Творческие самостоятельные работы при изучении темы "Квадратные уравнения"
статья по алгебре (8 класс) на тему

Творческие самостоятельные работы при изучении темы

«Квадратные уравнения».

Носкова Н.М.,учитель высшей категории.

В толковом словаре великорусского языка Владимира Даля можно прочитать: «Творить что, давать бытие, сотворять, созидать, создавать. Творить умом, созидать научно или художественно». Соответственно и творческая познавательная деятельность учащихся есть самостоятельный поиск и создание или конструирование какого-то нового продукта (в индивидуальном опыте ученика – нового, неизвестного для него научного знания или метода, но известного, как правило, в общественном опыте). А одним из средств организации такой деятельности являются творческие самостоятельные работы.

Важным элементом математического воспитания следует признать воспитание творческой активности учащихся. Творческая деятельность учащихся не ограничивается приобретением нового, она включает и создание нового. Работа будет творческой, если в ней проявляется собственный замысел учащихся, ставятся новые задачи и самостоятельно решаются при помощи вновь добываемых знаний. Учащиеся усваивают новые знания, если им понятна цель овладения ими, связь нового для них материала с уже известным. Тогда проявляется стремление сформулировать новое положение, самостоятельно найти способы его доказательства, его применение к решению задач. Помочь учащимся в этом можно различными путями. И один из них – правильно организованная самостоятельная работа.

Можно выделить 4 уровня самостоятельности:

воспроизводящая самостоятельность;

вариативная самостоятельность;

частично поисковая самостоятельность;

творческая самостоятельность.

Очевидно, что речь пойдёт о 4 уровне – творческой самостоятельности, когда школьник, зная некоторые факты, включается в поисковую деятельность, то есть, опираясь на известные многочисленные факты, делает выводы, приобретая таким образом новые знания, умения применять их в усложнённой ситуации.

Рассмотрим, как можно применить творческую самостоятельную работу при изучении темы «Квадратные уравнения».

Традиционно обучение теме «Квадратные уравнения» сводится к решению квадратных уравнений по формулам корней, а также с помощью теоремы Виета и обратной ей теоремы. Но существуют и другие способы решения квадратных уравнений, которые в большинстве случаев остаются учащимся неизвестными. Они основаны на знании свойств квадратных уравнений, устанавливающих зависимость между их коэффициентами и свободным членом и корнями. Использование этих свойств позволяет находить корни квадратных уравнений с любыми коэффициентами, не обращаясь к формулам корней.

Рассмотренные ниже проблемные задания направлены как на выявление и формулирование этих свойств, так и на их применение.

Задание 1. Установите общий вид квадратных уравнений, исследовав взаимоотношения между коэффициентами и свободным членом в каждом из уравнений, а затем сделайте вывод о том, каковы их корни:

x2+2х+1=0,                                 х2−2х+1=0,

2х2+5х+2=0,                               2х2−5х+2=0,

3х2+10х+3=0,                             3х2−10х+3=0,

4х2+17х+4=0,                             4х2−17х+4=0,

5х2+26х+5=0,                             5х2−26х+5=0.

Задание 2 . Известно, что корнями уравнений 26х2−677х+26=0,   −49х2−2402х−49=0,    31х2−962х+31=0,   300х2−90001х+300=0,   −87х2−7570х−87=0 являются положительные взаимно обратные числа, а корни уравнений 26х2+677х+26=0,

−49х2+2402х−49=0,   31х2+962х+31=0,   300х2+90001х+300=0,   −87х2+7570х−87=0 им противоположны. Найдите корни всех уравнений и установите их связь с коэффициента-

ми и свободным членом.

Задание 3. Известно, что при умножении суммы корней квадратного уравнения

−37х2+1370х−37=0 на их произведение получено число  . Найдите эти корни.

Задание 4. Дано квадратное уравнение   42х2+bx+c=0,     один из корней которого равен старшему коэффициенту и свободному члену, взятому с противоположным знаком. Найдите второй корень, неизвестный коэффициент и свободный член. Выразите их через старший коэффициент.

Задание 5. Известно, что в квадратном уравнении один из коэффициентов равен свободному члену и их значение совпадает со значением одного из корней  х1=122. Другой коэффициент равен квадрату этого числа, увеличенному на единицу. Запишите квадратное уравнение и найдите второй корень.

Задание 6. Известно, что в квадратном уравнении оба коэффициента и свободный член имеют одинаковые знаки, причем один из его коэффициентов равен свободному члену и их значение совпадает с абсолютным значением одного из корней  х1=−35. Другой коэффициент равен квадрату этого числа, увеличенному на единицу. Запишите квадратное уравнение и найдите второй корень.

Задание 7. Заполните пропуски в таблице 1 и сделайте выводы.

Таблица 1.

Выполняя задания  1-7, учащиеся должны установить правило:

Если в квадратном уравнении  ax2 (а2+1)х+а=0  второй коэффициент отрицательный, то корнями уравнения являются числа , . Если второй коэффициент положительный, то корнями уравнения являются числа  −, −.

Задание 8. В квадратном уравнении второй коэффициент является суммой квадратов чисел 4 и 5. Один из корней равен отношению этих чисел, взятому с противопо-

ложным знаком, а второй корень является обратным ему числом. Выразите старший коэффициент и свободный член через эти числа.

Задание 9. Корни квадратного уравнения представляют собой несократимые дроби, числители и знаменатели которых являются делителями числа 56. Сумма корней равна числу −. Найдите эти корни и запишите соответствующее квадратное уравнение. Выразите его коэффициенты и свободный член через значения числителей и знаменателей дробей, являющихся корнями уравнения.

Задание 10. Даны два числа − и . Определите, корнями каких из приведен-ных уравнений они являются, и найдите для них недостающие корни:

851х2+1898х+851=0,   −851х2−1898х+851=0,  851х2−1898х−851=0,

851х2−840х−851=0,   851х2+840х−851=0,  851х2−840х+851=0

Установите связь между корнями уравнений и их коэффициентами и свободным членом.

Задание 11. Даны уравнения (таблица 2).

Таблица 2.

Исследуйте взаимосвязь между коэффициентами и свободным членом квадратных уравнений в каждом столбце. Установите общий вид квадратных уравнений. Допишите в каждом столбце по 5 уравнений соответствующего вида и решите их. Сделайте вывод.

Решая задачи 8-11, учащиеся выявляют новое свойство квадратных уравнений:

Если в квадратном уравнении  2 +b +c = 0,  а0,     а = с =  m∙n,   b = m2+n2,  m,nR , то     х1 = −,   x2 = −.

Если в квадратном уравнении  2 +b +c = 0, а0,     а = − с =  m∙n,   b = m2 − n2,  m,nR , то     х1 = ,   x2 = −.

Задание 12. Даны квадратные уравнения:

101х2+10202х+101=0,                   

Исследовав значения коэффициентов и свободных членов квадратных уравнений, разделите их на группы. Для каждой группы установите общий вид. Сделайте вывод о корнях уравнений и их связи с коэффициентами и свободным членом.

Выполнение последнего задания позволяет учащимся установить четыре свойства квадратных уравнений, использование которых даёт возможность быстро находить корни уравнений, не обращаясь к формулам корней:

1. Если в квадратном уравнении , ,  , то

2.   Если в квадратном уравнении , ,  , то

3. Если в квадратном уравнении  ax2 (а2+1)х+а=0  второй коэффициент отрицательный, то корнями уравнения являются числа , . Если второй коэффициент положительный, то корнями уравнения являются числа  −, −.

4. Если в квадратном уравнении  2 +b +c = 0,  а0,     а = с =  m∙n,   b = m2+n2,  m,nR , то     х1 = −,   x2 = −.

Если в квадратном уравнении  2 +b +c = 0, а0,     а = − с =  m∙n,   b = m2 − n2,  m,nR , то     х1 = ,   x2 = −.

Организация уроков алгебры посредством использования творческих самостоя-

тельных работ способствует развитию активности и самостоятельности учащихся, так как центральным звеном всей учебной деятельности является поисково-познавательная деятельность.

В заключение хочется привести слова Николая Гавриловича Чернышевского:

«Если наши дети хотят быть людьми, в самом деле образованными, они должны приобретать образование самостоятельными занятиями».