Справочные материалы по алгебре для подготовке к ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Формулы сокращённого умножения

( a + b)2 = a2 + 2ab+ b2

( a - b) 2= a2 -  2ab+ b2

a2 – b2 = ( a+ b) ( a- b )

(a  + b )3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3

(a  - b )3 = a3 -3a2b + 3ab2- b3

a3 + b3 = ( a +b) ( a2 -ab +b2)

a3 - b3 = ( a -b) ( a2 +ab +b2)

КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

Уравнение вида ах2 + bx + c =0, где а≠ 0 , b и  c – некоторые числа наз. квадратным уравнением.

 D=b2 -4ac    – дискриминант

1. Если  D > 0 – уравнение имеет два корня

   2. Если  D = 0 - уравнение имеет один  корень

     Х1=Х2 =         

   3. Если  D<   0 - уравнение корней не имеет

.Свойства степеней 

1. an = a a a a a…            5. (am)n = am n    

                      n  paз                    6. (a b )n = an bn

2. a0 = 1                            7.  =

3 .am * an = am+n              8. a—n =

4.am / an = am-n

СВОЙСТВА КОРНЕЙ

Если а0 ,b  0;  n N , n >1, то

1. =

2. = ,  b0 

3. =   ,mN ,  m>1 .

4. m = ,  mN .

5. =,   mN .

6. = am/n           

Таблица квадратов

основные формулы тригонометрии

Sin2 λ +cos2 λ =1 –основное тригонометрическое  

                          тождество

tg λ =;    ctg λ= , tg λ*ctg λ=1

  1+tg2 λ =;         1+ctg2λ =                                                                          

            Формулы двойного аргумента

       sin 2 λ = 2 sin λ cos λ ;     cos 2 λ = cos2 λ – sin2 λ

       t g 2 λ =

формулы сложени

                Cos (λ + β) = cos λ cos β  - sin λ sin β ;
               Cos (λ - β)= cos λ cos β   +  sin λ sin β

                Sin ( λ- β) =  sin λ cos β - cos λ sin β    

                Sin ( λ+ β) = sin λ cos β  + cos λ sin β    

tg (λ+ β ) = ;    tg (λ - β ) =

Значения тригонометрических функций

Знаки тригонометрических функций

Таблица производных

1.   ( с). = 0

2.  ( c u )′ = c ( u )′                                                 

3.  ( x) ′ = 1                                                  

4.  ( хn); ′  =nxn-1        ;      ;                                                           

5.  (u + v) ′=u′ + v′                                                                         

6.  ( u v ) ′= u′ v + u v′                                                                         

7. = v≠ 0                                      

 8 .  ( uа)′= а ua-1 u′.                                                                                                 

9.   ( sin u )′ =cos u u′                                                                       

10.   (cos u) ′=- sin u u′                                                                     

11.  (tg u)′ = u´

12.  (ctg u)′=  - u′

 13   ( ln u)′ =u′                                                                                   

14 .  (loga u)′=u′ 

15.   (au) ′  = au lna u′

16    (eu) ′ = eu u′     (ex )′ = ex

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Путь          x(t)=s(t)

скорость    v(t)=s′(t)=x′(t)

ускорение  a(t)=v′(t)=s′′(t)

ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

1.Наибольшее и наименьшее                                                                

 значения функции на отрезке [a;b].

1) Найти производную

2) Найти критические точки ( производную

приравнять к нулю).

3) На числовой прямой расположить критические

        точки в порядке возрастания.

4) Посчитать значения функции на  концах отрезка [a;b]

     и в критических точках, которые вошли в

    данный отрезок.

 5) Определить наибольшее (наименьшее)

     значения функции на отрезке [a;b].

2.ПРИЗНАК ВОЗРАСТАНИЯ (УБЫВАНИЯ)

    ФУНКЦИИ. 

Если f′х)>0 на промежутке, то f(х) возрастает

 на этом промежутке

Если f′(х)<0 на промежутке, то f(х) убывает

на этом промежутке.

Если f′(х)=0 на промежутке, то f(х)=с(константа)

на этом промежутке.

Критические точки функции находят из условия

f′(х)=0 или  f′(х) не существует на области

определения функции.

3. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИИ.

 Если в точке х 0 производная меняет знак

с (+) на (-), то х0 есть точка максимума

Если в точке х 0 производная меняет знак

С (-) на (+),то х0 есть точка минимума.

Если касательная параллельна прямой, то их  угловые коэффициенты равны k1 = k2 

            ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

 Функция , заданная формулой у = ач  (где a>0 а ), называется показательной функцией с основанием а. и  показатель степени.  х

Решение показательных уравнений

1. Привести к одному основанию основание отбросить. а показатели степени приравнять: ах =ас; а >  0 , а , х=с

  Пример:  7х-2= 49.  7х-2=72, х -2= 2,   х=4

2. Вынесение общего множителя за скобки:  

   Пример 6х+1+35 6х-1=71    ,  6х-1(62+35)=71, 6х-171=71

6х-1=60. Х-1=0, Х=1

3. Введение новой переменной.

  РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Уравнения , в  которых под знаком корня содержится переменная наз. Иррациональным уравнением.

Чтобы решить иррациональное уравнение, надо возвести и левую и правую часть в ту степень, какова степень корня. Возведя   корень в степень, получим подкоренное уравнение.

Пример: Решить уравнение  =2. Возведём обе части уравнения в квадрат и получим  х2 – 5 = 4,

 х2 = 9, х= З или х= -3

Логарифмы и их свойства

аx=b, логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени , в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b, logab =x

Основные свойства логарифмов

(при а>0, a 1, b>0, c>0)

 1.  logа 1 =0 , a0=1

2.  logа a =1  ,  a1=a    

3.  loga xy= loga x +  log аy

4.  loga =  log ax - loga  у

5.   loga xp = p loga x

6.   logak x = loga x

7     logak xp =loga x   ( k≠ 0 )

ln b- натуральный логарифм

lga b- десятичный логарифм, а=10

a loga b = b – основное логарифмическое тождество

Формулы перехода от одного основания к другому

loga b=  ( b≠1):   loga X=     (c ≠ 1)

Решение логарифмических уравнений

Loga f (x) = Loga g(x)  (aравносильно каждой из следующих систем:

f(x)                    g(x)   

f(x)=  g(x)               f(x)=  g(x)

ЗАДАЧИ  НА ДВИЖЕНИЕ

1ДВИЖЕНИЕ НА ВСТРЕЧУ.

Если  расстояние между двумя телами равно S, а их скорости V1 и   V2   , то  t  через которое они встретятся , находятся по формуле     t =       

 2. ДВИЖЕНИЕ ВДОГОНКУ.

Если расстояние между двумя телами равно  S,  они движутся по прямой в одну сторону со скоростями V1 и   V2 соответственно  (  V1 >  V2  ) так, что первое тело догонит второе, находится по формуле  t =  

3. ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ (замкнутой трассе).

Рассмотрим движение двух точек по окружности длины   S в одном направлении при одновремённом старте со скоростями  V1 и   V2       (  V1 >  V2  )  Если две точки одновремённо начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями  V1 и   V2   соответственно   (  V1 >  V2 , соответственно  ) , то первая точка приближается ко второй со скоростью V1 -   V2  и в момент , когда первая точка в первый раз догоняет вторую, она проходит расстояние на один круг больше.   t =    

4. ДВИЖЕНИЕ ПО ВОДЕ. В задачах на движение по воде скорость течения считается неизменной. При движении по течению скорость течения прибавляется к скорости плывущего тела, при движении против течения- вычитается из скорости тела. Скорость плота считается равной скорости течения .

5. СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ.

Средняя скорость вычисляется по формуле  V =   где

S - путь , пройденный телом ,а  t – время, за которое этот путь пройден.  Если путь состоит из нескольких участков. То следует вычислить всю длину пути и всё время движения. Например, если путь состоял из двух участков протяжённостью S1  и  S2, скорости на которых были равны соответственно V 1 и   V2,  то  S =  S1 + S2   ,  t = t1 + t2 

t 1  = ,   t 2 =    

6.ДВИЖЕНИЕ ПРОТЯЖЁННЫХ ТЕЛ.

В задачах на протяженных тел требуется , как правило определить длину одного из них. Наиболее типичная ситуация : определение длины поезда, проезжающего мимо столба или протяжённой платформы. В первом случае поезд проходит мимо столба расстояние, равное длине поезда , во втором случае – расстояние, равное сумме длин поезда и платформы.

ЗАДАЧИ НА ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ

Задачи на работу схожи с задачами на движение: роль скорости здесь играет производительность, роль расстояния- объём работы. В тех случаях , когда объём работы в явном виде не задан , его иногда удобно принять равным единице. Иногда  в задачах на работу выделяют группу задач на трубы и бассейны.

ЗАДАЧИ НА РАБОТУ  

Ключевой в задачах на работу является следующая задача: первый мастер может выполнить некоторую работу  за

 а –часов , а второй мастер -  за  b часов. За какое время выполнят работу оба мастера, работая вдвоём? Поскольку объём работы не задан, его можно принять равным единице. Тогда первый мастер за один час выполнит часть работы, равную  ,  второй   , оба мастера – часть работы , равную     +    . Значит , всю работу они выполнят за время  t =  

ЗАДАЧИ  НА  БАССЕЙНЫ И ТРУБЫ.

Задачи на бассейны и трубы аналогичны задачам на  совместную  работу. Модельная ситуация остаётся той же , только мастерам будут соответствовать насосы разной производительности, а работа будет заключаться в наполнении бассейна или иного резервуара.

ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ И ДОЛИ.

При решении задач на проценты важно чётко понимать , что процент – это сотая часть числа . Поэтому если величину а увеличить на 3, 15 или  27 процентов , то получим соответственно 1,03 а , 1,15 а, 1,27а, Если же величину  а уменьшить на 3, 15 или 27 процентов , то получим соответственно 0,97а , 0.85а , 0,73а.    

Пример . а  дороже b на 25% , на сколько процентов b дешевле а ?

а = 1,25b=, значит , b == 0,8 а, т.е.  b дешевле а на 20%

ЗАДАЧИ НА КОНЦЕНТРАЦИЮ, СМЕСИ, СПЛАВЫ.

Задача. Виноград содержит 91%  влаги ,а изюм-7% . Сколько килограммов винограда требуется для получения 21 килограмма изюма?

Решение. Используем ключевую идею: будем следить за массой « чистого « , т.е. в данном случае « сухого « вещества в винограде и изюме. Пусть для получения 21 килограмма изюма требуется Х кг винограда. Из условия следует , что масса « сухого « вещества в Х кг винограда равна 0,09Х кг. Поскольку эта масса равна массе « сухого « вещества в 21 килограмме изюма, то по условию задачи можно составить уравнение

0,09Х = 0,93 * 21,  откуда 9Х = 93* 21 , т.е. Х = 217 кг.

 Ответ . 217