Задания для подготовки к ЕГЭ математика профильный уровень 10
тест по алгебре (11 класс) на тему
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
zadanie_10_profilnogo_urovnya_s_resheniem.doc | 246 КБ |
Предварительный просмотр:
№1
Решим уравнение .
Преобразуем знаменатели в произведение: .
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) - х(х-2)(х+2).
Получим уравнение:
.
Уравнение равносильно системе:
2х+(х-2)(х-4) –(х+2)=0, 2х +х2-6х +8 –х - 2 =0,
х ≠ 0, х ≠ 0,
х-2 ≠ 0, х ≠ 2,
х+2 ≠ 0. х ≠ -2.
Решим квадратное уравнение:
х2 - 5х +6 = 0,
х1 = 2, х2 = 3.
Так как х ≠ 2, то 2 – посторонний корень.
Ответ: х =3 .
№2
Решим уравнение | х - 5 | + | 2х + 5 | = 3х.
Левая часть уравнения положительна, значит 3х >0, х > 0.
Если х > 0, то 2х +5 >0.
Используя определение модуля, получим уравнение:
| х - 5 | + 2х + 5 = 3х.
1. При х-5 ≥ 0
х - 5 + 2х + 5 = 3х.
После преобразований уравнения получится верное числовое равенство:
0 = 0.
Это означает, что решением уравнения являются все числа, удовлетворяющие условию х-5 ≥ 0, х≥5.
2. При х-5 <0
-х + 5 + 2х + 5 = 3х,
-2х = -10,
х = 5, что не удовлетворяет условию х-5 <0.
Ответ: х ≥ 5
№ 3
Решим уравнение (х2 + 3х – 4 )3 + ( 2х2 -5х + 3 )3 = (3х2 – 2х -1 )3.
Разложим квадратные трёхчлены: х2 + 3х – 4, 2х2 -5х + 3 и 3х2 – 2х -1
на множители, используя формулу ах2 +bx +c = a( x- x1)(x- x2).
х2 + 3х – 4= (х-1)(х+4), 2х2 -5х + 3 = 2(х- )(х-1), 3х2 – 2х -1 = 3(х+)(х-1).
Получим уравнение
(х-1)3(х+4)3 + (2х -3)3(х-1)3 = (3х +1)3(х-1)3,
(х-1)3(х+4)3 + (2х -3)3(х-1)3 − (3х +1)3(х-1)3=0,
(х-1)3( (х+4)3 + (2х -3)3 − (3х +1)3 ) = 0,
1. (х-1)3 =0, х-1 = 0, х =1.
2. (х+4)3 + (2х -3)3 − (3х +1)3 = 0,
( (х+4)3 + (2х -3)3) − (3х +1)3 = 0,
Применим в скобках сумму кубов:
( 3х +1) ( ( х+4)2 − (х+4)(2х+3) + (2х−3)2−(3х+1)3) = 0,
( 3х +1) ( (3х2 − 9х + 37) −( 3х +1)2) =0,
3х +1 =0, х = −. (3х2 − 9х + 37) −( 3х +1)2 = 0.(*)
После преобразований уравнения (*) получим:
2х2 + 5х− 12 = 0, х1=−4, х2 = .
Ответ: х=−4, х = −, х =1, х = .
№4
Решим уравнение .
3х2 −2х +8 >0 при всех действительных значениях х, а значит,
и 3х2 −2х +15>0.
ОДЗ: все действительные числа.
Пусть 3х2 −2х +8 = t, t > 0.
Получим уравнение , (*)
Возведём обе части уравнения (*) в квадрат: t + 7 + 2,
=21−t. (**)
Это уравнение будет иметь корни при условии 21−t≥ 0, t ≤ 21.
Возведём обе части уравнения (**) в квадрат:
t(t+7) = 441 − 42t + t2,
49t − 441 = 0,
t = 9, 9 удовлетворяет условию 0< t ≤ 21.
Вернёмся к переменной х:
3х2 −2х +8 =9,
3х2 −2х−1 =0, х1=1, х2 = − .
Ответ: х = − , х=1.
№5
Решим уравнение = 6−.
Решим уравнение с применением функционального метода.
Пусть f(x) =, z(x) = 6 - .
Левая часть уравнения - функция f(x) непрерывна и возрастающая, правая
часть уравнения- функция z(x) непрерывна и убывающая. Значит, графики этих функций пересекаются в единственной точке.
Абсцисса этой точки - корень исходного уравнения.
Находим подбором. х = − 2
Ответ: х = − 2
№6
х2 − 5ху + 4у2=0,
Решим систему уравнений 2х2 −у2 = 31.
Первое уравнение системы решим как квадратное относительно х:
х2 − 5ху + 4у2=0,
а = 1, b = -5y, c = 4y2, D = 25y2 − 16y2 =9y2,
x1,2 = , x1,2 =.
Если у≥0, то x1,2 , х1 =4у, х2 = у. (*)
Подставим эти значения вместо х во второе уравнение системы, получим:
- При х =4у
32у2− у2 =31, у2 =1, у1,2 = ±1, −1 не удовлетворяет условию у≥0.
Подставим в (*) вместо у единицу. Получим х1 =4, х2 =1.
(4; 1), (1;1) - решения системы.
- При х = у
2у2 −у2 =31, у2 =31, у = . − не удовлетворяет условию у≥0.
Подставим в (*) вместо у его значение , получим х1 =4, х2 =.
(4;) , (;) – решения системы.
Если у<0 , то x1,2 и:
а) у1 = −1. Из (*) получим х1 = −4, х2 = −1.
(−4; −1), (−1; −1) – решения системы.
в) у2 = −. Из (*) получим х1 = −4, х2 = −,
(−4;−) , (−;−) – решения системы.
Ответ: (−4;−) , (−;−), (1;1), (4; 1), (;),(4;).
№7
Решим систему уравнений (х+1)(у+1) =10,
(ху+1)(х+у) =25.
Преобразуем первое уравнение:
(х+1)(у+1) =10, ху+х+у+1=10, (ху+1)+(х+у)=10.
Введём новые переменные : ху+1 =а, х+у =с.
Получим систему а+с =10,
ас=25,
откуда а=5 и с=5.
Вернёмся к переменным х и у:
ху+1=5,
х+у =5,
Выразим из второго уравнения х: х= 5−у. (*) Подставим это значение в первое уравнение вместо х, получим у(5−у) +1 =5, у2 −5х +4 =0,
у1 =1, у2 =4.
Из уравнения (*) найдём х: х1 =4, х2 =1.
Решение исходной системы : (4 ; 1) , (1; 4).
Ответ: (4 ; 1) , (1; 4).
№8
Решим систему уравнений х2 +3ху2= 158,
3х2у +у2 = −185.
Преобразуем уравнения системы: Сложим первое и второе уравнения
системы, а затем вычтем из первого уравнения второе и применим для
каждого получившегося уравнения соответственно сумму и разность
кубов. Эти преобразования приводят к равносильной системе.
Получим (х+у)3 =−27, ( х+у)3 =−33, х + у = −3,
(х−у)3 = 343; ( х −у)3 = 73; х −у =7;
2х =4, х=2.
Найдём у: у = −3 − х, у = − 5.
Ответ: (− 5; 2).
№9
Решим систему уравнений
х +у +z =13,
x2 +y2 +z2 = 91,
y2 = xz.
1.Обе части первого уравнения возведём в квадрат:
х2+у2+z2 +2xy + 2xz + 2yz =169,
Сгруппируем слагаемые:
(х2+у2+z2) +2( xy + xz + yz ) =169, вместо х2+у2+z2 подставим 91, получим
2(xy + xz + yz) =78,
xy + xz + yz =39.
Вместо xz подставим у2, xy + у2 + yz =39, у(х+у+z) =39, y∙13 =39,
y=3.
Подставим в исходную систему 3 вместо у:
x+z =10, x=1, z=9 или z=1, x=9.
xz =9
Проверка показала, что тройки (1; 3; 9) и (9; 3; 1) чисел
удовлетворяют всем уравнениям исходной системы.
Ответ: (1; 3; 9), (9; 3; 1).
№10
Решим неравенство x >.
х − > 0, > 0,
После преобразований в числителе, получим > 0.
Разложим числитель и знаменатель на множители:
1.х2+4х +3 = (х+1)(х+3).
2. х3 + 3х −4 =0, х=1 –корень этого уравнения,
значит х3 + 3х −4 делится на х−1, (х3 + 3х −4) : (х−1) =х2 +4х+4
х3 + 3х −4 = (х2 +4х+4) (х−1) =(х+2)2 (х−1).
Получим неравенство >0, Воспользуемся методом интервалов:
− + + − +
-3 -2 - 1 1
Ответ: (-3; -2) ( -2; -1) (1; +∞).
№11
Решим неравенство (х2 + 3х+1)( х2 + 3х−3) ≥ 5.
Введём новую переменную: пусть х2 + 3х−3 = t, тогда х2 + 3х+1 = t+4.
Получим неравенство t (t+4) ≥ 5,
t2 + 4t − 5 ≥ 0, (t+5)(t−1) ≥ 0,
Воспользуемся методом интервалов:
+ − +
−5 1
Получим t ≤ −5, t ≥ 1.
Вернёмся к переменной х:
1. х2 + 3х−3 ≤ −5 2. х2 + 3х−3 ≥ 1,
х2 + 3х+2 ≤ 0, х2 + 3х−4 ≥ 0,
(х+2)(х+1) ≤ 0, (х−1)(х+4) ≥ 0,
+ − + + − +
−2 −1 −4 1 Решение неравенства 1:[−2; −1]. Решение неравенства 2: (− ∞; −4] [1;+ ∞).
Объединим решения неравенств 1 и 2 – это решение исходного неравенства
(− ∞; −4], [ −2; −1], [1;+ ∞).
Ответ: (− ∞; −4], [ −2; −1], [1;+ ∞).
№12
Решим неравенство |х2−2х −3| < |х2−х +4| .
х2−х +4 > 0 при всех действительных значениях х, т.к. D <0 и а >0.
Значит, |х2−х +4| = х2−х +4.
Получим неравенство |х2−2х −3| < х2−х +4.
Определим знаки функции f(x) = х2−2х −3 на числовой прямой:
х2−2х −3 =0, (x+1)(x−3) =0.
Воспользуемся методом интервалов:
+ − +
-1 3
Итак: f(x) >0 на (− ∞; −1) (3;+ ∞);
f(x) <0 на ( −1; 3).
Рассмотрим два случая:
1. х < −1, х > 3,
х2−2х −3 < х2−х +4;
х < −1, х > 3,
х2−2х −3 − х2+х− 4 <0;
х < −1, х > 3,
х >7;
Решение системы 1: (7;+ ∞).
2. −1< x <3,
−х2 + 2х +3 < х2−х +4;
−1< x <3, −1< x <3,
−2х2 +3х −1 < 0 (2х−1)(х−1) > 0;
Воспользуемся методом интервалов: + − +
1
Решение неравенства (2х−1)(х−1) > 0 : (− ∞; ) (1;+ ∞),
Решение системы 2 : (−1; ) , (1; 3).
Объединим решения систем 1 и 2: (−1; ) , (1; 3), (7;+ ∞).
Ответ: (−1; ) , (1; 3), (7;+ ∞).
№13
Решим неравенство<.
2х+1≥ 0, х ≥ -,
ОДЗ: 2-х ≠ 0; x ≠ 2. ОДЗ: [−;2), (2 ; + ∞).
Из условия следует, что левая и правые части неотрицательны, значит, можем возвести в квадрат обе части неравенства:
.
Т.к. 4 (2−х)2 > 0, то
(2х+1) (2−х)2 − 4(х+1)2 < 0,
Преобразуем левую часть неравенства:
2х3 − 11х2 −4х <0, х( 2х2− 11х −4 ) <0.(*)
Применим метод интервалов.
х=0, 2х2− 11х −4 =0, D = 153, х1 = , х2 =.
− + − +
0
Решение неравенства (*): (− ∞; ) (0; ).
Решение исходного неравенства с учётом ОДЗ:
[−;) , (0; 2), (2; ).
Ответ: [−;) , (0; 2), (2; ).
№14
Решим неравенство
ОДЗ: 4х+15≥0, х ≥− ОДЗ: [−;−),(− ; ),(;+ ∞).
х ≠−, х ≠.
Сократим дробь на . получим неравенство,
(*) Рассмотрим два случая:
- х≥0
Возведём обе части неравенства (*) в квадрат, получим: 4х+15≥4х2,
4х2 −4х −15≥0,
4х2 −4х −15=0, х1 =- , х2 = + − +
−
Решение неравенства: (− ∞; − ] [; + ∞).
Условию х≥0 удовлетворяет числовой промежуток: [; + ∞).
Учтём ОДЗ, получим: (; + ∞).
- При х < 0
неравенство (*) верно для всех х из ОДЗ:
[−;−),(− ; ),(;+ ∞) .
Учтём условие х < 0, получим [−;−),(− ; 0).
Решение исходного неравенства - [−;−),(− ; 0), (; + ∞).
Ответ: [−;−),(− ; 0), (; + ∞).
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Задания для подготовки к ЕГЭ математика профильный уровень 10
Задания ЕГЭ №10 по математике с решением...
Задания для подготовки к ЕГЭ математика профильный уровень 10 задание
Задания ЕГЭ №10 по математике с решением...
Задания для подготовки к ЕГЭ математика профильный уровень 10 задание
Задания ЕГЭ №10 по математике с решением...
Материалы для подготовки к ЕГЭ ( профильный уровень, задание 9)
Представлены материалы для подготовки к ЕГЭ (профильный уровень ) заданий на вычисление объема и площади поверности различных многогранников....
Первое задание из открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике(профильный уровень).
Первое задание из открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике (профильный уровень)...
Второе задание из открытого банка заданий для подготовки е ЕГЭ по математике(профильный уровень)
Второе задание из открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике...
Задания для подготовки к ЕГЭ. Проверочная работа по заданию №3(Профильный уровень)
Проверочная работа содержит 7 вариантов, в каждом из которых по 6 заданий на нахождение площадей фигур на квадратной решетке или в координатной плоскости. Удобно использовать при подготовке к ЕГЭ....