как решать задачи на вероятность
методическая разработка по алгебре (7 класс) на тему

Задачи на вероятность:
как их решать?

Как решать задачи на вероятность?

Если вас интересует вопрос заголовка, вы наверняка студент или школьник, столкнувшийся с новым для себя предметом. Задачи теории вероятностей сейчас решают и школьники пятых классов продвинутых школ, и старшеклассники перед ЕГЭ, и студенты буквально всех специальностей - от географов до математиков. Что же это за предмет такой, и как к нему подойти?

Вероятность. Что это?

Теория вероятностей, как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов. Мы не знаем, какую карту вытянем из колоды наугад или сколько дней в мае будет идти дождь, но, имея некоторую дополнительную информацию, можем строить прогнозы и вычислять вероятности этих случайных событий.

Таким образом, мы сталкиваемся с основным понятием случайного события - явления, поведение которого невозможно предсказать, опыта, результат которого заранее невозможно вычислить и т.п. Именно вероятности событий вычисляются в типовых задачах. Вероятность - это некоторая, строго говоря, функция, принимающая значения от 0 до 1 и характеризующая данное случайное событие. 0 - событие практически невозможно, 1 - событие практически достоверно, 0,5 (или "50 на 50") - с равной вероятностью событие произойдет или нет.

Алгоритм решения типовых задач на нахождение вероятности

Подробнее с основами теории вероятностей можно ознакомиться, например, в онлайн учебнике. А теперь не будем ходить вокруг да около, и сформулируем примерную схему, по которой следует решать стандартные учебные задачи на вычисление вероятности случайного события, а затем ниже на примерах проиллюстрируем ее применение.

• Внимательно прочитать задачу и понять, что именно происходит (что из какого ящика вытаскивается, что где лежало, сколько приборов работает и т.п.)
• Найти основной вопрос задачи вроде "вычислить вероятность того, что ..." и вот это многоточие записать в виде события, вероятность которого надо найти.
• Событие записано. Теперь надо понять, к какой "схеме" теории вероятностей относится задача, чтобы правильно выбрать формулы для решения. Ответьте на тестовые вопросы типа:

• происходит одно испытание (например, выбрасывание двух костей) или несколько (например, проверка 10 приборов);
• если испытаний несколько, зависимы ли результаты одного от других (зависимость или независимость событий);
• событие происходит в единственной ситуации или задача говорит о нескольких возможных гипотезах (например, шар вынимается из любого ящика из трех, или из конкретного).

Чем больше опыт решения задач, тем легче будет определить, какие формулы подходят.

• Выбрана формула (или несколько) для решения. Записываем все данные задачи и подставляем в данную формулу.
• Вуаля, вероятность найдена.

Готовые решения задач по любым разделам теории вероятностей, более 10000 примеров! Найди свою задачу:

Как решать задачи: классическая вероятность

Пример 1. В группе из 30 студентов на контрольной работе 6 студентов получили «5», 10 студентов – «4», 9 студентов – «3», остальные – «2». Найти вероятность того, что 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2».

Начинаем решение по пунктам, описанным выше.

• В задаче речь идет о выборе 3 студентов из группы, которые удовлетворяют определенным условиям.
• Вводим основное событие XX = (Все 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2»).
• Так как в задаче происходит только одно испытание и оно связано с отбором/выбором по определенному условию, речь идет о классическом определении вероятности. Запишем формулу: P=m/nP=m/n, где mm – число исходов, благоприятствующих осуществлению события XX, а nn – число всех равновозможных элементарных исходов.
• Теперь необходимо найти значения mm и nn для этой задачи. Сначала найдем число всех возможных исходов - число способов выбрать 3 студентов из 30. Так как порядок выбора не имеет значения, это число сочетаний из 30 по 3:

n=C330=30!3!27!=28⋅29⋅301⋅2⋅3=4060.n=C303=30!3!27!=28⋅29⋅301⋅2⋅3=4060.

Найдем число способов вызвать только студентов, получивших "2". Всего таких студентов

было 30−6−10−9=530−6−10−9=5 человек, поэтому

m=C35=5!3!2!=4⋅51⋅2=10.m=C53=5!3!2!=4⋅51⋅2=10.

• Получаем вероятность:

P(X)=mn=104060=0,002.P(X)=mn=104060=0,002.

Задача решена.

Еще примеры: Решенные задачи на классическое определение вероятности.

Как решать задачи: формула Бернулли

Пример 2.Какова вероятность того, что при 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз?

Снова по схеме решения задач на вероятность рассматриваем данную задачу:

• В задаче идет речь о серии одинаковых испытаний - бросаний монеты.
• Вводим основное событие XX = (При 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз).
• Так как в задаче происходит несколько испытаний, и вероятность появления события (герба) одинакова в каждом испытании, речь идет о схеме Бернулли. Запишем формулу Бернулли, которая описывает вероятность того, что из nn бросков монет герб выпадет ровно kk раз:

Pn(k)=Ckn⋅pk⋅(1−p)n−k.Pn(k)=Cnk⋅pk⋅(1−p)n−k.

• Записываем данные из условия задачи: n=8,p=0,5n=8,p=0,5 (вероятность выпадения герба в
• каждом броске равна 0,5) и k=5k=5
• Подставляем и получаем вероятность:

P(X)=P8(5)=C58⋅0,55⋅(1−0,5)8−5=8!5!3!⋅0,58=6⋅7⋅81⋅2⋅3⋅0,58=0,219.P(X)=P8(5)=C85⋅0,55⋅(1−0,5)8−5=8!5!3!⋅0,58=6⋅7⋅81⋅2⋅3⋅0,58=0,219.

Задача решена.