Задачи с параметрами
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему
Предварительный просмотр:
(10 – 11 классы)
Параметры – это те же числа, просто заранее не известные.
1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами
Линейная функция: - уравнение прямой с угловым коэффициентом . Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси .
Линейные уравнения с параметрами
Уравнение
Если , уравнение имеет единственное решение.
Если , то уравнение не имеет решений, когда , и уравнение имеет бесконечно много решений, когда .
Пример 1. При всех значениях параметра а решить уравнение: (a2 – 4)x = a + 2
Решение: Разложим коэффициент при на множители. .
Если , уравнение имеет единственное решение: .
Если , уравнение не имеет решений.
Если , то уравнение имеет бесконечно много решений .
Пример 2. При всех значениях параметра а решить уравнение: .
Решение: ОДЗ: . При этом условии уравнение равносильно следующему: . Проверим принадлежность к ОДЗ: , если . Если же , то уравнение не имеет решений.
Пример 3. При всех значениях параметра а решить уравнение:
|х + 3| - a|x – 1| = 4.
Решение: Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль и решим 3 системы:
1) , если . Найденный будет решением, если .
2) , если . Найденный удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при . Если же
, то решением является любой .
3) , если . Найденный не удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, не является решением при . Если же
, то решением является любой . Сформируем
Ответ: при ; при ;
при ; является также решением при всех .
Пример 4. Найти все а , при каждом из которых хотя бы одно из решений уравнения 15x – 7a = 2 – 3ax + 6a меньше 2 . Решение: Найдем решения уравнения при каждом . , если . Решим неравенство:
.
При уравнение не имеет решений.
Ответ: а ∈ (-5 , 4) .
Линейные неравенства с параметрами
неравенства , , ,
Пример 1. Решить неравенство:
Если , то . Если , то . Если , то при решением является любой , а при решений нет.
Аналогично решите остальные неравенства в рамочке.
Пример 2. Для всех значений параметра а решить неравенство
Решение. . Если скобка перед положительна, т.е. при , то . Если скобка перед отрицательна, т.е. при
, то . Если же или , то решений нет.
Пример 3. Для всех значений параметра а решить неравенство
|х – а| – |x + a| < 2a .
Решение. При имеем неверное неравенство , т.е. решений нет. Пусть , тогда при оба модуля раскрываются с минусом и получаем неверное неравенство , т.е. решений нет. Если , то первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом и получаем неравенство , т.е. , т.е., решением является любой . Если оба модуля раскрываются с плюсом и получаем верное неравенство , т.е. , решением является любой . Объединяя оба ответа, получим, что при .
Пусть , тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа . Т.о., при решений нет.
Ответ. При , при решений нет.
Замечание. Решении данной задачи получается быстрее и проще, если использовать геометрическую интерпретацию модуля разности двух чисел, как расстояние между точками. Тогда выражение в левой части можно интерпретировать, как разность расстояний от точки х до точек а и -а .
Пример 4. Найти все а , при каждом из которых все решения неравенства удовлетворяют неравенству .
Решение. Решением неравенства является множество , а решением неравенства является множество . Чтобы
удовлетворить условию задачи, нужно, чтобы множество А входило в множество В (). Это условие выполнится тогда и только тогда, когда
Ответ. .
Пример 5. Найти все значения a , при которых неравенство выполняется для всех x из отрезка [1, 3] .
Решение. Дробь – меньше нуля между корнями, поэтому надо
выяснить, какой корень больше. и
. Т.о., при и чтобы неравенство выполнялось для всех x из отрезка [1, 3], нужно, чт При и чтобы неравенство выполнялось для всех x из отрезка [1, 3], нужно, чтобы .
При (когда корни совпадают) решений нет, т.к. в этом случае неравенство приобретает вид : .
Ответ. .
Пример 6. При каких значениях параметра а неравенство справедливо при всех отрицательных значениях х ?
Решение. Функция монотонно возрастает, если коэффициент при неотрицательный, и она монотонно убывает, если коэффициент при отрицательный.
Выясним знак коэффициента при . . .
Пусть . Тогда функция монотонно не убывает, и условие задачи будет выполнено, если
. Вместе с условиями получим :
Пусть . Тогда функция монотонно убывает, и условие задачи никогда не может быть выполнено.
Ответ. .
2. Векторы на плоскости
Пусть два вектора на плоскости заданы своими координатами:
Модуль (длина) вектора: .
Скалярное произведение: ,
где - угол между векторами.
Условие параллельности двух векторов: . Т.е.
у параллельных векторов координаты пропорциональны.
Условие перпендикулярности двух векторов: . Т.е. два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Если вектор задан своими концами и , то вектор .
Задача 1. Через точку провести прямую, параллельную вектору .
Решение. Пусть точка - текущая точка искомой прямой. Тогда вектор параллелен вектору . Тогда выписывая условие параллельности, получим уравнение искомой прямой:
.
Переписав в виде , получим уравнение с угловым коэффициентом , проходящей через заданную точку .
Задача 2. Через точку провести прямую, перпендикулярную вектору . Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором к прямой или нормалью к прямой.
Решение. Пусть точка - текущая точка искомой прямой. Тогда вектор перпендикулярен вектору . Тогда выписывая условие перпендикулярности, получим уравнение искомой прямой:
.
Раскрыв скобки и обозначив число , получим так называемое общее уравнение прямой:
.
В этом уравнении коэффициенты при и являются координатами нормального вектора прямой.
Всякая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости, где с одной стороны прямой и с другой стороны. При этом точки той
части плоскости, куда смотрит вектор , удовлетворяет неравенству . Поэтому: направлении вектора функция возрастает, а в направлении вектора она убывает.
Пример 5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .
Решение. У параллельных прямых нормальные вектора тоже параллельны, т.е. . Согласно задаче 2 получим искомое уравнение: или .
3. Системы двух линейных уравнений с параметрами
Система уравнений
Решениями системы двух линейных уравнений являются точки пересечения двух прямых: и .
Возможны 3 случая:
1. Прямые не параллельны . Тогда и их нормальные вектора не параллельны, т.е. . В этом случае система имеет единственное решение.
2. Прямые параллельны и не совпадают. Тогда и их нормальные вектора параллельны, но сдвиги различны, т.е. .
В этом случае система решений не имеет .
3. Прямые совпадают. Тогда их нормальные вектора параллельны и сдвиги совпадают, т.е. . В этом случае система имеет бесконечно много решений – все точки прямой.
Пример 1. При всех значениях а и b решить систему уравнений
.
Решение. Выразим из первого уравнения и подставим во второе уравнение. Получим: .
Если - единственное решение. Если , то если , то решений бесконечно много: . Если
же , то решений нет
Пример 2. При каком значении параметра а система уравнений
2(a + 1)x + 2y = 21
5(a - 3)x + y = 13 не имеет решений?
Решение. Система не имеет решений, если .
Т.е. .
Ответ. .
Пример 3. При всех значениях а решить систему уравнений
Решение. Система равносильна совокупности двух систем:
Прямые параллельны , если . При этом прямые не совпадают, поэтому при решений нет.
Если , то выражая из второго уравнения и подставляя в первое, получим: .
Пример 4. Найти все такие значения а, что для любого значения b
найдётся хотя бы одно с такое, что система уравнений
имеет хотя бы одно решение.
Решение. Прямые не параллельны, если
В этом случае система имеет единственное решение при любом c.
По условию задачи система должна иметь решение при всех b.
Если то система принимает вид: . Чтобы при система также имела решения, нужно, чтобы уравнение относительно c имело хотя бы одно решение. Т.о., дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным, т.е.
Аналогично, если то система принимает вид: Чтобы при система также имела решения, нужно, чтобы уравнение
относительно c имело хотя бы одно решение. Т.о., дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным, т.е.
4. Системы двух линейных неравенств с параметрами
Пример 1. При каких значениях а система неравенств
не имеет решений?
Решение. Система имеет решения только если .
Ответ: при решением будет любой ;
при решений нет.
Пример 2. При каких значениях а система неравенств
имеет хотя бы одно решение?
Решение. При первое неравенство не имеет решений. А тогда и вся система не имеет решений
Пусть , тогда и эта система не имеет решений, так как , а . Пусть , тогда т.е.
рения есть при , и , так как при выполнено неравенство , то решение запишется в виде .
Ответ: при решением будет любой ;
при решений нет.
Пример 3. При всех значениях а решить систему
Решение. Перепишем систему неравенств в виде . Рассмотрим все возможные случаи
1) . Тогда система неравенств принимает вид . Сравним между собой выражения в правых частях . Имеем: при
всех . Поэтому
x > (4a+1)/(a+4) .
2) . Тогда первое неравенство не верно. А значит, и вся система не имеет решений .
3) . Тогда система неравенств принимает вид . Сравним между собой выражения в правых частях . Имеем:
при всех . Поэтому (4a+1)/(a+4) < x < (2a-3)/(a-1) .
4) . Тогда второе неравенство не верно. А значит, и вся система не имеет решений .
5) . Тогда система неравенств принимает вид . Сравним между собой выражения в правых частях . Имеем: при
всех . Поэтому
x < (2a-3)/(a-1) .
Ответ: x < (2a-3)/(a-1) при a < -4 ;
(4a+1)/(a+4) < x < (2a-3)/(a-1) при -4 < a < 1 ;
при и при решений нет.
Пример 4. При всех значениях а решить систему
Решение.
При система не имеет решений.
Пусть , тогда и эта система не имеет решений.
Пусть , тогда и эта система будет иметь решения, если выполнено неравенство: .
Ответ. .
