.

Слайд 20

Структура пирамиды

Слайд 22

В дореволюционные годы были у предприниматели, которые прибегают к довольно оригинальному способу сбывать свой плохой товар. Начинали с того, что печатали рекламу такого содержания: Велосипед за 10 руб.! Вместо 50 руб. – 10 руб. Условия покупки высылаются бесплатно. Много людей соблазнялись заманчивым предложением. За 10 руб. высылался не сам велосипед, а только 4 билета, которые надо было сбыть по 10 руб., собранные 40 руб. надо было отправить фирме, а лишь тогда прибывал велосипед. Покупатель получал право обменять их у фирмы 5 таких же билетов, которые он должен был сбыть по 10 руб. и отправив фирме 50 руб., получить свой велосипед и т.д.. На первый взгляд в этом не было обмана. Обещание рекламного агента исполнялось, велосипед действительно приобретался за 10 руб., да и фирма не оказывалась в убытке,- она получала за свой товар полную стоимость.

Слайд 23

«Лавина» или «Снежный ком», так называли эту затею, вовлекала в убыток тех многочисленных ее участников, которым не удавалось сбыть дальше купленные ими билеты. Выпишем несколько членов этой геометрической прогрессии: 4; 20; 100; 500; 2500; 12500; 62500;… Первый член геометрической прогрессии равен 4, знаменатель равен 5. Найти сумму 6 первых членов этой прогрессии и сравнить с численностью населения нашего района (около 33000 человек, включая младенцев и стариков).

Слайд 24

Дни Кол-во человек 1 1 2 3 3 9 4 27 5 81 6 243 7 729 8 2181 9 6561 Итого: 9841 человек (осталось159 человек) Получат работу: 3324 человека + 53 человека=2240 Не смогут выполнить условие 6508 человек

Слайд 25

Подсчитаем доход фирмы. Оплатили 9998*100=999800 рублей Остались без работы и потеряли деньги 6508*100=650800 рублей Аренда помещения 10000 рублей в месяц Оплата 500 фирм по 500 рублей =250000 рублей Остаток 999800-250000-10000=739800 рублей

Слайд 27

Выводы: Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием мы увидели, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях. Следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями. Установили, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл. Убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими. Нашли много задач на геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Обнаружили, что интенсивное размножение бактерий в геометрической прогрессии широко применяется в пищевой промышленности, в фармакологии, в медицине, в сельском и коммунальном хозяйствах, в банковских расчетах. Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием мы увидели, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях. Следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями .