Урок по математике "Понятие первообразной"
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Тема:   Понятие первообразной

Цель:

1. Сформировать у учащихся знание по теме «Первообразная»;
2. Развивать логическое мышление при изучении темы;
3. Воспитывать интерес учащихся к истории развития математики, умение донести знание до сверстников,  прививать умение публичных выступлений.

Тип урока:        Урок усвоения новых знаний

Оборудование: портреты великих  математиков.  Таблица первообразных, производных, карточки

К уроку группы учащихся готовят сообщения в виде защиты проектов по теме «Математические открытия, которые привели к значительным изменениям в науке, технике и общественной жизни»

Текст проекта – приложение №1  

1. Урок начинается с повторения определения производной функции, ее физического и геометрического смысла, основных формул  дифференцирования. Повторение будет более успешным, если использовать демонстрационные таблицы по указанным вопросам.

Задача 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону s(t) = t3 + 2t2 – 5t. Найти функцию, выражающую закон изменения скорости движения υ(t).

Решение. Функция скорости υ(t) является производной от заданной функции перемещения s(t):

υ(t) = s'(t), υ(t)= 3t2 + 4t-5.

ответ: υ(t)=3t2+4t-5.

Задача 2. Скорость прямолинейно движущейся точки изменяется по закону υ(t)= 3t2+4t-5.

Найти  функцию s(t), выражающую зависимость перемещения точки от времени.

Решение. Так как  υ(t) = s'(t), то из условия следует, что  s'(t) =3t2+4t-5. Значит, по заданной производной s'(t) требуется восстановить функцию s(t).

Определение первообразной

Искомая функция s(t) называется первообразной для данной функции υ(t), если
s' (t) = υ(t) для всех t.

Любая первообразная для  функции f(x) на промежутке J может быть записана в виде
F (x) + C, где F (x) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке J, а С – произвольная постоянная.

II. Закрепление:  Читая формулы производных «справа на лево» найдите какую-либо первообразную F(х) для заданной функции.

1) f (х) = 4х3,   х ϵ (-∞; ∞)

2) f (х) = х2 ,    х ϵ (-∞; ∞)

3) f (х) = 7  ,                 х ϵ (-∞; ∞)

4) f(х) = cosx ,              х ϵ (-∞; ∞)

5) f (x) = 5 + sinx,        х ϵ (-∞; ∞)

6) f (x) = х ϵ (-; )

Вопросы: Как проверить, что полученные функции F(х) являются первообразными для соответствующих функций f (х) единственные ли эти решения?

Приведите примеры этих решений.

Вывод 1.    Основное свойство первообразной (правило).

Вывод 2. Любые две первообразные одной функции отличаются на константу т.е.
F(х) = F(х) +С,  С – константа

Вычисление первообразных

1. Таблица первообразных.

2)   Работа с таблицей.

Закрепление:

1. Найти общий вид первообразных для функции

1) f (х) = 2 – x4

2) f (х)= х+cosx

3) f (х)= x6

4) f (х)= -3

5) f (х) =

2.  Для функции f найдите первообразную F, график которой проходит через данную т.М, если

1) f (х) = 2cosx ; М (-;1)

2) f (х) = 1-х2    М (-3;9)

III. Итог урока

Проведение фронтального опроса по основным записям на доске.

IV. Домашняя индивидуальная работа (10 вариантов) (приложение 2).

ПРИЛОЖЕНИЕ №1

Интеграл – интегрирование – интеграция …

Однокоренные слова, к тому же вышедшие за пределы математики и ставшие почти   «обиходными». В газетах читаем об интеграции наук,  интеграции культур, интеграции экономики, в политике ведут речь об интеграционных процессах.

Любопытно, что идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей дифференциального исчисления, еще на заре развития математики. Греческие математики Евдокс (IV в. до н.э.), а затем Архимед (III. до н.э.) для решения задач на вычисление площадей и объемов придумали разбивать фигуру на бесконечно большое число  бесконечно уменьшающихся частей и искомую площадь (или объем) вычислять как сумму площадей  (объемов) полученных элементарных кусочков.

Однако реализация этой идеи была чрезвычайно сложна, так как она появилась за 19 веков до построения тории пределов, метода координат и даже просто буквенного исчисления.

ПРИЛОЖЕНИЕ №2.

Карточка №1

Найдите все первообразные  F (x) для функции 1-3.

1. f (х) = 3-2х3 +   на (0; +∞).

2. f (х) = sin 2x -1 на (-∞; +∞).

3. f (х) = (2-5х)6 на (-∞; +∞).

4. Для функции f (х) =  найдите ту первообразную, график которой проходит через точку М (; 3)

Карточка №2

Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.

1. F(x) = 1+2х4 -  на (0; +).

2. f (х) = cos 3x +1 на (-; +).

3. f (х) = (1-4х)5 на (-; +).

4. Для функции f (х) =   найдите ту первообразную, график которой проходит через точку М (;2)

Карточка №3

Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.

1. f (х) = 2+ -3х4 на (0; +.

2. f (х) = 3sin (x+) на (-; +).

3. f (х) =  на (-; +).

4. Для функции f (х) =  найдите ту первообразную, график которой проходит через точку М (;3)

Карточка №4

Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.

1. f (х) = 4-5х2+ на (0; +.

2. f (х) = 2cos () на (-; +).

3. f (х) =  на (; +

4. Для функции f (х) =  найдите ту первообразную, график которой проходит через точку М (;1).

Карточка №5

Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.

1. f (х) = 2 +  – 2х3 + х на (0; +).

2. f (х) =  5 sin x + 2 на (-; +).

3. f (х) =   (5-9х)8 на (-; +).

4. Для функции f (х) = 2 cos (x-) найдите ту первообразную, график которой проходит через точку М (;2).

Карточка №6

Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.

1. f (х) = 1 -  + 2х2 + х на (0; +).

2. f (х) = 2 sin x – 1 на (-; +).

3. f (х) = (4+8х)9 на (-; +).

4. Для функции f (х) = 2 sin (x + ) найдите ту первообразную, график которой проходит через точку М (;4)

Карточка №7

Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.

1. f (х) = 3 +  + 4x2 – 5 на (0; +).

2. f (х) = 2 sin () на (-; +).

3. f (х) = (3-4х)7 на (-; +).

4. Для функции f (х) = 4 cos (2x + ) найдите ту первообразную, график которой проходит через точку М (;4)

Карточка №8

Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.

1. f (х) = 2 -  + 4 на (0; +).

2. f (х) = 3 cos (2х + ) на (-; +).

3. f (х) = (2-5х)7 на (-; +).

4. Для функции f (х) = 3sin (2x - ) найдите ту первообразную, график которой проходит через точку М (;3).

Карточка №9

Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.

1. f (х) =  + 3x2 -5x + 1  на (0; +).

2. f (х) = 2 sin 4х + 3 на (-; +).

3. f (х) = (2-6х)7 на (-; +).

4. Для функции f (х) = 3 *   найдите ту первообразную, график которой проходит через точку М (;1).

Карточка №10

Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.

1. f (х) =  – 3x3 + 5x – 1  на (0; +).

2. f (х) = 3 cos 4х -2 на (-; +).

3. f (х) = (1-5x)6 на (-; +).

4. Для функции f (х) = 2 *   найдите ту первообразную, график которой проходит через точку М (;5).