кружок по математике 5-6 классы
методическая разработка по алгебре (5 класс) на тему

План работы кружка

Занимательная математика

в системе ОДОД

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Курс, предназначенный для учащихся 5-6-х классов, проявляющих повышенный интерес к математике, которые участвуют в различных соревнованиях по математике.

Цель курса:

• ознакомление учащихся с некоторыми методами и приемами решения олимпиадных задач;
• развитие творческого потенциала школьников, их способностей к плодотворной умственной деятельности;
• расширение и углубление знаний учащихся по математике.

Основными формами организации учебно-познавательной деятельности являются практикумы, математические соревнования.

Программа курса составлена на год и предполагает занятия с учащимися по 1 часу в неделю. Объем курса -35 часов. В данный курс учитель математики может вносить изменения и дополнения по своему усмотрению.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В результате изучения данного факультативного курса учащиеся

должны знать:

• основные методы и  приемы решения олимпиадных задач;

должны уметь:

• применять изученные методы и приемы при решении олимпиадных задач

СОДЕРЖАНИЕ

Тема 1. Принцип Дирихле

• понятие о принципе Дирихле
• решение простейших задач на принцип Дирихле

Тема 2. Задачи на проценты и части 

• задачи на проценты;
• задачи на составление уравнений

Тема 3. Делимость

• задачи на использование свойств делимости
• делимость и принцип Дирихле

Тема 4. Некоторые эвристические приемы решения задач 

• введение вспомогательной неизвестной
• крайних случаев рассмотрение
• контрольный и подтверждающий пример
• перебор
• перефразирование
• прием получения следствий

Тема 5. Задачи по геометрии

• задачи на разрезание

• задачи на подсчет числа фигур
• творческие задачи на свойства неопределяемых геометрических понятий, на понятие ломаной, на общее представление о геометрических фигурах,  на отрезки и их измерение.

Тема 6. Логические задачи

• логические задачи и методы их решения.

Тема 7.  Разные задачи

• задачи на переливание
• задачи на совместную работу
• задачи на движение
• натуральные числа
• дроби

Тема 8. Математические соревнования

• виды математических соревнований, проведение олимпиады, математического боя и других соревнований

Тема 1. ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ

Задача 1

В классе 30 человек. Саша Иванов в диктанте сделал 13 ошибок, а остальные – меньше. Докажите, что по крайней мере 3 ученика сделали ошибок поровну (работа может быть и безошибочной).

Решение.

Предположим, что никакие  3 ученика не сделали одинаковое число ошибок, т.е. в каждую клетку от 0 до 12 попало меньше трех школьников. Тогда в классе не больше 2*13+1=27, а в классе 30 учеников. Значит, наше предположение неверно. Поэтому найдутся три ученика, сделавшие одинаковое число ошибок.

Задача 2

В Москве живет около 8,3 млн. человек на голове у каждого не более 100 000 волос. Докажите, что в Москве есть по крайней мере 80 человек с одинаковым числом волос на голове.

Решение.

Пусть в наших клетках – люди с одинаковым числом волос на голове: 0 волос, с 1 волосом, с двумя и т.д. до 100 000 волос. Всего у нас 100 001 клетка. И пусть в каждой клетке не более 80 человек. Тогда население Москвы не более 80*100 001= 8 000 080, а всего 8 300 000 человек. Значит, наше предположение неверно.

Задача 3

Пусть в классе 41 человек. Маша Петрова сделала больше всех ошибок – 13. Докажите, что найдутся четверо учащихся, сделавших одинаковое число ошибок. Безошибочных работ не было.

Решение.

Клетки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13- число ошибок.

Предположим, что только трое сделали одинаковое число ошибок. Тогда в классе не больше, чем 3*13=39 человек, а их 41. Значит, найдутся четверо, которые сделали одинаковое число ошибок.

Задача 4

В хвойном лесу 800 000 елей, и ни на одной из них не более 500 000 игл. Докажите, что по крайней мере у двух елей число игл одинаковое.

Решение

Пусть в одну клетку попали ели с одинаковым числом иголок 0; 1; 2; … 500 000. Если в каждой клетке по одной ели, то их 1*500 000=500 000, а  в лесу – 800 000. Значит, хотя бы у двух елей число игл одинаковое.

Задача 5

В городе 15 школ. В них обучается 6015 школьников. В концертном зале городского Дворца культуры 400 мест. Докажите, что найдется школа, ученики которой не поместятся в этом зале.

Решение.

Предположим, что в каждой школе не более 400 учеников. Значит, в 15 школах не более 15*400=6000 школьников. Но, по условию, в школах обучается 6015 человек. Значит, найдется школа, в которой  больше 400 учеников. Поэтому ученики этой школы не поместятся в зале на 400 мест.

Задача 6.

20 учеников (больше половины из них – девочки) сидят за круглым столом. Докажите, что какие-то две девочки сидят напротив друг друга.

Решение.

Образуем 10 пар из учеников, сидящих напротив друг друга. Так как девочек больше половины, то есть больше 10, то найдется пара, состоящая из двух девочек.

Задача 7.

15  девочек собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то две из них собрали одинаковое

количество орехов.

Решение.

Пусть все девочки собрали разное количество орехов: 1; 2; 3; …; 15. Тогда суммарное количество собранных орехов равно (1+ 15)/ 2*15= 120>100. Значит, какие-то две девочки собрали одинаковое количество орехов.

Задача 8

На далекой планете, имеющей форму шара, суша занимает больше половины поверхности планеты. Докажите, что можно прорыть туннель, проходящий через центр планеты, который соединит сушу с сушей.

Решение.

Покрасим сушу на планете в зеленый цвет, а поверхность планеты, симметричную суше,- в синий. Так как суша занимает больше половины поверхности планеты, то найдется точка на планете, покрашенная в оба цвета. Через нее и надо рыть туннель.

Задача 9

В походе участвовало 25 человек, каждому из которых было от 24 до 30 полных лет (на данный день) Докажите, что найдутся четыре человека, родившихся в один год.

Решение.

Различных годов рождения может быть 7. Предположим, что каждый год родилось не более трех участников похода. Значит, за 7 лет могли родиться не более 3*7=21 участника. Но, по условию, в походе участвовало 25 человек. Получили противоречие. Значит, найдутся четыре участника похода, родившихся в один год.

Задача 10

На шахматной доске 8 * 8 отмечены центры всех полей. Можно ли 13 прямыми разбить доску на части так, чтобы в каждой части  было не более одной отмеченной точки?

Решение.

Рассмотрим внешний ряд клеток доски (по периметру). Центры полей образуют квадрат 7 * 7, между ними 28 промежутков. Мы должны разбить доску так, чтобы все отмеченные точки попали в разные части. Значит, прямые должны пересекать все промежутки между клетками. Но прямая может пересечь стороны квадрата не более чем в двух точках (случай противоположных по диагонали вершин квадрата нужно исключить), значит, нужно не менее 14 прямых.

Задача 11

Внутри равностороннего треугольника со стороной 10 отмечено пять точек. Докажите, что найдутся две из них, расстояние  между  которыми будет не более 5.

Решение.

Разделим треугольник на 4  равных  равносторонних треугольника. Длина их стороны равна 5, значит, расстояние между любыми двумя точками маленького треугольника не более 5. Точек 5, треугольников 4, значит, хотя бы 2 точки попадут в один треугольник. И расстояние между ними будет не более пяти.

Задача 12

Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета на расстоянии 1 метр друг от друга.

Решение.

Рассмотрим вершины равностороннего треугольника со стороной 1 метр. Если две точки разного цвета, то третья обязательно либо первого, либо второго цвета, значит, мы нашли две точки одного цвета.

Задача 13

В магазин привезли 25 ящиков конфет трех разных сортов (в каждом ящике – только один сорт). Докажите, что  есть хотя бы 9 ящиков с одним и тем же сортом конфет.

Решение.

Если бы ящиков с конфетами каждого из трех сортов привезли не более 8, то всего привезли бы не более 24-х ящиков, что противоречит условию. Значит, найдутся 9 ящиков с одинаковым сортом конфет.

Задача 14

Какое максимальное количество ладей можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

Решение.

Каждая  ладья бьет горизонталь и вертикаль, на пересечении которых стоит. Значит, на каждой горизонтали можно поставить не более одной ладьи, всего ладей будет не более восьми. Для 8 ладей можно придумать много вариантов расстановок, например, по диагонали.

Задача 15

На окно размером 40 см * 30 см село 25 мух. Докажите, что квадратной мухобойкой 11 см * 11 см можно прихлопнуть сразу трех мух.

Решение.

Разделим окно на 12 квадратов размером 10 см * 10 см. Если в каждом квадрате не более двух мух, то всего на окне не более 2 * 12 = 24 мух, а по условию мух 25, значит, в каком - то квадрате сидит хотя бы 3 мухи. Мухобойка закроет этот квадрат. Значит, такой мухобойкой можно прихлопнуть сразу трех мух.

Задача 16

В коробке лежат карандаши: 4 красных и 3 синих. В темноте берут карандаши. Сколько надо взять карандашей, чтобы среди них было не менее одного синего?

Ответ: 5 карандашей.

Задача 17

У мальчика 9 медных монет. Докажите, что у него есть хотя бы три монеты одинакового достоинства.

Решение.

Всего различных медных монет 4. Пусть мальчик имеет набор по 2 монеты каждого вида, всего будет 8 монет. Оставшаяся  монета из 9 имеющихся,  будет третьей монетой одного из видов. Значит, у мальчика есть хотя бы 3 монеты одинакового достоинства.

Задача 18

Какое наименьшее количество любых натуральных чисел следует взять, чтобы среди них всегда нашлась такая пара чисел, разность которых делилась бы на 5?

Решение.

Разобьем множество натуральных чисел на 5 классов: к первому классу отнесем все числа, которые при делении на 5 дают остаток, равный 0, ко второму классу – остаток, равный 1, к третьему классу - остаток, равный 2, к четвертому классу – остаток, равный 3, к пятому – остаток, равный 4. Очевидно, что разность двух чисел, принадлежащих разным классам, на 5 не делится. Если же взять шесть чисел, то среди них обязательно найдутся два числа, принадлежащие одному и тому же классу, и разность этих чисел делится на 5.

Итак, наименьшее количество натуральных чисел, которое следует взять, равно 6.

Задача 19

В классе 41 ученик написал по три контрольные работы. В результате учитель не поставил ни одной неудовлетворительной отметки, и каждый ученик получил все остальные отметки. Узнав об этом, один ученик заметил, что по крайней мере 7 человек получили одинаковые отметки по всем трем контрольным, а другой, подумав, сказал, что таких учеников с одинаковыми отметками, наверно будет 8. Кто из них прав?

Решение.

Разобьем класс на группы в соответствии со всевозможными наборами отметок: 3, 4, 5;  3, 5, 4;  4, 3, 5;  4, 5, 3;  5, 4,3;  5, 3, 4 (всего 6 групп). Если в каждой из этих групп не больше 6 человек, то всего в классе не больше 36 человек, что противоречит условию. Следовательно, по крайней мере в одной из этих групп не меньше 7 человек. Возможен, однако, и случай, когда в каждой группе не больше 7 человек (например, в одной группе 6, а в остальных – по 7 человек), и, следовательно, утверждение второго ученика может быть не верным.

Итак, прав только первый ученик.

Ответ: первый ученик

Задача 20

В школе 370 учеников. Найдутся ли в этой школе хотя бы два ученика, у которых день рождения приходится на одну и ту же дату календаря?

Ответ: да

Задача 21

У каждого из пяти мальчиков было не меньше одного шара,  а всего у них было 7 шаров. Мог ли кто- либо из них иметь: а) 3 шара? б) 4 шара?

Ответ: а) да; б) нет

Тема 2. ЗАДАЧИ  НА ПРОЦЕНТЫ И ЧАСТИ.

Задача 1

Товар подорожал на 30%, а затем подешевел на 30%. Как изменилась цена этого товара?

Решение.

Товар подорожал на 30%, то есть стал стоить 130%, что составляет 130:100=1,3 от первоначальной цены. Затем он подешевел на 30%, то есть стал стоить 100% - 30% = 70%, что составляет 70: 100 = 0,7 от новой цены. Пусть первоначальная цена была х. После подорожания товар стал стоить 1,3х, а после удешевления о.7*1,3х=0,91х. Найдем разницу между начальной и конечной ценой х-0,91х=0,09х, что составляет 0,09*100%=9% от начальной цены. Товар подешевел на 9%.

Ответ: 9%.

Задача 2

Числитель дроби увеличивается на 20%. На сколько процентов надо увеличить её знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое?

Решение.

Дробь 

k = 0.6

Нужно уменьшить знаменатель на 40%

Ответ: 40%.

Задача 3

В двух бочках было воды поровну. В первой бочке количество воды сначала увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. Во второй вначале уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%.

В какой бочке стало больше воды?

Решение.

Пусть a – начальный объем воды в каждой из двух бочек отдельно. Тогда определим объем воды в каждом из двух случаев.

Если сначала уменьшили на 10%, а потом увеличили на 10%, то a × 0,9 × 1,1 = 0,99а

Если сначала увеличили на 10%, а потом уменьшили на 10%, то а × 0,9 × 1,1 = 0,99а

Таким образом, в каждом случае получается 0,99а. Значит, в каждой из бочек воды станет поровну.

Ответ: поровну.

Задача 4

Число а составляет 75% числа b и 40% числа с. Число с на 42 больше, чем b. Найдите числа а и b.

Решение.

Пусть . По условию задачи имеем:

Ответ: а=36, b=48.

Задача 5

Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике на 10% орехов больше, чем в первом, и на 30% больше, чем в третьем.

Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем?

Решение.

Пусть в первом ящике находиться х орехов, во втором ящике – у орехов, в третьем ящике –  z орехов. Получаем:

Зная, что в первом ящике на 80 орехов больше, чем в третьем, получим:

Ответ: 520; 572; 440

Задача 6

В автобусе ехало меньше 100 человек, причем число сидящих пассажиров было вдвое больше числа стоящих. На остановке 4% пассажиров вышли.

Сколько пассажиров осталось в автобусе?

Решение.

Так как число сидящих пассажиров было вдвое больше числа стоящих, то общее количество пассажиров кратно 3. Так как на остановке 4% пассажиров вышли, то количество вышедших составляет одну двадцать пятую от общего количества пассажиров. Значит, общее количество пассажиров кратно 25. Чисел, меньших 100 и кратных 25, всего три: 25, 50 и 75. Среди них только 75 делится на 3. Поэтому было 75 пассажиров, трое вышли, а осталось 72.

Ответ: 72.

Задача 7

В городе N живет 44100 человек. Известно, что каждые три года население увеличивалось на 5%.

Сколько жителей было в городе N два года назад?

Решение.

Ответ: 40000

Задача 8

Сколько процентов 8 процентов составляют от 40 процентов?

Решение.

Пусть а – число, от которого берем проценты, тогда получаем:

Ответ: 20%

Задача 9

Даже когда верблюд Дезире хочет пить, 84% его веса составляет вода. После того как он напьётся воды, его вес станет равным 800 кг, а вода будет составлять 85% его веса.

Сколько весит Дезире, когда испытывает жажду?

Решение.

Пусть х кг весит верблюд Дезире, когда хочет пить, при этом 84% его веса составляет вода, а 16% - собственная масса, которая будет равна  кг. После того как он напьется воды, его вес станет равным 800 кг, вода будет составлять 85% его веса, а собственная масса составит 15%, что равно

Получаем уравнение . Откуда х = 750. Поэтому 750 кг весит Дезире, когда испытывает жажду.

Ответ: 750 кг.

Задача 10

В двух банках в конце года на каждый счет начисляется прибыль: в первом банке  60% к текущей сумме на счете, во втором – 40% к текущей сумме на счете. Вкладчик в начале года часть имеющихся у него денег положил в первый банк, а остальные деньги – во второй банк с таким расчетом, чтобы через два года суммарное количество денег на обоих счетах удвоилось.

Какую часть денег вкладчик положил в первый банк?

Решение.

Пусть всего у него было а рублей и х – часть денег, которые он положил в первый банк.

Тогда имеем:

Значит, в первый банк он положил  всех своих денег.

Ответ:

Задача 11

Нефтепровод проходит мимо трех деревень А, В, С. В первой деревне сливают 30% от первоначального количества нефти, во второй – 40% от того количества, которое дойдет до деревни В, а в третьей – 50% от того количества, которое дойдет до деревни С.

Сколько процентов нефти от первоначального количества доходит до конца нефтепровода?

Решение.

 сливают в А, остается .

 – после деревни В

После деревни С имеем:

Ответ: 21%

Задача 12

Из молока, жирность которого 5%, изготавливают творог жирностью 15,5%, при этом остается сыворотка жирностью 0,5%.

Сколько творога получается из 1 т молока?

Решение.

х кг – творога.

.

.

.

.

Ответ: 300 кг.

Задача 13

Одно число больше другого на 16. Найдите эти числа, если  одного числа равно  другого.

Решение.

Пусть первое число – х, а второе – у. По условию задачи имеем:

Так как по условию задачи одно число больше другого на 16, то получаем:

Таким образом, искомые числа 96 и 80.

Ответ: 96 и 80.

Задача 14

Одну из сторон прямоугольника увеличили на 25%. На сколько процентов надо уменьшить другую сторону, чтобы площадь прямоугольника не изменилась7

Решение.

Если  – длины сторон вначале, то .

После изменения:   80% стала составлять вторая сторона. Она уменьшилась на

Ответ: 20%

Задача 15

Пастух привел на мясокомбинат две трети от трети своего скота. Оказалось, что это 70 быков.

Сколько скота в стаде?

Решение

Если пастух привел на мясокомбинат две трети от своего скота, то 1/3 будет 35 быков, а всего было  (быков).

Ответ: 105 быков.

Задача 16

В классе число отсутствующих учеников составляло  часть присутствующих. Когда из класса вышел один ученик, число отсутствующих стало равно  числа присутствующих.

Сколько учеников в классе?

Решение.

Изначально присутствующих было в 6 раз больше, чем отсутствующих, то есть отсутствующие составили 1/7 часть числа всех учащихся. После выхода одного ученика из класса отсутствующие составили 1/6 часть от общего числа учащихся.

Значит, 1 ученик составляет  часть класса, а в классе 42 ученика.

Ответ: 42 ученика

Задача 17

Цену товара уменьшили на 10%, а затем ещё на 10%.

Стоит ли товар дешевле, если его цену сразу снизить на 20%?

Решение.

Пусть начальная цена товара – а, тогда имеем:

, получили 81% начальной стоимости.

, получили 80% начальной стоимости.

Ответ:  после снижения сразу на 20% товар дешевле.

Задача 18

Баба Яга варит волшебное зелье: к 1,5 кг меда она добавила 100 г растертых волчьих когтей, 100 г дегтя и 300 г слез кикиморы. Сколько процентов слез кикиморы содержит это варево?

Решение.

 (г).

.

.

Ответ: 15%

Задача 19

После того как цены на билеты в кино повысили на 50%, число зрителей снизилось на 40%.

Как изменилась выручка кинотеатра?

Решение.

х рублей – цена билета в начале; у – столько было зрителей, ху рублей – выручка.

1,5x рублей – новые цены, 0,6y – стало зрителей.

 – новая выручка.

 Новая выручка составила 90% от старой.

Ответ: 90%

Задача 20

Фирма «Дизель» купила на распродаже автомобиле на 35% ниже начальной цены, а продала на 25% ниже начальной цены.

Сколько процентов прибыли она получила?

Решение.

Израсходовала на покупку 0,65а, а продала по цене 0,75а. Прибыль

Прибыль

Ответ:

Задача 21

На конференции 85% делегатов знают английский язык, 75% - испанский язык.

Какая часть делегации знает оба языка?

Решение.

По-испански не говорят .

По-английски не говорят

На одном языке говорят

Значит, на двух языках говорят

Ответ: 3/5

Задача 22

На сколько  уменьшится дробь, если её числитель увеличить на 25%, а её знаменатель увеличить на 50%?

Решение.

Пусть в знаменателе было число b, а в числителе – число а. Тогда после увеличения в числителе стало 1,25а, в знаменателе – 1,50b. Получаем дробь:

.

Вычтем из первоначальной дроби получившуюся:  

%.

Ответ:

Задача 23

На сколько процентов уменьшится дробь, если её числитель уменьшить на 20%, а знаменатель увеличить на 50%?

Решение.

Пусть в знаменателе было число b, а в числителе – число а. Тогда после уменьшения в числителе стало 0,80а, в знаменателе после увеличения  – 1,50b. Получаем дробь:

Вычтем из первоначальной дроби получившуюся:

Ответ: на

Задача 24

Стоимость товара была на 25% повышена. 40% новой стоимости составляет 12 рублей.

Чему равна первоначальная стоимость товара?

Решение.

Пусть первоначальная стоимость товара была х рублей, тогда после повышения стоимости товара на 25% цена стала 1,25х. Известно, что 40% новой стоимости составляет 12 рублей. Получаем:

Ответ: первоначальная стоимость товара – 24 рубля.

Задача 25

В зоопарке 80% животных – коричневые, 60% коричневых животных – без хвоста. Все коричневые животные с хвостом – кенгуру (других кенгуру нет). В зоопарке 8 кенгуру.

Сколько там всего животных?

Решение.

Пусть кенгуру составляют 40% коричневых животных. Кенгуру всего 8, значит, всего коричневых животных . В зоопарке 80% коричневых животных, значит, всего животных в зоопарке будет .

Ответ: 25.

Задача 26

Содержание сахара в одном соке – 10%, а в другом – 15%. Смешали 2 л первого и 3 л второго соков.

Каково содержание сахара в смеси?

Решение.

В первом соке содержится  литра сахара, а во втором соке содержится  литра сахара. Тогда в получившейся смеси будет  литров сахара. Общий объем равен 5 литрам. Тогда процентное содержание сахара в смеси равно

Ответ: 13%

Задача 27

В бутылке с 20г 72%-ой уксусной эссенции добавили 140г воды. Каково процентное содержание уксусной кислоты в получившемся растворе?

Решение.

В начальном растворе было 20*0,72=14,4г уксусной кислоты, столько же осталось и в конечном. Раствора стало в итоге 20+140 =160г. Процентное содержание уксусной кислоты в получившемся растворе 14,4-160= =0,09=9%

Ответ: 9%

Задача 28

Сколько 90%-ной и 60%-ной серной кислоты надо взять, чтобы получить 5,4 кг 80%-ной серной кислоты?

Решение.

Если 90%-ного раствора взяли х кг, то 60%-ного раствора взяли (5,4-х)кг. Чистой серной кислоты в первом растворе содержится 0,9х кг, во втором - 0,6(5,4 – х) кг. В смеси чистой серной кислоты 0,8*5,4 = 4,32 кг.

0,9х + 0,6(5,4 –х) = 4,32.

Ответ: 3,6кг и 1,8кг.

Задача 29

Во время стирки материя садится на 1/16 по длине и на 1/18 по ширине. Сколько метров ткани шириной 0,9м нужно  купить, чтобы после стирки иметь 51 кв. м?

Решение.

Пусть нужно купить х метров ткани шириной 0,9м. Тогда 0,9х(1-1/16)(1-1/18)=51

Ответ: 64 метра.

Тема 3. ДЕЛИМОСТЬ.

Задача 1

Имеются 5 листов бумаги. Некоторые из них порвали на 5 кусков каждый. Некоторые из полившихся кусков на 5 частей и. т.д.

Можно ли, продолжая эту операцию, получить 2008 листов?

Решение.

Если мы разбиваем любой листок на 5 кусков, то прибавляется 4 новых куска. Всего количество кусков будет: 5 + 4 + 4 + 4 + 4 + … .

Если посмотреть количество вновь появившихся кусков, то получаем, 2008 – 5 = 2003. Число 2003 не делится на 4, поэтому получить 2008 листов невозможно.

Ответ: невозможно

Задача 2

Из чисел от 1 до 252 выбросили все числа, делящиеся на 2, но не делящиеся на 5, и все числа, делящиеся на 5, но не делящиеся на 2.

Сколько осталось чисел?

Решение.

В каждом десятке останется по 5 чисел. Но до 250 всего 25 десятков. Получаем 25 * 5 =125.

Ещё остаются два числа: 251, 252. Из них вычеркивается число 252.

Всего осталось 25 * 5 + 1 = 126 (чисел).

Ответ: 126 чисел

Задача 3

Может ли сумма двух последовательных натуральных чисел быть простым числом?

Решение.

Для утвердительного ответа на этот вопрос достаточно придумать пример, 1 + 2 = 3, где три – простое число.

Ответ: может.

Задача 4

Кузнечик прыгает по прямой каждый раз в одном из двух направлений, причем в первый раз он прыгнул на 1 см  в какую-то сторону, во второй – на 2 см, в третий – на 3 см и т. д. Докажите что после 1985 прыжков он не может оказаться там, где начинал.

Решение.

Так как сумма ± 1 ± 2 ± … ± 1985 содержит нечетное число нечетных слагаемых, то результат будет нечетным. Для того чтобы он оказался там где начинал, нужно, чтобы эта сумма была равна 0.

Задача 5

Докажите, что произведение любых трех последовательных чисел делится на 6.

Решение.

Среди трех последовательных чисел есть как минимум одно четное и одно, делящееся на 3. Значит, их произведение разделится на 6.

Задача 6

Квадрат натурального числа состоит из цифр 0; 2; 3; 5. Найдите его

Решение.

Квадрат числа не может оканчиваться цифрами 2 или 3, или одним нулем. Значит, последняя цифра равна 5, тогда цифра десятков равна 2. Следовательно. Искомое число 3025

Ответ: 55

Задача 7

На конференции собрались марсиане, у каждого было по 7 конечностей, и земляне, у которых было по 4 конечности. Сколько было землян, если всего было 53 конечности?

Решение.

7х +4у =53, у = (53-7х)/4,  у=13-2х+(х+1)/4,  х+1 делится на 4, иначе у не будет целым. Но х <53: 7, т.е. х< 8. Значит, х = 3(у=8) или х=7(у=1). Землян 8 или 1

Ответ: 8 или 1.

Задача 8

7,*,*,*,*,*,*,9. Замените звездочки числами так, чтобы сумма любых трех соседних чисел равнялась 20.

Решение.

Рассмотрим две соседние суммы «7аб» и «аб?»,  вместо ? должна стоять цифра 7. Аналогично для двух последних сумм, 4-я цифра с конца получается 9.

Ответ: 79479479

Задача 9

Докажите, что натуральное число, состоящее из 30 единиц и какого- то количества нулей, не может быть полным квадратом.

Решение.

Сумма цифр числа-30, значит, число делится на 3, но не делится на 9. Но полный квадрат делился бы на 9.

Задача 10

Какое наименьшее натуральное  N такое, что N! делится на 770?

Решение.

770=7*11*10, значит, N!  делится на 11. Наименьшее выражение, содержащее множитель 11, будет 11!, в это произведение будут входить и 7, и10.

Задача 11

Докажите, что среди любых шести чисел есть два, разность которых делится на 5.

Решение.

Рассмотрим остатки при делении на 5. Их может быть 5 видов. Чисел 6, значит, среди них найдутся хотя бы два с равными остатками. Их разность разделится на 5.

Задача 12

В строку вписано 5 натуральных последовательных чисел. Докажите, что либо одно из них делится на 5, либо сумма нескольких стоящих рядом чисел делится на 5.

Решение.

При делении на 5 остатки: 0,1,2,3,4. Значит, одно из пяти чисел имеет остаток 0, а значит, делится на 5.

Тема 4. НЕКОТОРЫЕ  ЭВРИСТИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Введение вспомогательной неизвестной

Задача 1

Вычислить наиболее удобным способом

Решение.

Указание:  

Ответ: 9/125.

Задача 2

Вычислить: 2379 × 23782378 – 2378 × 23792379

Решение.

Ввести обозначения 2378 = х. Тогда 2379 = х + 1,  23782378 = 10000 х + х,   23792379 = 10000 (х + 1) + х + 1

Ответ: 0

Задача 3

Вычислить значение выражения

Ответ:

Крайних случаев рассмотрение

Задача 1

Из цифр 1, 2, 3, 4 составили два четырехзначных числа с различными цифрами. Доказать, что ни одно из них не делится на другое.

Решение.

Наибольшее число, которое может быть составлено из цифр 1, 2, 3, 4 при условии, что цифры в записи числа не повторяются, равно 4321, а наименьшее – 1234.

Отсюда, если бы одно из составленных чисел делилось бы на другое, отличное от первого, то в частном получилось бы либо 3, либо 2. Но сумма цифр составленных чисел равна 1 + 2 + 3 + 4 = 10 и не делится на 3, поэтому в частном не может быть 3.

В  частном не может быть и 2, так как при умножении числа, составленного из цифр 1,  2, 3, 4, на 2 получается число, составленное из цифр 2, 4, 6, 8, что противоречит условию. Следовательно, данное в задаче утверждение справедливо.

Задача 2

Вова утверждал, что в этом году будет месяц с пятью воскресеньями и пятью средами. Прав ли он?

Решение

Рассмотрим самый благоприятный, случай в месяце 31 день. Так как 31 = 4 × 7 + 3 и среди трех идущих подряд дней недели не могут быть и воскресенье, и среда, а лишь один из этих дней, то в этом месяце может быть либо 5 воскресений и 4 среды, либо 4 воскресения и 5 сред. Следовательно, Вова не прав.

Задача 3

Расстояние от пункта А  до пункта В 6 км, а от пункта В до пункта С вдвое больше. Может ли расстояние между пунктами А и С быть а) 19 км? б) 6 км? в) 10 км? г) 4 км?

Решение

Наибольшее расстояние, которое может быть между А и С, равно 18 км (в этом случае пункт А расположен между пунктами В и С). Значит, все возможные значения расстояния расположены в пределах от 6 до 18 км.

Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет

Задача 4

Можно ли представить единицу в виде суммы шести дробей с числителем, равным 1, и различными нечетными знаменателями?

Решение

Даже 6 самых больших дробей с нечетными знаменателями дают сумму

0,34 + 0,20 + 0,15 + 0,12 + 0,10 + 0,08 = 0,99 < 1

Ответ: нельзя.

Перебор

Задача 1

Сколько имеется двузначных чисел, у которых а) среди цифр есть хоть одна пятерка? б) цифра десятков меньше цифры единиц? в) цифра десятков больше цифры единиц?

Ответ: а) 18; б) 36; в) 45

Задача 2

Среди трехзначных чисел, выражающих количество изделий, изготовленных каждой из соревнующихся бригад, нет одинаковых, но в каждом из них сумма цифр равна 4. Какое наибольшее число бригад могло быть? Сколько изделий изготовила каждая из них?

Решение

Всего имеется 10 чисел, удовлетворяющих условию: 400, 301, 310, 130, 103, 202, 220, 211, 121, 112, по этому наибольшее число бригад 10.

Ответ: 10.

Задача 3

Найдите двузначное число, у которого произведение цифр равно наибольшему однозначному числу и числу десятков меньше числа единиц.

Ответ: 19

Задача 4

Количество учащихся одной из школ выражается трехзначным числом. Если найти сумму цифр этого числа, затем сумму цифр полученного числа, то все эти числа можно записать так: АВА, ВС, В, где одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры. Сколько учеников в этой школе?

Ответ: В = 2, ВС = 20,  АВА = 929

Задача 5

Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1 392 цифры. Сколько страниц в этой книге?

Решение.

На нумерацию страниц 1–9 идет по одной цифре, страниц 10-99 – по две цифры, страниц 100-500 – по три цифры, причем 1 × 9 + 2 × 90 + 3 × 401 = 1392. Значит, в книге 9 + 90 + 401 = 500 страниц.

Ответ: 500 страниц.

Задача 6

В числе 48352 зачеркните такие две цифры, чтобы число, образованное оставшимися цифрами в том же порядке, было а) наибольшим, б) наименьшим.

Ответ: а) 852 б) 352.

Задача 7

Расплатившись за купленную книгу, Петя получил сдачу 25 к. Укажите все возможные наборы монет по 2 к. и 3 к., которые мог получить Петя.

Решение.

Монет по 3 коп. должно быть нечетное число. 3 + 2 × 11 = 25, 3 × 3 + 2 × 8 = 25, 5 × 3 + 2 × 5 = 25,     7 × 3 + 2 × 2 = 25. Взять 9 или больше монет по 3 копейки нельзя, так как их сумма будет больше 25 коп. Следовательно, всего возможны 4 набора.

Ответ: 4

Задача 8

Лиса наловила 28 окуней и разложила их в 7 кучек так, что во всех кучках было разное число рыб. Попробуйте и вы так разложить.

Ответ: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

Задача 9

Напишите девять цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Не меняя порядка этих цифр, расставьте между ними плюсы и минусы, всего три знака, таким образом, чтобы в результате получилось 100.

Ответ: 123 – 45 – 67 + 89 = 100

Задача 10

Распределите числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 на две группы так, чтобы сумма двух любых чисел в одной группе не была равна никакому числу второй.

Ответ: 2, 3, 5, 7, 8 и 4, 6.

Контрольный и подтверждающий пример

Задача 1

Верно ли, что если произведение двух натуральных чисел больше 100, то каждое число больше 10?

Ответ: Нет.  Например: 8 × 13 = 104 > 100, но 8 < 10

Задача 2

Можно ли число 45 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение всех этих чисел тоже было равно 45?

Ответ: Да, можно. Например: 45 = 15 + 3 + 1 + 1 + … + 1 = 15 × 3 × 1 × 1 × … × 1. 27 единиц

Задача 3

Можно ли число 64 представить в виде суммы трех простых чисел?

Ответ: Да, можно. Например: 64 = 19 + 43 + 2

Задача 4

Может ли произведение двух дробных чисел быть целым числом?

Ответ: Да. Например:  3/4 * 8/3 = 2.

Задача 5

Можно ли написать подряд 17 целых чисел так, чтобы произведение любых четырех соседних чисел было отрицательно, а произведение всех чисел положительно?

Ответ: Да, можно. Например: 2, 2, 2, -3, 2, 2, 2, -3, 2, 2, 2, -3, 2, 2, 2, -3, 2.

Перефразирование

Задача 1

Во сколько раз больше число, выраженное девятью единицами шестого разряда, чем число, выраженное тремя единицами второго разряда?

Ответ: в 30 000 раз.

Задача 2

За кухонный гарнитур заплатили сначала 41600 рублей, а затем еще половину стоимости этого гарнитура. Сколько стоит кухонный гарнитур?

Решение.

Перефразируем задачу так: «Какова стоимость кухонного гарнитура, если ее половина равна 41600 рублей?»

Ответ: 83200 рублей.

Задача 3

Один из двух множителей равен 12. Как изменится произведение, если второй множитель увеличить на 5?

Решение.

Перефразируем задачу так: «Что больше и на сколько 12а или 12*(а+5)?»

Ответ: увеличится на 60.

Задача 4

Ученики одного класса в течении 7 месяцев собирали деньги для поездки на экскурсию. Было собрано 640 р. 1 к. Сколько учеников было в классе и сколько каждый вносил ежемесячно, если эти взносы были одинаковыми?

Решение

Так как каждый месяц учащиеся вносили 64 001 : 7 = 9 143 коп, то число 9 143 является произведением числа учеников класса на ежемесячный взнос. Существуют лишь  две возможности представления числа 9 143 в виде произведения натуральных чисел: 9 143 = 9 143 × 1 и 9 143 = 223 × 41. Исходя из условия задачи, получаем, что в классе 41 ученик и каждый вносил ежемесячно 2 р. 23 к.

Задача 5

Семь рыбаков ловили рыбу на озере. Первый рыбачил каждый день, второй – через день, третий – через 2 дня и т.д., седьмой – через 6 дней. Сегодня все рыбаки на озере. Через сколько дней все 7 рыбаков снова соберутся вместе на озере?

Ответ: 420 дней.

Прием получения следствий

Задача 1

При сложении нескольких чисел ученик допустил ошибку: цифру единиц 3 он принял за 8, цифру десятков 7 принял за 4, а цифру тысяч 6 за 5. В сумме получилось 16054. Найти верную сумму.

Ответ: 17 079

Задача 2

Сколько всего прапрабабушек и прапрадедушек было у всех Ваших прапрабабушек и прапрадедушек?

Решение

Так как у каждого человека было 8 прапрабабушек и 8 прапрадедушек, а у каждого из этих 16 человек так же было по 16 прямых предков в «четвертом колене», то искомое число равно

16 × 16 = 256.

Ответ: 256.

Задача 3

Делимое в 6 раз больше делителя, а делитель в 6 раз больше частного. Чему равны делимое, делитель и частное?

Решение

Делимое в 6 раз больше делителя означает, что частное равно 6. Отсюда, если частное равно 6, а делитель в 6 раз больше частного, то делитель равен 36. Окончательно получаем, что делимое равно 36 × 6 = 216.

Ответ: 216.

Задача 4

Жили дед и баба. Была у них курочка Ряба. Курочка несет каждое второе яичко простое, а каждое третье – золотое. Может ли такое быть?

Ответ: нет. Шестое яичко будет и вторым, и третьим, так как 6 : 2 и 6 : 3.

Задача 5

Половина – треть некоторого числа. Какое это число?

Решение.

Если треть числа – это 1/2, то само число равно 3 * 1/2 = 3/2.

Ответ: 3/2.

Задача 6

Если четверть 20 равна 4, то сколько будет треть от 10?

Решение.

Четверть 20 равна 5, но согласно условию задачи, числу 5 соответствует число 4. Треть 10 – это 10/3, но ему будет соответствовать число 4/5 * 10/3 = 8/3.

Ответ: 8/3.

Тема 5. ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ

Задачи на разрезание и подсчет числа фигур  

Задача 1

Разделите квадрат 5 * 5  клеток с вырезанной центральной клеткой на четыре равные части. Найдите как можно больше способов. Разрезать можно только по сторонам квадратов.

Решение.

Так как всего в квадрате остается 24 клетки, а надо разделить исходную фигуру на четыре равные части, то каждая из частей будет содержать по 6 клеток. Рассмотрим, какие фигуры можно получить из 6 клеток (рис.).

Располагая по-разному выделенные нами фигуры в квадрате 5 *  5, получим следующие 7 способов (они показаны на рис.).

Задача 2

Можно ли прямоугольник 35х23 клетки разрезать без остатка на прямоугольники размером 8х9? Если можно, то как? Если нет, то почему?

Ответ: Нет, так как число 23 нельзя представить в виде суммы пятерок и семерок.

Задача 3.

Прямоугольник разрезали по ломаной линии, состоящей из трех равных отрезков. Начало разреза в точке  А   (рис.).

Получили две равные фигуры. Как это сделали?

                                                                А

Решение.

Вариант разрезания показан на рис.

Задача 4      

Как разрезать квадрат 4*4 прямыми линиями так, чтобы из полученных частей можно было составить 32 равных квадрата? Не разрешается оставлять неиспользованные части, а также накладывать их друг на друга.

Решение.

Сначала квадрат 4*4 разрежем на 16 квадратов 1*1, затем каждый из полученных квадратов разрежем по диагонали на 4 треугольника, из которых, прикладывая большие стороны 2-х треугольников  друг к другу, можно получить по 2 квадрата  (рис.).

Задача 5

Как разрезать квадрат 5*5 на 7 прямоугольников, среди которых нет одинаковых?

Решение.

Пример решения на рис.

Задача 6

Разрежьте квадрат 5*5 на 10 одинаковых четырехугольников, не являющихся прямоугольниками.

Решение.

Сначала разрежем квадрат на 5 прямоугольников размером 1*5. Затем каждый такой прямоугольник разрежем по диагонали среднего квадратика (рис.).

Задача 7

Разрежьте каждую из фигур на три равные части (рис ). Резать можно только по сторонам клеточек. Части должны быть равными и по площади, и по форме.

Решение.

 Способы разрезания показаны на рис.

        а        б

Задача 8

Разрежьте фигуру на 2 равные части (рис.).

Решение.

 См. рис

Задача 9

Разрежьте фигуру, полученную из квадрата 7*7 вырезанием четырех угловых клеток 1*1 (рис.1 ), на уголки вида

(уголки состоят из квадратиков размера 1*1) так, чтобы квадратики, отмеченные на рисунке, оказались только в больших уголках.

                                      Рис.1

Решение.

Пример разрезания показан на рис.

Задача 10

Разрежьте квадрат на три части, из которых можно было бы сложить треугольник с тремя острыми углами и различными сторонами.

Решение.

Решение задачи представлено на рис., где ABCD – исходный квадрат, а AKD – полученный треугольник.

Задача 11

 Сколько треугольников изображено на рис.?

Решение.

 Подсчет треугольников начнем с тех треугольников, которые не разбиты на другие треугольники. Таких треугольников будет по 3 в каждом квадрате, то есть 6.

Теперь посчитаем число треугольников, состоящих из 2 треугольников. В каждом квадрате таких треугольников будет по 3, итого их 6. Теперь посчитаем число треугольников, состоящих из 3 фигур (2-х треугольников и 1 четырехугольника), всего их будет 2. И наконец, подсчитаем число треугольников, содержащих по 4 фигуры: это будет 2 самых больших треугольника, получающихся от деления прямоугольника на 2 части. Таким образом, всего получается 16 треугольников.

Задача 12

 Рост Буратино 1 метр, а длина его носа раньше была 9 сантиметров. Каждый раз, когда Буратино врал, длина его носа удваивалась. Как только нос стал длиннее самого Буратино, тот врать прекратил. Сколько раз Буратино соврал?

Ответ: Буратино соврал 4 раза.

Задача 13

 На рис.  изображено 13 точек. Сколько квадратов с вершинами в этих точках можно нарисовать? (Точки располагаются в вершинах квадратиков со стороной 1).

Ответ: 11 (см. рис.).

Задача 14

 Из 26 спичек длиной по 5 см сложили прямоугольник наибольшей площади. Чему равна его площадь?

Решение.

   Использовать перебор, наибольшая площадь будет у прямоугольника, стороны которого состоят из 6 и 7 спичек.

Ответ:  1050 см2 

Задача 15

 У Коли есть фанерный прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см и карандаш. Разрешается прикладывать прямоугольник к бумаге и обводить его (полностью или частично) карандашом. Любые другие действия (например, делать пометки на фанере) запрещены. Как Коле, не нарушая запрета, нарисовать квадрат со стороной 1 см? Опишите, что он должен делать и в каком порядке.

Решение.

 Четырежды приложив шаблон, нарисуем прямоугольники размерами 5*6 и 6*5, расположенные, как показано на рис. Осталось, пользуясь стороной фанерного прямоугольника как линейкой, продолжить их стороны, чтобы в правом верхнем углу образовался квадрат со стороной 1.

Задача 16

 Прямоугольный параллелепипед покрасили со всех сторон и разрезали на 24 единичных кубика. У 12 кубиков оказались покрашены по 2 грани. Каковы размеры параллелепипеда?

Решение.

 Имеется 4 случая разложения числа 24 на 3 множителя: 24=2*2*6=2*3*4=2*1*12=1*1*24. Рассматривая эти случаи, получаем, что параллелепипед имеет размеры 2*3*4.

Ответ: 2 *3* 4.

Задача 17

 Коробка из-под игрушки имеет форму параллелепипеда. Площадь верхней ее грани равна 6 дм2, площадь передней грани – 2,5 дм2, площадь боковой грани – 2,4 дм2. Найдите объем коробки.

Решение.

 Обозначим длину коробки за a, ширину – за b, а высоту – за c. Тогда, учитывая условие, получим, что ab = 6, ac = 2,5, bc = 2,4. Перемножив эти три равенства, получим, что

a2b2c2 = 36.

Но a2b2c2 = (abc)2 – квадрат объема коробки. Поэтому объем коробки равен 6 дм3.

Ответ: 6

Задача 18  

 Из 18 одинаковых кубиков сложили прямоугольный параллелепипед высотой в три кубика. Найдите площадь поверхности параллелепипеда, если площадь поверхности одного кубика равна 19 см2.

Решение.

 Возможны 2 варианта параллелепипеда, построенного из 18 кубиков высотой в 3 кубика: 3*3*2 и 3*6*1. Площади поверхности этих параллелепипедов будут равны 42 и 54 площадей одной грани. Учитывая, что площадь грани равна 19/6 см2, получим площади поверхности для построенных параллелепипедов: 133 см2 и 171 см2.

Ответ: 133, 171.

Задача 19

 Как разделить круг тремя прямыми на 4, 5, 6, 7 частей?

Решение.

  См. рис.

Задача 20

 Разбейте квадрат на 5 треугольников таким образом, чтобы площадь одного из них равнялась сумме площадей остальных треугольников.

Решение.

 Возможное разбиение приведено на рис.

Задача 21

 Тетрадный лист бумаги сложили пополам 5 раз, каждый раз меняя направление сгиба. Затем отрезали от полученного прямоугольника 4 угла и лист развернули. Сколько дырок внутри листа оказалось?

Решение.

 После первого разворачивания дырок внутри не будет, после второго разворачивания окажется одна дырка в середине. Развернув третий раз, мы получим уже 3 дырки, а после четвертого – уже 9. Таким образом, развернув лист последний раз, мы получим 21 дырку.

Ответ: 21.

Задача 22

 Расположите изображенные на рис.  два острых угла таким образом, чтобы образовались четыре тупых угла.

Решение.

 На рис.  углы AOC, AOD, BOC, BOD – тупые.

Задача 23

Расположите четыре прямые таким образом, чтобы образовалось 16 прямых углов.

Решение.

Решение на рис.

Задача 24

Сколько треугольников на рис.?

Решение

Начнем с самых маленьких треугольников: их 8. Треугольников площадью в 2 раза больше – 14. Треугольников площадью в 3 раза больше самого маленького треугольника – 4 (они прямоугольные). Наконец, самых больших треугольников – 2. Итого, всего 28 треугольников.

Ответ: 28.

 Задача 25

 Сколько различных по величине углов изображено на рис.?

Ответ: 8 углов: 10°, 20°, 30°, 50°, 60°, 80°, 100°, 110°.

Задача 26

Изображенные на рис.  фигуры 1, 2, 3 и 4 являются квадратами. При этом периметр первой фигуры равен 16 см. периметр второй – 24 см. Найдите периметр фигуры

Решение

Так как периметр первой фигуры равен 16 см, то сторона первого квадрата равна 4 см. Соответственно, сторона второго квадрата будет равна 6 см. Тогда сторона третьего квадрата будет 10 см, а сторона четвертого

10 + 6 = 16 (см).

А это означает, что периметр четвертой фигуры равен  64 см.

Ответ: 64.

Задача 27

Диагональ делит четырехугольник с периметром 26 см на два треугольника с периметрами 22 см и 18 см. Найдите длину этой диагонали.

Решение.

Сумма периметров треугольников дает в итоге сумму периметра четырехугольника и удвоенную длину диагонали. Тогда длина диагонали равна ((22 + 18) – 26) : 2 = 7 (см).

Ответ: 7.

Задача 28

Прямоугольник состоит из двух одинаковых квадратов, имеющих общую сторону. Его периметр равен 18 см. Найдите площадь прямоугольника.

Решение.

Как видно из рис., периметр прямоугольника складывается из 6 сторон квадрата, поэтому его сторона равна 18 : 6 = 3 (см).

Тогда площадь квадрата будет равна 9 см2, а площадь прямоугольника 18 см2.

Ответ: 18.

Задача 29

Сколько треугольников на рис.?

Решение.

13 треугольников: 6 – маленьких, 4 – состоят из 2 маленьких треугольников, 2 прямоугольных – состоят из 3 треугольников, 1 – большой, включающий в себя 6 маленьких треугольников.

Ответ: 13.

Задача 30

От каждой вершины деревянного куба отпилили по одинаковому кусочку так, что место спила имеет форму треугольника. Сколько вершин и сколько ребер у получившегося тела?

Ответ: 24 вершины и 36 ребер

Задача 31

 Разрежьте прямоугольник на 3 треугольника таким образом, чтобы среди полученных треугольников лишь 1 был прямоугольный.

Решение.

 См. рис.

Задача 32

Может ли прямая пересечь все стороны 13-угольника ровно по 1 разу (не проходя через вершины)

Решение.

Если мы будем двигаться по прямой, не проходящей через вершины, то мы войдем внутрь многоугольника столько же раз, сколько выйдем из него. Общее число пересеченных сторон будет четным. Всего сторон 13, значит, прямая пересечет не все стороны.

Ответ: не может.

6 класс

Задача 1

 Длина ребра куба – 0,5 м. Этот куб разрезали на кубики, длина ребра каждого из которых равна 2 мм. Затем кубики уложили в один сплошной ряд. Чему равна его длина?

Решение.

 Так как 0,5 м = 50 см = 500 мм, то грань можно разрезать на 500 : 2 = 250 (частей). Разрезав, таким образом куб в трех плоскостях, получим 250 * 250 * 250 = 15 625 000. Так как длина ребра кубика равна 2 мм, то длина ряда будет 15 625 000 * 2 мм = 31 250 000 мм = 31,25 км.

Ответ: 31,25 км.

Задача 2

Участок, засаженный клубникой, имеет форму прямоугольника, длина которого в 3 раза больше ширины. Участок окружен оградой, которая отстоит от сторон участка на 2 м. Площадь, ограниченная оградой, на 128 м2 больше площади самого участка. Определите длину ограды.

Решение.

 Рассмотрим арифметический способ решения задачи. Пусть ABCD – участок под клубникой, AB = х,  BD = 3х (рис. ).