Конспект лекций "Интеграл"
план-конспект занятия по алгебре (11 класс) на тему

Конспект лекций по теме «Интеграл»

ПЛАН

Введение

1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

 Свойства. Формулы интегрирования.

2. Метод подстановки в неопределенный интеграл.
3. Определенный интеграл, его свойства, геометрический смысл.
4. Метод подстановки в определенном интеграле.
5. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.
6. Приближенное вычисление определенного интеграла.

Заключение

Разработка урока «Нахождение неопределенного интеграла»

Список литературы

Введение

Математический анализ как раздел математики возник в результате объединения двух различных и первоначально не связанных направлений математических исследований – дифференциального и интегрального исчислений.

Первоначально интуитивное представление о математическом объекте, который мы сейчас называем определенным интегралом, встречалось в работах ученых Древней Греции. Так, Архимед для вычисления объемов и площадей поверхности тел пользовался разбиением фигур на элементы с последующим суммированием этих элементов, предвосхищая тем самым понятия интегральных сумм.

Аналогичными задачами, развивая метод Архимеда, занимались И.Кеплер, Б.Паскаль, П.Ферма и другие ученые. Ферма также занимался задачами, которые мы сейчас относим к дифференциальному исчислению, - проведением касательных к кривым, нахождением наибольшего и наименьшего значений функций и т.д., причем для решения этих задач он, по существу, пользовался понятием приращения функции. Связь между этими различными классами задач была осознана учеными после исследований И.Ньютона и Г.Лейбница. Лейбницем и были введены используемые в настоящее время обозначения интеграла и дифференциала.

Строгое обоснование большинства понятий математического анализа было дано Коши в середине XIX столетия на основе теории пределов.

Дальнейшее развитие математического анализа привело к выделению таких самостоятельных разделов математики, как теория обыкновенных дифференциальных уравнений, теория дифференциальных уравнений в частных производных, теория интегральных уравнений, теория функций комплексной переменной, теория функций действительной переменной, функционального анализа и т.д.

Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

Свойства. Формулы интегрирования.

Первообразная

Функцию, восстанавливаемую по заданной ее производной или дифференциалу, называют первообразной.

Дифференцируемая функция  называется первообразной для функции на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство .

Из этого определения вытекает, что всякая функция по отношению к своей производной является первообразной.

Так, функция  есть первообразная функции  на интервале , поскольку для всех  имеет место равенство .

Дифференцирование функции – однозначная операция, т.е. если функция имеет производную, то только одну. Это утверждение непосредственно следует из определений предела и производной: если функция имеет предел, то только один. Обратная операция – отыскание первообразной – не однозначна.

Так, функции , где С – любое постоянное действительное число, являются первообразными функции , поскольку все эти функции имеют одну и ту же производную .

Теорема. Если  является первообразной функции на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид  , где С – любое действительное число.

Доказательство: Пусть . Тогда .

Покажем теперь, что все первообразные функции  отличаются лишь постоянным слагаемым.

Пусть Ф(х) – другая первообразная функции  на рассматриваемом промежутке, т.е. .

Тогда  при всех х из рассматриваемого промежутка. Следовательно, , что и требовалось установить.

Таким образом, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое, а выражение  исчерпывает множество всех первообразных заданной функции. Итак, задача нахождения первообразной неоднозначна. Она имеет бесконечное множество решений.

Геометрически выражение  представляет собой семейство кривых, получаемых из любой из них параллельным переносом вдоль оси Оу.

Неопределенный интеграл

Как уже было отмечено, первообразную можно находить не только по данной ее производной, но и по ее дифференциалу. В дальнейшее мы будем этим пользоваться.

Определение. Совокупность всех первообразных  функции на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом   , где - подынтегральная функция,  - подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.

Таким образом, если  - какая-нибудь первообразная функции  на некотором промежутке, то , где С – любое действительное число.

Замечание. Наличие постоянной С делает задачу нахождения функции по ее производной не вполне определенной; отсюда происходит название «Неопределенный интеграл».

Так, пользуясь определением неопределенного интеграла, можно записать: .

Значит, чтобы найти неопределенный интеграл от заданной функции, нужно найти какую-нибудь одну из ее первообразных и прибавить к ней произвольную постоянную С.

Слово «интеграл» происходит от латинского слова integer, что означает «восстановленный». Интегрируя какую-либо функцию, например , мы как бы восстанавливаем функцию , производная которой равна .

Чтобы проверить, правильно ли найден неопределенный интеграл, необходимо продифференцировать полученную функцию, если при этом получается подынтегральное выражение, то интеграл найден верно.

Например, . Сделаем проверку: или . Следовательно, интеграл найден верно.

Основные свойства неопределенного интеграла

Из рассмотренных ранее примеров видно, что можно находить интегралы, подбирая первообразные. Однако это не всегда просто. При интегрировании помогает знание некоторых свойств интеграла, формул интегрирования, а также специальных приемов.

Рассмотрим сначала основные свойства неопределенного интеграла.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

Это свойство непосредственно вытекает из определения неопределенного интеграла, поскольку , а .

Так, .

На этом свойстве основано доказательство следующих свойств.

2. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла, т.е.

,

 где m – постоянная величина, не равная нулю.

Это свойство доказывается дифференцированием обеих частей приведенного равенства. При этом учитывается свойство 1: производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

Действительно,

 .

Например, , где а – постоянная, не равная нулю.

3. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е.

Для доказательства найдем производные обеих частей равенства и покажем, что они равны между собой. Сначала найдем производную левой части:

мы воспользовались свойством 1 неопределенного интеграла.

Теперь найдем производную правой части равенства:

.

Здесь был использован тот факт, что производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме этих функций, а также свойство 1 неопределенного интеграла.

Итак, производные обеих частей равенства равны между собой, что и доказывает свойство 3.

4. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

.

Это свойство следует из определения неопределенного интеграла. Действительно, , а . Свойство 4 означает, что знак дифференциала аннулирует знак интеграла.

Например,  и т.д.

5. Неопределенный интеграл от дифференциала (производной) некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной С, т.е.

 или .

Действительно, . Возьмем интеграл от обеих частей равенства и получим . Но, по определению, , т.е. .

Например, и т.д.

На основании этого свойства выводятся формулы интегрирования.

Формулы интегрирования

Из определения интеграла следует, что для того, чтобы проинтегрировать функцию, нужно найти ее первообразную. Для ряда функций это легко сделать, используя соответствующие формулу интегрирования.

Например, мы знаем, что ; отсюда следует, что .

Итак, формулы интегрирования получаются обращением соответствующих формул дифференцирования. Выпишем в таблицу основные интегралы.

Интегралы, приведенные в этой таблице, называются табличными интегралами.

Для вывода этих формул, как уже отмечалось, используется свойство 5 неопределенного интеграла, а именно дифференцирование правой части равенства. Производная правой части равенства дает подынтегральную функцию, а дифференциал – подынтегральное выражение.

Формула 1 справедлива при любом n, кроме n=-1, так как в этом случае знаменатель обращается в нуль и выражение теряет смысл. Для доказательства найдем производную правой части равенства:

Мы получили подынтегральную функцию; следовательно, формула верна.

Случаю n=-1 соответствует формула 2:

Чтобы найти , заметим, что функция  непрерывна в промежутках  и , причем в каждом из них она имеет первообразную.

В промежутке  этой первообразной, очевидно, является функция , так как , т.е.   при .

В промежутке  первообразной по отношению к  является , т.е.  при . Действительно,  существует при  и .

Итак, оба промежутка непрерывности подынтегральной функции объединяются записью .

Справедливость всех остальных табличных интегралов легко проверить, если продифференцировать их правые части.

Отметим, что формула 3 является частным случаем формулы 4 при .

Вычисление интегралов способом приведения их к табличным с помощью преобразования подынтегрального выражения и применения свойств 2 и 3 неопределенного интеграла называется непосредственным интегрированием. При этом полезно запомнить, что  (формула 1 при ).

1.

2.

=

3.

=

4.

=

Метод подстановки в неопределенный интеграл

Если заданный интеграл с помощью алгебраических преобразований трудно или невозможно свести к одному или нескольким табличным интегралам, то для его отыскания применяют особые способы, одним из которых является способ подстановки (замены переменной).

Заметим, что все способы интегрирования имеют целью свести данный интеграл к табличному с помощью тех или иных искусственных приемов.

Способ подстановки заключается в следующем: заменяют новой переменной такую часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой получается оставшаяся часть подынтегрального выражения (не считая постоянного множителя, на который всегда можно умножить и разделить подынтегральное выражение).

Например, в интеграле  удобно произвести замену , так как оставшаяся часть подынтегрального выражения равна . Тогда перепишем данный интеграл в виде . Полученный интеграл является табличным; он находится по формуле 1: .

Далее, производя обратную замену , получим ответ: .

Решение этого примера можно кратко оформить так:

Напомним, что если при интегрировании одной и той же функции разными способами получили различные результаты, то необходимо показать, что они отличаются на постоянную величину.

Так, рассмотренный выше пример можно решить иначе, если применить формулу .

Тогда получим

Результат по виду отличается от найденного ранее; однако, преобразуя первый результат, имеем .

Отсюда видно, что разность функций равна , т.е. постоянному числу.

Естественно, возникает вопрос: как правильно выбрать подстановку? Это достигается практикой в интегрировании. Все же можно установить ряд общих правил и некоторых приемов для частных случаев интегрирования.

Правило интегрирования способом подстановки состоит в следующем:

1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
4. Производят замену под интегралом.
5. Находят полученный интеграл.
6. В результате производят обратную замену, то есть переходят к старой переменной. Результат полезно проверить дифференцированием.

Определенный интеграл, его свойства, геометрический смысл

Криволинейная трапеция и ее площадь

Пусть на отрезке  дана непрерывная неотрицательная функция (рис.1). Проведем вертикальные прямые до пересечения с графиком функции .

        y

              y=f(x)

a                                                b

     0                                                 x

               рис.1

Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции, , прямыми и отрезком оси .

Как вычислить площадь криволинейной трапеции? Рассмотрим криволинейную трапецию CHKD (рис.2), у которой абсцисса точки С равна х, а абсцисса точки D равна. Пусть график функции  пересекает ось ординат в точке А. Тогда площадь криволинейной трапеции CHKD равна разности площади криволинейной трапеции OAKD и OAHC . Так как площадь криволинейной трапеции OAHC зависит от х, то ее можно обозначить символом S(x). Аналогично, площадь криволинейной трапеции OAKD есть функция от  и ее можно обозначить символом S(). Поэтому площадь криволинейной трапеции CHKD равна разности S() и S(x) и может быть обозначена символом .

Построим два прямоугольника CHED и CMKD. Площадь первого из них равна , а площадь второго равна . Поскольку площадь криволинейной трапеции CHKD не меньше площади прямоугольника CHED и не больше площади прямоугольника CMKD, можно записать неравенство.

Разделив обе части этого неравенства на  и найдем пределы всех выражений при . Но есть производная функции S(x), а в силу непрерывности функции  имеем . Следовательно, .

Итак, производная площади криволинейной трапеции равна функции, задающей верхнюю границу трапеции.

Поэтому площадь криволинейной трапеции есть одна из первообразных функции, задающей верхнюю границу трапеции, и может быть вычислена с помощью интегрирования:

   y               M                         K

                  H                               E

       A      f(x)                               f()

                        x                    

       O          C                            D    x

                      рис.2

Пусть . Площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рис.3, есть функция от х. Обозначим ее через S(x). Очевидно, что S(a)=0, так как при х=а заштрихованная фигура превращается в отрезок, а S(b)=S есть площадь рассматриваемой криволинейной трапеции.

Замечание. Когда говорят о непрерывности функции  на промежутке , то под этим понимают непрерывность ее в каждой точке этого промежутка, в том числе в точках a и b, т.е., что при стремлении х к а и  при стремлении х к b.

Используя равенство , где  на промежутке, выведем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции (см.рис.3). Из этого равенства видно, что S(x) есть первообразная для  на промежутке . Пусть – другая первообразная для  на этом же промежутке. В силу основного свойства первообразной имеем .

 y

                       y=f(x)

                     S(x)

 0              a                x       b                         x

                         рис.3

Последнее равенство верно при всех , так как функции S(x)  и  определены в точках a и b. Подставив вместо x число a, получим . Но , поэтому , откуда . Таким образом, .

Подставив в последнее равенство , найдем искомую площадь:

   (1)

Напомним, что приращением аргумента х при его изменении от  до  называется разность, а приращением функции  при изменении аргумента от  до  называется разность .

Найдем приращение любой первообразной функции при изменении аргумента от  до :

Полученный результат означает, что при изменении х от  до  все первообразные для данной функции имеют одно и то же приращение, равное .

Это приращение принято называть определенным интегралом.

Определение. Если – первообразная функция для , то приращение  первообразных функций при изменении аргумента х от  до   называется определенным интегралом и обозначается символом , т.е.

,

где – нижний предел, а  – верхний предел определенного интеграла.

Символ читается так: «определенный интеграл от  до  эф от икс дэ икс».

Функция  предполагается непрерывной в промежутке изменения аргумента х от  до .

Для вычисления определенного интеграла  находят:

1. неопределенный интеграл ;
2. значение интеграла  при , С=0, т.е. вычисляют ;
3. значение интеграла  при, С=0, т.е. вычисляют ;
4. разность .

Процесс вычисления виден из формулы:

          (2)

Равенство (2) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Замечания.

1. Под  в формуле (2) понимают простейшую из первообразных функций, у     которой С=0.

2. Так как приращение  равно некоторому числу, то определенный интеграл есть число (в отличие от неопределенного интеграла, который, как известно, есть совокупность функций).

Все методы интегрирования, используемые при нахождении неопределенных интегралов, применяются и при вычислении определенных интегралов. Числовое значение определенного интеграла зависит от вида функции, стоящей под знаком интеграла, и от значений верхнего и нижнего пределов и не зависит от обозначения переменной.

Если формулу Ньютона-Лейбница сравнить с формулой (1), то, очевидно, что  и есть площадь криволинейной трапеции, определяемой графиком функции  на отрезке.

Таким образом, если функция  положительна, то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции. В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Тогда площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле

                                           (3)

Простейшие свойства определенного интеграла

Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. При этом мы будем предполагать, что функция  непрерывна на отрезке .

1. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

                                                  (1).

Доказательство: Пусть  и, значит, . Тогда ;    (2)

.    (3)

Правые части равенств (2) и (3) равны; следовательно, должны быть равны и левые части, т.е. справедливо соотношение (1).

Это свойство позволяет рассматривать интегралы, в которых верхний предел меньше нижнего.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла, т.е.

                           ,                      (4),

 где m -  постоянная величина.

Доказательство: Пусть и, следовательно,. Тогда  , (5)

. (6)

Из равенства (6) получим , откуда

 .

Но из равенства (5) следует  и значит, справедливо соотношение (4).

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций, т.е.

                                   (7)

Доказательство: Пусть и . Тогда

или .

Аналогично можно доказать справедливость этого свойства для любого конечного числа слагаемых.

4. Если  a, b, c принадлежат интервалу, на котором функция  непрерывна, то

          (8).

Доказательство: Пусть  – первообразная функция для . Тогда

.

Вычисление определенного интеграла

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Подстановка в определенном интеграле

Для вычисления определенного интеграла с помощью подстановки поступают так же, как и при вычислении неопределенного интеграла этим способом. Однако в случае определенного интеграла имеется одна особенность, на которую следует обратить внимание.

Как мы отмечали, метод подстановки заключается в том, что для приведения заданного неопределенного интеграла к табличному выражают аргумент через новую переменную, а затем находят неопределенный интеграл и полученный результат снова выражают через первоначальную перемену. В случае же определенного интеграла нет необходимости возвращаться к первоначальной переменной, однако нужно помнить, что, заменяя переменную под знаком интеграла, следует изменить и пределы интегрирования.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Применение определенного интеграла

к вычислению площадей плоских фигур

Правило вычисления площадей плоских фигур

Как известно, определенный интеграл от непрерывной неотрицательной функции равен площади соответствующей криволинейной трапеции (геометрический смысл определенного интеграла):

.

С помощью определенного интеграла можно также вычислять площади плоских фигур, так как эта задача всегда сводится к вычислению площадей криволинейных трапеций.

Площадь всякой плоской фигуры в прямоугольной системе координат может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилегающих к оси  или к оси .

Задачи на вычисление площадей плоских фигур удобно решать по следующему плану:

1. По условию задачи делают схематический чертеж.
2. Представляют искомую площадь как сумму или разность площадей криволинейных трапеций. Из условия задачи и чертежа определяют пределы интегрирования для каждой составляющей криволинейной трапеции.
3. Записывают каждую функцию в виде .
4. Вычисляют площади каждой криволинейной трапеции и площадь искомой фигуры.

1) Площади фигур, расположенных над осью

Пусть на отрезке  функция  принимает неотрицательные значения, т.е. для любого . Тогда график функции  расположен над осью .

Если фигура, расположенная над осью , является криволинейной трапецией (см.рис.3), то ее площадь вычисляется по известной формуле

 или ,

где у находится из уравнения кривой.

Если рассматриваемая фигура не является криволинейной трапецией, то искомую площадь следует представить как сумму (рис.4) или разность (рис.5) площадей криволинейный трапеций S1 и S2 и находить по общему правилу.

                     y

                                                                   S=S1+S2

                                       S1           S2

1. x        

                                   рис.4

                               y

                                              S1=Sam1b;   S2=Sam2b

                                                                                  m1                          S=S1-S2

                                                                       m2

                               0                a                              b                         x

                                                          рис.5

2) Площади фигур, расположенных полностью или частично над осью

Пусть на отрезке  задана неположительная непрерывная функция , т.е.  для любого . Тогда график функции расположен под осью .

Если фигура, расположенная под осью , является криволинейной трапецией (см.рис.6), то ее площадь вычисляется по известной формуле

 или ,

где у находится из уравнения кривой.

Пусть функция  непрерывна на отрезке  и принимает на этом отрезке как положительные, так и отрицательные значения. Тогда нужно разбить отрезок  на такие части, в каждом из которых функция не изменяет знак, затем по приведенным выше формулам вычислить соответствующие этим частям площади и найденные площади сложить. Например, площадь фигуры, изображенной на рис.7, такова:

                         y

                         0            a                      b                          x

                                               y=f(x)

                                           рис.6

        у

                                                                     S2

                           0       a                     c                   b                                           x

                                           S1

                                                    y=f(x)

                                             рис.7

3) Площади фигур, прилегающих к оси

Если криволинейная трапеция прилегает к оси ординат и ограничена непрерывной кривой , прямыми ,  и осью  (рис.8), то ее площадь вычисляется по формуле

        y

                                   b

                                                                x=f(y)

                                   a

1. x

                        рис.8

4) Симметрично расположенные плоские фигуры

Если кривая расположена симметрично относительно оси координат или начала координат, то можно упростить вычисления, определив половину площади и затем удвоив результат.

                                                  y

                                                            y=f(x)

                                     -a          0            a                                            x

                                                         рис.9

Приближенное вычисление определенного интеграла

Не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. Кроме того, на практике сталкиваются с необходимостью вычислять интегралы от функций, заданных табличным или графическим способами, а также интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно, что требует большой вычислительной работы и с практической точки зрения не рационально. В этих случаях вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница либо невозможно, либо затруднительно, поэтому прибегают к различным методам приближенного интегрирования.

Чтобы найти приближенное значение интеграла , нужно:

1. разделить отрезок интегрирования  на n равных частей точками ;
2. вычислить значения подынтегральной функции y=f(x) в точках деления, т.е. найти ;
3. воспользоваться одной из следующих приближенных формул:

I. формула прямоугольников:

а)

б)

II. формула трапеций:

III. формула парабол (или Симпсона):

,

где n – четное число.

Заключение

Дифференцирование и интегрирование – взаимно обратные действия.

Из школьного курса математики известно, что каждому математическому действию соответствует обратное ему действие. Так, вычитание есть действие, обратное сложению, деление – умножению и т.д.

В предыдущей главе было рассмотрено новое действие – дифференцирование. Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала заданной функции. Для дифференцирования существует  обратное действие – интегрирование: нахождение функции по заданной ее производной или дифференциалу. Мы знаем, например, как по заданному закону движения найти его скорость. Это задача дифференцирования. Обратная задача – нахождение закона движения по заданной скорости – решается интегрированием. Таким образом, если в процессе дифференцирования решается задача об отыскании скорости изменения функции, вызываемого изменением аргумента, то задачей интегрирования является нахождение самой функции по заданной скорости ее изменения.

Определенный интеграл широко применяется не только при вычислении различных геометрических величин (площадь плоских фигур, длина дуги кривой, площади поверхности вращения, объем тела вращения), но и при решении ряда физических и технических задач.

При помощи определенного интеграла можно решать многие задачи механики: вычисление работы, определение координат центра тяжести, нахождение моментов инерции и т.д.

К определенному интегралу приводят также многие задачи электротехники, оптики, сопромата и других наук.

Список литературы:

1. Алгебра и начала анализа. Математика для техникумов. Часть 1.

   Редактор Т.А.Панькова. М., издательство «Наука», 1981г.

2. Математика: учебное пособие для техникумов.

   В.Т.Лисичкин, И.Л.Соловейчик, М., «Высшая школа», 1991г.

3. Практические занятия по математике: учебное пособие для техникумов.

   Н.В.Богомолов, М., «Высшая школа», 1990г.

4.Справочник по математике для средних учебных заведений

             А.Г.Цыпкин, М., «Наука», 1988г.

6.Математика для техникумов

   И.И.Валуцэ, Г.Д.Дилигул, М., «Наука», 1990г.

7.Задачник по высшей математике

   А.Т.Рогов, М., «Высшая школа», 1973г.

8.Математический анализ для школьников

   Л.С.Понтрягин, М., «Наука», 1988г.

9.Сборник задач по математике для техникумов

   О.Н.Афанасьева, Я.С.Бродский, М., «Наука», 1992г.

10.Математика: справочные материалы

    В.А.Гусев, А.Г.Мордкович,  М., «Просвещение», 1990г.

Рецензия

на методическую разработку

по теме «Методика изучения темы «Интеграл и его приложение»

преподавателя Байбосыновой Г.Н.

В данной методической разработке рассмотрена одна из важнейших тем математического анализа.

Методическая разработка включает в себя все основные разделы интегрального исчисления, а именно понятие неопределенного и определенного интегралов, методы вычисления интеграла, применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, приближенное вычисление определенного интеграла.

В приложении разработка урока по теме «Нахождение неопределенного интеграла» с проверочной работой, что поможет продемонстрировать приобретенные учащимися знания и навыки, а также способствует поддержанию устойчивого интереса к изучению предмета математики.

Методическая разработка составлена в соответствии с требованиями к написанию данного вида работы.

Данная методическая разработка может быть рекомендована к использованию на уроках другими преподавателями по данному предмету.

Рецензент                                                С.Е.Ерханова