дистанционный урок по теме "Вычисление площади криволинейной трапеции"
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Слайд 1

Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла.

Слайд 2

Площади фигур, расположенных над осью Ох Пусть на отрезке функция f(x) принимает неотрицательные значения, т.е. для любого . Тогда график функции y=f(x) расположен над осью Ох. Если фигура, расположенная над осью Ох, является криволинейной трапецией( рис 1), то ее площадь вычисляется по известной формуле или где у находится из уравнения корней.

Слайд 3

a b y x y=f(x) Площадь криволинейной трапеции. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная осью ОХ, прямыми х=а и х= b и кривой y=f(x) . (рис.1)

Слайд 4

Дано: = 9 x, x= 16 , x= 25 и y= 0 Решение: Для любого функция принимает положительные значения; поэтому для вычисления площади данной криволинейной трапеции следует воспользоваться формулой: (кв.ед) Вычислим площади фигур, ограниченных заданными линиями:

Слайд 5

Фигура, ограниченная различными кривыми . Найдем точку пересечения кривых y=f(x) и y=g(x) . Для этого решим систему уравнений: Пусть x=c , тогда a 0 c b y=f(x) y=g(x) x y Если рассматриваемая фигура не является криволинейной трапецией, то искомую площадь нужно представить как сумму нескольких криволинейных трапеций.

Слайд 6

x y 0 y=f(x) y=g(x) a b Найдем точку пересечения кривых y=f(x) и y=g(x) . Для этого решим систему уравнений: Полученные значения переменной x являются пределами интегрирования . Площадь этой фигуры находим как разность площадей криволинейных трапеций , ограниченными кривыми y=f(x) и y=g(x) .

Слайд 7

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x- 2 y +4=0, y+x- 5=0 и y =0 Решение: 1. Выполним построение фигуры. Построим прямую х -2 у +4=0; У =0, х =-47, А (-4, 0); х =0, у =2, В (0, 2). Построим прямую х + у -5=0; у =0, х =5, С (5,0); х =0, у =5, D (0,5) . 2. Найдем точку пересечения прямых, для чего решим систему Отсюда х =2, у =3, т.е. М (2;3). Для вычисления искомой площади разобьем треугольник AMC на два треугольника АМ N и NMC , так как при изменении х от N до С – прямой х+у -5=0.

Слайд 8

3. Для треугольника AMN имеем х-2у+4=0; , ; а=-4; b =2. Для треугольника NMC получим х+у-5=0; у=-х+5; f(x) =-х+5; а=2; b =5. 4. Вычислим площадь каждого из этих треугольников: (кв.ед.). (кв.ед.). Следовательно, (кв.ед.). Проверка: (кв.ед.).

Слайд 9

Решение: Найдем абсциссы точек пересечения параболы и прямой . Для этого решим систему , откуда Найдем площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми и Получим: (кв.ед.) Найдем площадь фигуры, ограниченной прямыми (кв.ед.) Площадь искомой фигуры есть (кв.ед)

Слайд 10

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми Решение: Как видно из рисунка, площадь фигуры ОВАМАО можно представить как разность площадей фигур ОВМРО и ОАМРО , где МР – перпендикуляр, опущенный из точки М на ось Ох . Найдем координаты точки М . Решив систему уравнений получим х= 4, у= 4, т.е. М (4,4). Следовательно, (кв.ед.)

Слайд 11

Данную задачу можно решить и другим способом. Представим искомую площадь в виде разностей площадей фигур ОАМ NO и OBMNO ( MN – перпендикуляр, опущенный из точки М на ось Оу ), т.е. Тогда: (кв.ед.)

Слайд 12

Площади фигур, расположенных полностью или частично под осью Ох Пусть на отрезке [ a,b ] задана неположительная непрерывная функция y=f(x) , т.е. для любого . Тогда график функции y=f(x) расположен под осью Ох . Если фигура, расположенная под осью Ох, является криволинейной трапецией, например, то ее площадь вычисляется по формуле или где у находится из уравнения кривой. y x 0 y=f(x)

Слайд 13

у =-2 х , у =0 и х =3 Решение: На отрезке [ 0,3 ] функция f(x)=-2x отрицательна; поэтому для вычисления площади искомой фигуры воспользуемся приведенной выше формулой: (кв.ед)

Слайд 14

Решение: Парабола пересекает ось абсцисс в точках х =0 и х =4. Фигура, площадь которой требуется найти, отмечена голубым цветом. Пусть и - площади частей этой фигуры, соответствующих отрезкам [ 0,4 ] и [ 4,5 ] а S – искомая площадь; тогда . Используя первую из рассмотренных формул, получим: (кв.ед.), а по второй формуле находим (кв.ед.)

Слайд 15

a b 0 y=f(x) x y Симметрично расположенные плоские фигуры Если кривая расположена симметрично относительно оси координат или начала координат, то можно упростить вычисления, определив половину площади и затем удвоив результат.

Слайд 16

Симметрично расположенные плоские фигуры Решение: (кв.ед.)

Слайд 17

Если f(x) на отрезке [ a,b ] меняет знак конечное число раз, то этот отрезок следует разбить на части, на каждой из которых функция знакопостоянна. Интеграл по всему отрезку [ a,b ] разбивают на сумму интегралов по полученным частичным отрезкам. Для вычисления суммы площадей нужно найти сумму абсолютных величин интегралов по указанным выше отрезкам, т.е. где

Слайд 18

Площади фигур, прилегающих к оси Оу Если криволинейная трапеция прилегает к оси ординат и ограниченна непрерывной кривой x=f(y), прямыми y=a, y=b и осью Оу , то ее площадь вычисляется по формуле

Слайд 19

Решение: Данная фигура есть криволинейная трапеция, прилегающая к оси Оу. Пределами интегрирования по у являются значения a=4, b=9 . Запишем данную функцию в виде x=f(y) , т.е. . Теперь искомую площадь найдем по рассмотренной чуть ранее формуле (кв.ед.)