Подборка разноуровневых тематических заданий для организации самостоятельной работы учащихся по теме "Логарифмы"
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Подборка разноуровневых тематических заданий для организации самостоятельной работы учащихся 11-х классов.

Разноуровневые тематические задания для организации самостоятельной работы учащихся 11 класса по теме «Логарифмы» состоят из заданий трех уровней сложности каждый из которых содержит 2 варианта подобных заданий.
        Самостоятельные работы сформированы следующим образом:

С1. Определение логарифма. Свойства логарифмов.
С2. Решение уравнений.
С3. Решение неравенств.
Тест для проверки обязательных результатов обучения по теме.

Использованная литература:
1. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Учебно- методическое пособие/Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. Ростов-на –Дону. Легион-М. 2010
2. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ:2010: Математика/авт.сост. И.Р. Высоцкий и др. –М: АСТ- Апрель,2010
3. Готовимся к экзамену. Алгебра и начала анализа/ учебно-методическое пособие/Институт развития образования Республики татарстан.Казань.2005
4. Гуськова Л.Н. Задачи с параметрами методическое пособие. Казань. Изд. «Гран Дан» 2001
5. Ивлев Б.М. и др. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса/М: Просвещение.1991
6. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса общеобразовательных школ/ М.И. Шабунин и др. – 2-е изд.- М:Просвещение.2006
7. Алгебра в таблицах 7-11 кл.: справочное пособие / авт.-сост. А.И. Звавич, А.Р. Рязановский. – 10-е изд., стереотип. – М.:Дрофа,2006

С.1. Определение логарифма. Свойства логарифмов.
Справочные сведения.
Определение:  =x, так как bх=а, (а>0, в>0, в≠1).
Основное логарифмическое тождество  =a.
Свойства:
 =0                         =1                        = -1
=m                           =                         =
Основные соотношения:
Логарифм произведения        =

Логарифм частного                  )=
Логарифм степени                  =m
Переход к новому основанию             =/
Дополнительные соотношения:
=                                        /= /=

 =                 = 

 = ∙

1 уровень

1 вариант

1.Вычислить:
а) log1717;        б)log81;     в) log775;      г)     .
2. Сравнить числа    log28 и log216.
3. Упростить выражение:
а) log3121-2log311= log3112- 2log311= …;                    б) log5169+ 2 log513.
4. Найти значение выражения:
а) 98∙;              б)
5. Найти разность   log4104 и log46,5.

2 вариант

1. Вычислить:
а) log1515;       б) log91;     в) log663;    г)
2. Сравнить числа log327 и log39.
3. Упростить выражение
а) log4144-2 log412= log4122- 2 log412= …..;             б) log 627+ 3 log63.
4. Найти значение выражения:
а)  ∙;      б)  – 12.
5.Найти разность log3135 и log35.

2 уровень

1 вариант

1. Найти значение выражения:
а) log20,25;     б) log4;     в)
2. Сравнить  log0,54 и log0,56.
3. Упростить выражение:
а) log3121 + 2 log3;                   б) (3∙lg2 – lg 0,25): (lg14 - lg7).
4. Найти значение выражения        если a=3, b=5.
5. Вычислить: 11- 3∙ log3.

2 вариант

1. Найти значение выражения:
а) log3;    б) log0,60,36;   в)
2. Сравнить log0,27 и log0,23.
3. Упростить выражение:
а) log9100+ 2 log9;            б) ( 3∙log72 – log724): (log73+log727).
4.Найти значение выражения  ∙ , если с=, d= 4.
5. Вычислить: 13 – 3 log2

3 уровень

1 вариант

1.Вычислить:  а) log238;      б)   
2. Вычислить: .
3.Найти значение выражения log0.5  + log23 ,если log2x= - 3.
4. Найти сумму:

 +             
5. Доказать равенство

– = -4.    

2 вариант

1.Вычислить:  а) log3227;   б)
2.Вычислить: .
3.Найти значение выражения
log5(7x4) – log25(49x2), если log 0.2 x=1
4.Найти сумму
 +        
5. Доказать равенство
= 49.        

C2. Решение логарифмических уравнений

Справочные сведения
logax=b при всех допустимых а имеет единственное решение x=ab
loga(f(x))= b равносильно уравнению f(x)=ab
loga(f(x))= g(x) равносильно уравнению f(x)=ag(x)
loga(f(x))= loga(g(x)) равносильно системе

Причем любую из двух последних строк можно (и, как правило, нужно) опустить.

В логарифмических уравнениях, как правило, совершенно не обязательно находить области существования функций, входящих в уравнение. Достаточно проверить, какие из полученных корней уравнения системы удовлетворяют неравенствам в системе.
1 уровень

1 вариант

1. Найдите х:
а) log2x=3;       б) lg x=lg 64 + lg 5 – lg16;           в) lg x =2+ lg 3 –lg 5.
2. Решите уравнение:
а) log2(x+1)=3;    б) log2(x+1)+ log2(x+3)=3.
3. Найдите корни уравнения:  х2=6 -
                                                 2 вариант

1. Найти х
а) log3x=4;  б) lg x= lg 36 +1 – lg 6;  в) lg x= lg25 + lg 4 – lg 100.
2. Решить уравнение:
а)  log3(x+2)=2;    б)log2(1-x) + log2(3-x)=3.
3. Найти корни уравнения: 2 – = x2

2 уровень

1 вариант

1. Решить уравнение:
а) 2- lg(10-x)= 0;  б) ln (x+1) – ln (5-x)=ln2;   в) log0,3(-x2+ 5x + 7)= log0,3(10x-7).
2. Найти сумму корней или корень, если он единственный
log3x + log3 (x-2) = 1.
3. Найти сумму корней уравнения   log0,52 x – 2= log0,5x.
4. Решите уравнение  log4x + log4y=1, если y = 2x+7.

2 вариант

1.Решение уравнение
а) 3- lg (x-5)=0;      б) log0,2(-x2+4x+5)= log0,2(-x-3);  в) ln(x+2)- ln (x-5)=ln 3.
2. Найти сумму корней или корень, если он единственный  log5x + log5(x-4)=1
3. Найти сумму корней уравнения   log62x – 2= log6x.
4. Решите уравнение log3x + log3y = 1, если y= 3x+8.

3 уровень

                                                 1 вариант
1. Решить уравнение log3x + log9x = log98.
2. Какому из данных промежутков (2;4); (5;9); (-1;3); (8,5;9) принадлежит корень уравнения   ln(x+1) – ln (5-x) = ln 2?
3. Найти сумму корней уравнения         9 log3x – x2log3x =0.
4. Если х1 и х2 корни уравнения log2(x2- 0,75x)= -2 докажите, что х1+ х2>х1∙х2.
5. Найдите х: log4 log2()=1.
6*. При каких значениях а выражения (а+1)lg(2a+3) и а+1 принимают одинаковые значения?

                                                          2 вариант

1.Решить уравнение: log2x + log4x = log48.
2.  Какому из данных промежутков (2;4); (5;9); (-1;3); (8,5;9) принадлежит корень уравнения  ln(x+2) – ln (x-5) = ln 3?
3. Найти сумму корней уравнения      x2 log3 (x+2) – 9log3 (x+2) =0.
4. Найти значение выражения 2(х1+ х2 ) если х1  и х2 корни уравнения
log8 (x2 + 15)= 1+ log8x.
5. Найдите х: log9 log3x = .
6*. При каких значениях a выражения (3a +1)lg(1-a) и 3a+1 принимают одинаковые значения?

С.3. Решение логарифмических неравенств.

Справочные сведения.
logax < m    если а>1            
                    если 0 am.

loga x > m     если  а>1                    x>am
                      если  0
loga f(x) < m     если a>1                            
                         если  0< a < 1                     f(x)> am
loga f(x)> m      если a>1                         f(x)>am
                         если  0

loga f(x) < loga g(x) при a>1                  

        при 0< a<1                  
logH(x)f(x) < logH(x)g(x) равносильно объединению систем неравенств:

      и

1 уровень

                                             1 вариант

Решить неравенства:
а) log3x >4;   б) log0,5x >2;   в)log5(3x+1)<2;   г) log0,5(2x-1)0,5x;  
д)log2x+ log2(x-2)<3.

                                             2 вариант

Решить неравенства:

а) log7x> -1;          б)log1/2x> -3;     в)log6(x2-7x)>1;  
г) log1/2(2x-1)> -1;      д) log1/3(x+6) + log1/3x> -3.

2 уровень
                                                         1 вариант

1. Решить неравенство: log2(x-1) + log2x <1.
2. Найти длину промежутка, являющегося решением неравенства
log0,5(x-1)> -1
3. Указать наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству
log7(2x-8) – log76 < 0.
4. Сумма целых решений неравенства log3(2x-5)≥2, принадлежащих отрезку  [-4;9], равна в. Найдите это число.
                                                          2 вариант

1.Решить неравенство log3(x+2) + log3x>1.
2. Найти длину промежутка, являющегося решением неравенства
log0,2(x-9)> -2.
3. Указать наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству
log0,3(2x+6) – log0,34 >0.
4. Найдите сумму целых решений неравенства log3(7x-6)≥2, принадлежащих отрезку [-8;6].

3 уровень.
                                                         1 вариант

1. Решить неравенство log0,5(2x-7)≤ log0,5(10-x) + 1.
2. Найти сумму целых решений неравенства log3(2x-5)≥2, принадлежащих отрезку[-4;9].
3. Найти количество целых решений неравенства log1/3log3 (x-1)>0.
4. Указать сумму целых решений неравенства log7(x+2)<.
5. Указать длину промежутка, являющегося решением неравенства
<0.  
                                                          2 вариант

1. Решить неравенство log4(x-7) ≤ log4(20-x) – 1.
2. Найти сумму целых решений неравенства log3(7x-6)≥2, принадлежащих отрезку [-8;6].
3. Найти количество целых решений неравенства log4(x-2) >0.
4. Указать сумму целых решений неравенства lg(x-3)<.
5. Указать длину промежутка, являющегося решением неравенства
>0.

Тест для проверки обязательных результатов обучения по теме «Логарифмы»

1. Указать уравнение,  корнем которого является логарифм числа 5 по основанию 3.
а)5х=3;  б) х5=3;   в) 3х=5;    г) х3=5.
2. Найти log1/28:
а)3;   б) -3;   в) 4;   г) -4.
3. Вычислить
а)7;  б)8;   в) 12;   г)256.
4. Упростить разность log672- log62:
а) log670;    б)     в) 2;     г) 6.
5. Найти lg a3, если lg a= m:
а)     б) 3+m;    в) 3 m;   г) m3.
6. Выразить log5е через натуральный логарифм:
а) ;    б) ;    в) ;    г) ln5.
7. Решить уравнение log5x= -2.
а) x=-2;    б) x=0,1;    в) x=0,04;     г) нет корней.
8. Решить неравенство log0,3x>1.
а) x>1;   б) x>0,3;    в) x<0,3;     г)0