Решение комбинаторных задач
план-конспект урока по алгебре (5 класс) на тему

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний;
Цели урока: 

• обобщить, систематизировать и закрепить знания учащихся по отдельным темам комбинаторики;
• тренировать способности практического использования формул при решении комбинаторных задач;
• развивать внимание, исследовательские умения, речь.

Цели урока

Образовательные:

– организовать деятельность учащихся по ознакомлению с основными понятиями и основными формулами комбинаторики, правилом перемножения возможностей. Продемонстрировать комбинаторные методы на конкретных примерах.

Развивающие:

– содействовать развитию у учащихся “комбинаторного” мышления и видов деятельности, связанных с перебором вариантов, подсчетом числа вариантов, удовлетворяющих определенным условиям.

Воспитательные:

– формирование гуманных отношений на уроке, самостоятельности и активности, настойчивости, умения преодолевать трудности, максимальной работоспособности.

Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям можно составить.

Исторические сведения.

Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, возникла в XVII веке. Долгое время комбинаторика лежала вне основного русла развития математики. Положение дел резко изменилось после появления быстродействующих вычислительных машин. В настоящее время комбинаторные методы применяются в теории случайных процессов, статистике, математическом программировании, вычислительной математике и др.

С задачами, которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись ещё в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов - во время битвы, инструментов - во время работы. Комбинаторные навыки оказались полезными в часы досуга. Со временем появились различные игры: нарды, шашки, шахматы, карты. В каждой из этих игр проходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.

Но не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Ещё с давних пор дипломаты. Стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других стран пытались эти шифры разгадать. Позднее стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах.

Задачи, в которых идёт речь о тех или иных комбинациях объектов, называют комбинаторными.

Комбинаторика как наука стала развиваться параллельно с возникновением теории вероятностей, т.к. для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тарталье (ок.1499-1557), Г. Галилею(1564-1642) и французским ученым Б. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе "Об искусстве комбинаторики", опубликованной в 1666 году. Он же впервые ввел термин "комбинаторика". Значительный вклад в развитие комбинаторики внес JI. Эйлер.

В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика добилась новых успехов. Так, с помощью ЭВМ была решена комбинаторная задача, известная под названием "проблема четыpex красок": удалось доказать, что любую карту можно раскрасить в четыре цвета так, что никакие две страницы, имеющие общую границу, не будут окрашены в один и тот же цвет.

1.Сколько существует вариантов последовательного написания пригласительных билетов, если учесть, что Шарик, Кот Матроскин и Дядя Фѐдор живут в одном доме и получат один пригласительный билет, а Сова получила приглашение в устной форме?

2.Первыми пришли Винни-Пух, Пятачок и Сова. Подойдя к двери и увидев кодовый замок, они поняли, что забыли код. Подумав, Пятачок вспомнил, что код - трѐхзначное число, а мудрая Сова знала, что оно состоит из трѐх цифр 1, 2, 3. Сколько всевозможных вариантов им придѐтся перебрать, чтобы попасть в гости?

Решение:

Первая цифра может быть выбрана из любых трех цифр (1,2,3)

Для каждой второй цифры существует выбор тоже из трѐх цифр (1, 2, 3).

Для каждой третьей цифры опять выбор из трѐх цифр, так как в задании не оговорено, что цифры повторяться не должны.

Значит, 3×3×3=27.

Ответ: 27

3. А если бы трехзначный шифр состоял из цифр 1, 2, 3, но без их повторений.

 Сколькими способами замок мог быть закодирован в этом случае?

Решение:

По правилу произведения получаем:3×2×1=6

Ответ: 6 способами.

4. Подождав некоторое время остальных гостей Ослик предложил Сове

позвонить друзьям, но из семизначного телефонного номера он помнил

только первые три цифры 295. Сколько всего вариантов телефонных

номеров можно составить, чтобы помочь Ослику дозвониться до своих

друзей?

Решение:

На четвѐртом месте может стоять любая из 10 цифр: 0,1,2…9.

На пятом, шестом, седьмом местах также могут стоять любые из 10-ти цифр.

Значит, различных вариантов будет 10×10×10×10=10000

Ответ:10000 вариантов.

5. Друзья ответили, что Трактор Митя сломался и пока они приехать не могут. Приносят свои извинения и предлагают не ждать их, а садиться за стол. Сколькими способами Ослик ИА может разместить за столом трёх гостей?

Решение:

По правилу произведения получаем:3×2×1=6(способов).

Ответ: 6 способами Ослик ИА может разместить за столом 3 гостей.

6.Ослик, ожидая гостей, приготовил на обед борщ, вермишелевый суп,

три вторых блюда и пять напитков. Сколькими способами гости могут

выбрать себе обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?

Решение:

Первое блюдо может быть выбрано двумя способами.

Второе блюдо -тремя способами.

Третье блюдо -пятью способами.

По правилу произведения получаем:2×3×5=30(способов)

Ответ: 30 способов.

7. Перед тем, как подарить подарки (Пятачок принес лопнувший шарик, Винни-Пух пустой горшочек, Сова-хвост), гости решили поменять их между собой. Сколько существует возможных вариантов обмена подарками, если каждый приглашенный не должен остаться со своим подарком?

Решение:

Введѐм обозначение: Винни –Пух –В, Сова –С, Пятачок –П.

Обмен может произойти следующим образом:

В-С-П-В

В-П-С-В

С-П-В-С

С-В-П-С

П-В-С-П

П-С-В-П

Так как последние два варианта являются повторением третьего и четвѐртого, то

6-2=4(варианта).

Ответ: 4 варианта.

8. Подоспели новые гости. Заходят в дом и начинают обмениваться рукопожатиями. Сколько всего произойдёт рукопожатий?

Решение:

Каждый из присутствующих в доме здоровается с четырьмя гостями.

Поэтому:4×4=16 (рукопожатий)

Ответ: 16 рукопожатий.

9.Сколько способов размещения друзей за столом возможны сейчас,

 когда в доме присутствуют 7 гостей и Ослик?

Решение:

По правилу произведения получаем:8×7×6×5×4×3×2×1==40320 (способов)

Ответ: 40320 способов размещения 8 друзейза столом существует.

10.Вкусно покушав, весёлая компания стала играть в игру с Разноцветными треугольниками. Имеется 4 треугольника -синий, жёлтый, зелёный, красный. Сколько можно составить ёлочек из предложенных треугольников, не повторяя цвета, используя для составления каждой ёлочки все 4 треугольника?

Решение:

Воспользуемся правилом произведения:

4×3×2×1=24 (способа)

Ответ: 24 различных ѐлочки можно составить.

11.После танцев гости решили оставить на память Ослику поздравительное

послание, состоящее из одного предложения, в котором присутствуют

 слова: «Поздравляем мы тебя!» Сколько различных способов написания этого предложения существует?Сможет ли каждый из гостей составить своё предложение?

Решение:

По правилу произведения получаем:

3×2×1=6 (способов)

Ответ: существует 6 различных способов написания данного предложения.

Каждый из гостей не сможет записать своѐ, отличное от других предложение.

12. Мудрая Сова предложила написать ещѐ одно предложение: «Тебя мы очень любим!» Сколько в этом случае вариантов данного предложения существует?

Решение

По правилу произведения:

4×3×2×1=24(варианта)

Ответ: предложение, состоящее из 4 слов, можно составить 24 способами.

13. Уже стемнело, а гостям не хочется расходиться по домам. Ослик предложил поиграть в шахматы. Сколько партий будет сыграно если предположить, что каждый из гостей будет играть друг с другом?

Решение:

Каждый игрок должен сыграть по 7 партий.

Рассмотрим случаи, когда игроки не повторяются.

Первый должен сыграть 7 партий (со 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8),

второй-6 партий (с 3, 4, 5,6, 7, 8),

третий –5 партий (с 4, 5, 6, 7, 8),

четвѐртый –4 партии (с 5, 6, 7,8),

пятый –3 партии (с 6, 7, 8),

шестой –2 партии (с 7, 8),

седьмой –1 партия (с 8).

Отсюда, количество партий:

7+6+5+4+3+2+1=28.

Ответ: 28 партий.

14. Всех гостей Ослик ИА решил развести по домам сам.

Сколько возможных вариантов развоза гостей домой существует, если учесть, что Кот Матроскин, Шарик и Дядя Фѐдор живут в одном доме?

Решение:

5×4×3×2×1=120 (вариантов)

Ответ: 120 возможных вариантов

развоза гостей существует.