Подготовка к ЕГЭ. Вероятность
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Рассмотрим события.  Пусть

А — кофе закончится в первом автомате.

В — кофе закончится во втором автомате.

Обратите внимание, что события А и В не являются несовместными (независимыми). Если бы они были несовместными, то вероятность того, что кофе закончился в обоих автоматах была бы равна 0,03∙0,03 = 0,09. Тогда

А∙В  ―  кофе закончится в обоих автоматах,

А+В  ―  кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию   Р(А) = Р (В) = 0,3    Р(А∙В) = 0,12.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

Р(А + В) = Р(А) + Р (В) – Р(А∙В) = 0,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48.

Все варианты событий, которые могут быть:

НЕ  ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ  ―   НЕ ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ

ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ         ―   НЕ ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ

НЕ  ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ  ―   ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ

ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ         ―   ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ

Выражению – «кофе закончится хотя бы в одном» соответствуют три события из представленных. Значит, событие «кофе останется в обоих автоматах» противоположно событию «кофе закончится хотя бы в одном».  И его вероятность  равна   1 – 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52

500999. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 2 рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.

Двухрублевые монеты могут лежать в одном кармане в случаях, когда:

А) Петя переложил в другой карман 3 из 4 рублевых монет (а двухрублевые не перекладывал, то есть они остались в исходном кармане);

В) Петя переложил в другой карман обе двухрублевые монеты и одну рублевую одним из трех способов: 1-2-2; 2-1-2; 2-2-1.

Эти события несовместные. Искомая  вероятность будет равна сумме вероятностей этих событий.

Итак, всего монет 6:

Вероятность того, что Петя переложил в другой карман 3 из 4 рублевых монет (то есть Петя взял рублёвую монету, затем снова рублёвую, и затем снова ещё одну рублёвую) равна

Вероятность того, что Петя взял рублевую монету, затем двухрублевую, и затем еще одну двухрублевую (в указанном порядке) равна

Вероятность того, что Петя взял двухрублевую монету, затем рублёвую, и затем снова двух рублевую (в указанном порядке) равна

Вероятность того, что Петя взял двухрублевую монету, затем ещё одну двухрублевую, и затем рублёвую (в указанном порядке) равна

*Значения не имеет: Петя перекладывал по одной монете или брал их разом.

Таким образом, искомая вероятность равна:

Ответ: 0,4

В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе.

Всё предельно просто! Представим, что Аня попадает на любое место в любую группу. Какие варианты есть для Нины?

Всего для неё всевозможных исходов 20 — остаётся 20 мест. Благоприятных исходов 2 — два места в одной группе с Аней. Значит вероятность, того что они окажутся в одной групее будет равна 2/20 или 0,1.

Можно рассудить и следующим образом, результат получится тот же.

Рассмотрим некоторую группу (любую из семи).

Вероятность того, что Аня окажется в ней, равна 1 к 7 или 1/7. Если Аня уже находится в этой группе, то с ней в группе Нина может оказаться на одном из двух мест (то есть 2 это число благоприятных исходов для Нины).

Вместе с Аней в группе может оказаться любой из 20 одноклассников (это число всевозможных исходов). То есть вероятность того, что Нина окажется в этой же группе, равна 2 к 20 или 2/20.

Данные события (Аня и Нина попадут в одну группу) независимы.

Вероятность того, что независимые события произойдут одновременно равна произведению вероятностей этих событий. Таким образом, вероятность того, что подруги окажутся в одной конкретной группе, равна:

Но, как сказано, всего групп семь. А значит, оговоренная комбинация возможна семь раз — Аня изначально может оказаться в одной, второй, третьей группе и так далее …

Поэтому полученный результат умножаем на семь:

Ответ: 0,1

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий:

А — батарейка действительно неисправна и забракована справедливо

или

В — батарейка исправна, но по ошибке забракована.

Это несовместные события. Значит, нам необходимо найти сумму вероятностей этих событий.

Вероятности указанных событий будут равны:

Таким образом

Ответ: 0,0296

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, то он промахивается с вероятностью  1 – 0,8 = 0,2.

*Промах и попадание это  события, которые при одном выстреле не могут произойти одновременно, сумма вероятностей этих событий равна 1.

Если речь идёт о совершении нескольких (независимых) событий при условии, что произойдёт одно событие из них и при этом другое (последующие) событие в одно время, то вероятности перемножаются.

Это правило называется – правилом умножения:

Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Таким образом, вероятность события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна:

0,8∙0,8∙0,8∙0,2∙0,2 = 0, 02048

Округляем до сотых, получаем 0,02

Ответ: 0,02.

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата.

Эти события независимые, значит вероятность будет равна произведению вероятностей этих событий: 0,05∙0,05=0,0025.

Значит вероятность того, что исправны оба автомата или какой-то из них будет равна 1– 0,0025 = 0,9975. 

*Исправны оба и какой-то один полностью – отвечает условию  «хотя бы один».

Можно вычислить вероятности всех (независимых) событий для проверки:

«неисправен-неисправен»    0,05∙0,05 = 0,0025

«исправен-неисправен»       0,95∙0,05 = 0,0475

«неисправен-исправен»       0,05∙0,95 = 0,0475

«исправен-исправен»          0,95∙0,95 = 0,9025

Чтобы определить вероятность того, что исправен хотя бы один автомат, необходимо сложить вероятности независимых событий 2,3 и 4:

0,0475 + 0,0475 + 0,9025 = 0,9975

Ответ: 0,9975