Олимпиадные задания 10 класс
олимпиадные задания по алгебре (10 класс) на тему

Математика. 10 класс

1 вариант

Работа рассчитана на 240 минут.

Максимальная оценка за каждую задачу – 20 баллов.

Все решения должны быть полными и обоснованными.

1) Бельчонок задумал натуральное двузначное число , и сосчитал сумму натуральных чисел от  до . Он получил число, заканчивающееся цифрой . Потом он сосчитал сумму натуральных чисел от  до  и в результате тоже получил число, заканчивающееся цифрой . Какое наименьшее число   могло быть задумано?

2) Найдите все действительные решения системы

3) Выпуклый -угольник имеет периметр . Докажите, что найдутся три вершины, образующие треугольник с площадью меньше .

4) В плоскости даны треугольник  и прямая . С помощью циркуля и линейки разделите треугольник на  равновеликих частей прямыми, параллельными прямой  в случаях а) прямая  параллельна основанию  треугольника; б) прямая  не параллельна ни одной из сторон треугольника.

5) Найдите минимальное значение выражения 

при условии, что и  = 1.

Математика. 10 класс

2 вариант

Работа рассчитана на 240 минут.

Максимальная оценка за каждую задачу – 20 баллов.

Все решения должны быть полными и обоснованными.

1) Бельчонок задумал натуральное двузначное число , и сосчитал сумму натуральных чисел от  до . Он получил число, заканчивающееся цифрой 0. Потом он сосчитал сумму натуральных чисел от  до  и в результате тоже получил число, заканчивающееся цифрой . Какое наименьшее число  могло быть задумано?

2) Найдите все действительные решения системы

3) Выпуклый -угольник имеет периметр . Докажите, что найдутся три вершины, образующие треугольник с площадью меньше 1.

4) В плоскости даны треугольник  и прямая . С помощью циркуля и линейки разделите треугольник на  равновеликих частей прямыми, параллельными прямой  в случаях а) прямая  параллельна основанию  треугольника; б) прямая  не параллельна ни одной из сторон треугольника.

5) Найдите минимальное значение выражения 

при условии, что и  = 1.