Олимпиадные задания 11 класс
олимпиадные задания по алгебре (11 класс) на тему

Математика. 11 класс

1 вариант

Работа рассчитана на 240 минут.

Максимальная оценка за каждую задачу – 20 баллов.

Все решения должны быть полными и обоснованными.

1) На поляне в лесу собралось  бельчат. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец, либо хитрец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, хитрецы говорят правду, если предыдущий бельчонок лгал, и лгут, если предыдущий бельчонок говорил правду (хитрец никогда не говорит первым). Каждый бельчонок заявил другим бельчатам: «Среди вас есть хотя бы по одному рыцарю, лжецу и хитрецу». Сколько рыцарей могло быть на поляне?

2) В клетках таблицы  расставлены положительные числа. В каждой строке эти числа образуют арифметическую прогрессию, а в каждом столбце квадраты этих чисел образуют  арифметическую прогрессию. Докажите, что произведение числа в левом верхнем углу и числа в правом нижнем углу равно произведению чисел в двух других углах.  

3) Найдите все натуральные числа , для каждого из которых существуют такие натуральные числа  и , что .

4) Дан прямоугольный треугольник . На продолжении гипотенузы  выбрана точка  так, что прямая  – касательная к описанной окружности  треугольника . Прямая  пересекает описанную окружность треугольника  в точке . Оказалось, что биссектриса угла  касается окружности . В каком отношении точка  делит отрезок ?

5) Найдите все функции  такие, что для всех действительных  и  выполняется равенство .

Математика. 11 класс

2 вариант

Работа рассчитана на 240 минут.

Максимальная оценка за каждую задачу – 20 баллов.

Все решения должны быть полными и обоснованными.

1) На поляне в лесу собралось  бельчат. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Один из бельчат сказал: «Среди всех бельчат на поляне, кроме меня, нечётное число лжецов». После чего убежал в лес, и бельчат на поляне осталось . Еще один из бельчат сказал ту же самую фразу, после чего тоже убежал в лес, и их осталось . И так далее, они по одному говорили эту фразу и убегали в лес. Сейчас на поляне осталось  бельчат. Сколько лжецов могло быть среди бельчат на поляне изначально?  

2) В клетках таблицы  расставлены положительные числа. В каждой строке эти числа образуют арифметическую прогрессию, а в каждом столбце квадраты этих чисел образуют  арифметическую прогрессию. Докажите, что произведение числа в левом верхнем углу и числа в правом нижнем углу равно произведению чисел в двух других углах.

3) Найдите все натуральные числа , для каждого из которых существуют такие натуральные числа  и , что .

4) На продолжении стороны  треугольника  взята точка  так что прямая  – касательная к описанной окружности  треугольника . Прямая  пересекает описанную окружность треугольника  в точке , причем . Оказалось, что биссектриса угла  касается окружности . Найдите углы треугольника .

5) Найдите все функции  такие, что для всех действительных  и  выполняется равенство .