ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 401

КОЛПИНСКОГО РАЙОНА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

СТАТЬЯ

«Некоторые способы решения квадратных уравнений»

учитель математики

Власов Андрей Алексеевич

Санкт-Петербург

Колпино

2018

Оглавление

Оглавление 1

Введение. 2

Методы решения квадратного уравнения, изучаемые в школьном курсе математики. 3

Способы решения квадратного уравнения, упрощающие вычисления. 4

Выводы. 5

Список использованной литературы.5

Приложения.6

Введение.

В курсе алгебры 8 класса изучаются квадратные уравнения и способы их решения. [2] Квадратные уравнения встречаются например при решении задач по физике [4]. Квадратные уравнения являются обязательной составляющей ОГЭ и ЕГЭ. Поэтому изучение различных способов решения квадратных уравнений является актуальным для школьников 8-11 классов.

Проблемой при решении квадратных уравнений является то, что при решении уравнений, имеющих дискриминант, корень из которого неочевиден, например задача  приложения 1, либо вычисления слишком трудоемки.  Воспользовавшись приемами извлечения квадратного корня, изложенными в работе  [3], можно решить такое уравнение. Однако существуют некоторые преобразования, позволяющие избежать появления дискриминанта с неочевидным корнем и относительно сложных вычислений. В данной работе будут рассмотрены такие преобразования.

Цель: 

Повторить пройденные и изучить новые методы решения квадратного уравнения.

Задачи:

1. Ознакомиться с литературой по изучаемому вопросу.
2. Описать методы решения квадратного уравнения и дать их математическое обоснование.
3. Предложить методы для практического применения при решении школьных задач.

Методы решения квадратного уравнения, изучаемые в школьном курсе математики.

Анализ учебной литературы показал, что в учебнике «Алгебра. 8 класс.» авторы Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. [1] в качестве основного метода решения квадратного уравнения предлагается метод выделения полного квадрата. Следующим предлагаемым методом решения является формула для уравнения с четным вторым коэффициентом. Данный метод удобен в случае приведенного квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом. Также изучается теорема Виета. Дополнительно для изучения предлагаются графические методы.

Способы решения квадратного уравнения, упрощающие вычисления.

Как решить уравнение 23x2-57x+34=0, не прибегая к громоздким вычислениям? Можно заметить, что 23-57+34=0. Это означает, что один из корней 1, а второй  .  Сформулируем правило: если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 a+c+b=0, то x1= 1 , x2=    . Для приведенного уравнения: если 1+p+q=0, то x1=1 , x2=q

Аналогично формулируется и второе правило: если a+c=b, то x1= - 1 , x2= -   Для приведенного уравнения: если 1+q=q, то x1= - 1 , x2= - q

Для приведенных уравнений справедливы и следующие правила: если q<0 и p=±1, то |x1|-| x2|=1   (например,  для уравнения x2-x-42=0, x1= -6, x2= 7) Если q<0 и p=±2, то модули корней отличаются на два (например для уравнения x2-2x-15=0 x1= -3, x2= 5)

Считается, что приведенное квадратное уравнение имеет более «правильный» вид. Однако, приведя не первый, а второй коэффициент к единице, получаем вычисления, производимые устно, например:

x2-49x-2940=0

 x2-x-60=0

D=1+4∙60=1+==

x1====84

x2====-35

Для сравнения приводим решение с коэффициентами без преобразования:

D=492- 4∙ (-2940) = 2401 + 11760 = 14161

x1=  =  = 84

x2=  =  =  - 35

Применим данный способ к решению уравнения, образовавшегося при решении задачи 99597 приложения:

7x2-235x+1500=0

x2-x+=0

D=1- 4∙ = 1 -4∙  ∙   =  == ( )2

x1=  = = 25

x2=  = =

Выводы.

В работе предложены  способы решения квадратного уравнения, упрощающие вычисления, а именно: правило нахождения корней, один из которых равен 1 или -1,  приведение к единице второго коэффициента квадратного уравнения. Дальнейшие вычисления дискриминанта и корней следует производить, используя обыкновенные дроби. Решения без предварительной подготовки уравнений требуют вычислений, приводящих к повышенной утомляемости и затратам времени, что становится критичным в условиях экзамена.

Список использованной литературы.

Приложения.

Задача №22 вариант 1701.

Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал
с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути
со скоростью 70 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 21 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.

Решение приводит к квадратному уравнению:

x2-49x-2940=0,

имеющее дискриминант 14161.

Задание 11 № 99597

Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого – третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.