Галимова Р.А. "Подборка олимпиадных задач на max, min"
олимпиадные задания по алгебре на тему

Подборка олимпиадных задач на максимум и минимум

Автор – составитель: Галимова Регина Алексеевна, учитель математики МБОУ «СОШ №6 г.Лениногорска» МО «ЛМР» РТ

Задача №1. Достаточно ли для изготовления закрытой со всех сторон прямоугольной коробки, вмещающей не менее 1995 единичных кубиков, а) 962; б) 960; в) 958 квадратных единиц материала?

Решение. Достаточно взять коробку размером 11×13×14. Ее объем равен 2002, т. е. достаточен; а общая площадь ее стенок равна

2(11  13 + 11  14 + 13 14) = 958.

Комментарии:10. Как догадаться до такого решения? Известно, что минимальную площадь поверхности при заданном объеме среди всех параллелепипедов имеет куб — это следует из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим. Однако, куб с объемом 1995 будет иметь иррациональные длины сторон. Таким образом, нужно пытаться подобрать коробку, близкую по форме к кубу, но с целыми длинами сторон. "Ближайшие" кубы: 12×12×12 и 13×13×13 (их объемы 1728 и 2197 соответственно). Кажется, что наиболее "экономный" вариант — 12×13×13. К сожалению, этот параллелепипед дает лишь решение пункта а). Продолжая перебор параллелепипедов близких к кубу, можно найти решение задачи.

20. 957 единиц материала не хватит на изготовление коробки.

Задача №2. На плоскости дан выпуклый четырёхугольник. Найти точку, сумма расстояний от которой  до его вершин наименьшая.

Решение совсем просто: искомая точка M является точкой пересечения диагоналей четырёхугольника. В самом деле: по неравенству треугольника, сумма расстояний AM+CM не меньше диагонали AC, а сумма расстояний BM+DM не меньше BD. Поэтому минимум суммы расстояний равен AC+BD и достигается в точке пересечения диагоналей.

Та же задача, но для треугольника, требует более тонких рассуждений. Для формулировки ответа понадобится так называемая точка Торричелли треугольника. А для того чтобы решить эту задачу для произвольного многоугольника, вновь придётся прибегнуть к вариационному методу. При этом ответ может быть подсказан из физических соображений.

Задача №3. На поверхности куба найти точки, из которых диагональ видна под наименьшим углом. Доказать, что из остальных точек поверхности куба диагональ видна под большим углом, чем из найденных.

Решение. Множество точек, из которых диагональ куба видна под углом 900, представляет собой описанную сферу куба (концы диагонали исключены). Пересечение этого множества с поверхностью куба состоит из 6 точек, отличных от концов данной диагонали. Все остальные точки поверхности куба лежат строго внутри описанной сферы, поэтому из них диагональ видна под тупым углом.

Задача №4. В пространстве даны две пересекающиеся плоскости α и β. На линии их пересечения дана точка A. Доказать, что из всех прямых, лежащих в плоскости α и проходящих через точку A, наибольший угол с плоскостью β образует та, которая перпендикулярна к линии пересечения плоскостей α и β.

Решение. Пусть  — прямая, лежащая в плоскости α и проходящая через точку A. Отложим на прямой  отрезок AB длины 1. Пусть B" — проекция точки B на плоскость β, O — проекция точки B на линию пересечения плоскостей α и β. Тогда: sin BAB" = BB":BA= BB"= OBsin BOB" = sin BAOsin BOB". При этом sin BOB" — синус угла между плоскостями α и β; этот угол фиксирован. Поэтому sin BAB" максимален, когда BAO = 900.

Задача №5. Поместить в куб окружность наибольшего возможного радиуса.

Решение. Пусть a — длина ребра куба. Сечение куба плоскостью, проходящей через его центр ортогонально одной из диагоналей, является правильным шестиугольником. Радиус вписанной окружности этого шестиугольника равен , поэтому в куб можно поместить окружность радиуса . Покажем, что окружность большего радиуса в куб поместить нельзя. Прежде всего заметим, что достаточно ограничиться рассмотрением окружностей с центром в центре куба. Действительно, если окружность радиуса R содержится в кубе, то окружность, симметричная ей относительно центра куба, тоже содержится в кубе. Но тогда из выпуклости куба следует, что окружность радиуса R, центр которой совпадает с центром куба, а сама она расположена в плоскости, параллельной плоскости исходной окружности, тоже содержится в кубе. Рассмотрим окружность радиуса R с центром в центре куба и шар того же радиуса и с тем же центром. Нас интересует лишь случай, когда R > a/2 и рассматриваемая окружность лежит внутри куба. В этом случае вне куба находятся шесть шаровых сегментов. Радиусы окружностей, лежащих в их основаниях, равны  , поэтому r возрастает при возрастании R. Рассмотрим конусы, вершины которых находятся в центре куба, а основаниями служат окружности оснований шаровых сегментов. Если плоскость , содержащая рассматриваемую окружность, пересекает один из этих конусов, то часть окружности проходит по шаровому сегменту, а потому частично лежит вне куба. Таким образом, нужно доказать, что если  , то плоскость  пересекает один из конусов. Плоскость  разбивает лучи, выходящие из центра куба и направленные в середины граней, на две тройки (каждая тройка лежит по одну сторону от плоскости ). Рассмотрим плоскость , которая проходит через центр куба перпендикулярно одной из диагоналей и разбивает эти лучи на те же самые две тройки. В плоскости  есть окружность радиуса , целиком лежащая внутри куба. Легко проверить, что плоскость  касается трёх конусов (соответствующих тройке лучей, которые являются осями этих конусов) по трём лучам OX, OY, OZ. Лучи OX, OY, OZ лежат строго внутри конусов, соответствующих окружности радиуса . Значит, эти лучи лежат по одну сторону от плоскости , поскольку оси соответствующих конусов лежат по одну сторону от этой плоскости. Плоскости  и  имеют общую точку (центр куба), поэтому они пересекаются по некоторой прямой. Лучи OX, OY и OZ образуют друг с другом углы в 1200, поэтому никакая прямая не может разделить плоскость  так, чтобы эти лучи лежали в одной полуплоскости. Таким образом, плоскость  пересекает один из конусов, если .

Задача №6. Дана плоскость P и две точки по разные стороны от неё. Построить сферу, проходящую через эти точки, высекающую из P наименьший круг.

Решение. Докажем, что центр искомой сферы находится в точке  M  пересечения отрезка, соединяющего данные точки  A  и  B, и плоскости  P, а радиус искомой сферы равен  . Действительно, рассмотрим произвольную сферу, проходящую через точки  A  и  B. Проведем через точку  M  диаметр  CD  окружности, являющейся пересечением данной сферы с плоскостью  P. По свойству хорд  MCMD=MAMB . Поэтому произведение чисел  MC  и  MD  не зависит от выбора сферы. Минимум суммы двух чисел при фиксированном произведении достигается в случае, когда они равны, то есть  . Из этого вытекает приведенное построение.

Задача №7. Муха летает внутри правильного тетраэдра с ребром a. Какое наименьшее расстояние она должна пролететь, чтобы побывать на каждой грани и вернуться в исходную точку?

Решение. Рассмотрим тетраэдр ABCD.  Пусть муха побывала на каждой из граней тетраэдра и вернулась в исходную точку. Без ограничения общности можно считать, что муха  сначала побывала на грани ABC, потом - на грани BCD, затем - на DAB, и, наконец, на ACD. Обозначим соответствующие точки на гранях, в которых побывала муха, через E, F, G и H. Ясно, что минимальное расстояние, которое муха могла пролететь, равно периметру пространственного четырехугольника EFGH.

1. Проведем через DC плоскость, перпендикулярную AB (плоскость симметрии тетраэдра ABCD) и рассмотрим четырехугольник E1F1G1H1, симметричный EFGH относительно этой плоскости. (Вершины E1 и G1 останутся на тех же гранях, что E и G соответственно, F1 попадет на одну грань с H, а H1 - на одну грань с F.) Периметры четырехугольников EFGH и E1F1G1H1 равны.
2. Лемма. Рассмотрим любой пространственный четырехугольник KLMN . Пусть P и Q - середины сторон KL и MN. Tогда  .

Доказательство. Обозначим через R середину диагонали LN. Имеем . Таким образом, . Лемма доказана.

Обозначим через E2, F2, G2 и H2 середины отрезков EE1, FH1, GG1 и HF1 соответственно. Вершины этого четырехугольника тоже лежат на гранях тетраэдра, и, согласно лемме, периметр четырехугольника E2F2G2H2 не   больше периметра EFGH. Кроме того, вершины E2 и G2 (середины EE1 и GG1) будут лежать в плоскости симметрии тетраэдра, проходящей через CD, т. е. на медианах CT и DT граней ABC и ABD.

Исходя из четырехугольника E2F2G2H2, точно так же построим E3F3G3H3, симметричный ему относительно плоскости симметрии тетраэдра, проходящей через AB, а затем, взяв середины отрезков, соединяющих вершины этих четырехугольников, лежащих в одной грани, получим E4F4G4H4, все вершины которого лежат в объединении двух плоскостей симметрии тетраэдра ABCD, проходящих через CD и AB. Иными словами, вершины E4 и G4 лежат на отрезках CT и DT, а вершины F4 и H4 - на медианах AS и BS граней ACD и BCD. При этом периметр E4F4G4H4 не превосходит периметра EFGH. Значит, периметр EFGH не меньше, чем 4d, где d - расстояние между прямыми CT и BS.

3. Осталось построить путь длины 4d и найти d. Пусть E0 и F0 - основания общего перпендикуляра к прямым CT и BS, причем E0 лежит на CT, а F0 - на BS. Обозначим через G0 точку, симметричную точке E0 относительно плоскости ABS. Из симметрии ясно, что F0G0 - общий перпендикуляр к прямым BS и DT. Аналогично строится точка H0, при этом G0H0 и H0E0 являются общими перпендикулярами соответственно к DT и AS и к AS и CT. Значит, периметр четырехугольника E0F0G0H0 равен 4d. Заметим, что нужно еще проверить, что основания этих общих перпендикуляров лежат на гранях тетраэдра, а не на их продолжениях, это будет сделано ниже (нам еще нужно вычислить d).
4. Проведем через AB плоскость, перпендикулярную CT и спроецируем на нее наш тетраэдр. Получим треугольник ABD", в котором AB = a,  (по формуле для длины высоты правильного тетраэдра).  

Точка S перейдет в S" - середину D"T. Искомое расстояние d равно расстоянию от точки T до прямой BS" (поскольку общий перпендикуляр параллелен плоскости проекции). Кроме того, очевидно, что основание перпендикуляра, опущенного из точки T на прямую BS", лежит на отрезке BS", а не на его продолжении, значит, точка F0 лежит на отрезке BS. Аналогично доказывается, что и остальные вершины четырехугольника лежат на медианах, а не на их продолжениях.

В прямоугольном треугольнике BTS" известны катеты  ,  . Значит,  ; .

Комментарий. Известна аналогичная задача для плоскости: жук ползает внутри треугольника со сторонами a, b, c. Какое наименьшее расстояние он может проползти, чтобы побывать на каждой стороне и вернуться в исходную точку? В случае остроугольного треугольника эта задача называется задачей Фаньяно. Оказывается, что кратчайший путь в случае остроугольного треугольника соединяет основания высот треугольника, а в случае прямо- или тупоугольного треугольника вырождается в двойной отрезок высоты.

Задача №8. Как надо расположить в пространстве прямоугольный параллелепипед, чтобы площадь его проекции на горизонтальную плоскость была наибольшей?

Решение. Проекция прямоугольного параллелепипеда на плоскость представляет собой шестиугольник (быть может, вырождающийся в четырёхугольник). Так как проекция каждой грани параллелепипеда есть параллелограмм, то площадь треугольника ABC (рис. 62) составляет ровно половину площади всей проекции (ибо диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника).

Но треугольник ABC представляет собой проекцию соответствующего треугольника A"B"C", «вписанного» в параллелепипед. Расположение треугольника A"B"C" очевидно, определяет расположение в пространстве всего параллелепипеда. Как известно,

S ABC= SA"B"C" cosα, где A"B"C" — треугольник, проекцией которого является треугольник ABC, и α — угол между плоскостями треугольников ABC и A"B"C". Ясно теперь, что площадь треугольника ABC будет наибольшей (а стало быть, будет максимальной и площадь проекции данного прямоугольного параллелепипеда), когда cosα=1, т. е. α=0, или, иначе говоря, когда точки A", B" и C" лежат в горизонтальной плоскости.

Используемые источники:

1. В.Ю.Протасов. Максимумы и минимумы в геометрии. (Серия: Библиотека ,,Математическое просвещение“).М.: МЦНМО, 2005,
2. Московские математические олимпиады 1993—2005 г./ Р. М. Федоров и др. Под ред. В. М. Тихомирова. —М.: МЦНМО, 2006,
3. Интернет проект «Задачи» - http://www.problems.ru ,
4. Научная библиотека избранных естественно-научных изданий - http://sernam.ru ,
5. Бесплатная электронная библиотека - http://knigi.dissers.ru