материалы для урока по математике 6 класс
методическая разработка по алгебре (6 класс) на тему

Ведущей          линией      учебника     А.Г.Мордковича    (издательство «Мнемозина»)   является   функционально-графическая   линия.  Иррациональные уравнения изучаются в 8 классе на очень примитивном уровне.

 При этом иррациональные уравнения изучаются до введения иррациональных чисел, что, по-моему мнению, не совсем удобно.

В учебнике и задачнике для 10 – 11 классов содержится глава, посвященная методам решения уравнений. Отдельной темы, содержащей изучение только иррациональные уравнения нет.

А решение иррациональных уравнений зачастую вызывает затруднения, так как  требуют хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций.

У многих учеников единственным устойчивым знанием является применение метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Для некоторых этот метод является единственным.

При этом иногда ученики забывают делать проверку найденных корней после возведения частей уравнения в чётную степень корня.

Все высвеченные проблемы подвели меня к мысли, что необходимо уделить больше внимания вопросу изучения иррациональных уравнений и рассмотреть более глубоко этот материал на уроках математики.

Урок в 11 классе по теме:

«Некоторые способы решения иррациональных уравнений»

Цитата урока: (выписана на доске)

«Знание только тогда – знание, когда оно добыто усилием собственной мысли, а не памятью» - слова Л.Н. Толстого.

Цель:

• обобщение знаний учеников по данной теме;
•  демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений;
• показ возможности решения  иррациональных уравнений на основе исследования;
• формирование навыка самообразования, самоорганизации, умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;
• воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и умения общаться в группе;
• повышение интереса к предмету.

Форма проведения: семинарское занятие.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

Ход занятия:

Учитель:

Сегодня мы поговорим об иррациональных уравнениях.

На доске приведены примеры уравнений иррациональных и не являющихся иррациональными.  

1)

Назовите те уравнения, которые являются иррациональными.

Дайте определения иррационального уравнения.

Ответы учеников.(иррациональными являются  уравнения 1), 3), 4), 6). Определение иррационального уравнения:

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.)

  I. Учитель:

На предыдущих уроках  мы рассматривали решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в степень корня (в основном в квадрат). При возведении частей уравнения в чётную степень  мы получаем уравнение-следствие, решение которого приводит иногда к появлению посторонних корней. И тогда обязательной частью решения уравнения является проверка корней или нахождение области определения уравнения.

Однако при решении иррациональных  уравнений не всегда следует сразу приступать к «слепому» применению известного алгоритма решения.

В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и другие методы решения иррациональных уравнений, с некоторыми из них  мы сегодня  познакомимся.  

При подготовке к уроку некоторые ученики получили листы-рекомендации, в которых рассматриваются основные приёмы решения иррациональных уравнений. Ребята ознакомились с предложенными решениями и подобрали свои уравнения, решить которые предстоит нам на уроке.

II.Выступление учеников

1 ученик.

 Решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения  в степень корня.

    х +  = 3х – 7

Решим данное уравнение традиционным способом – методом возведения обеих частей в квадрат. Слагаемое, содержащее квадратный корень оставим в левой части уравнения, а х перенесём в правую часть.

 = 2х – 7

Возведём обе части уравнения в квадрат:

 =

Получаем:

х + 4  = 4 – 28х + 49

Перенесём все члены уравнения в одну часть, получаем квадратное уравнение

4 – 29х + 45 = 0

Корни этого уравнения х = 5   и х = 2,25

Решая это уравнение мы возводили обе части уравнения в квадрат. При возведении обеих частей уравнения в любую четную степень получается уравнение, являющееся не равносильное данному, а являющееся следствием исходного, следовательно, при этом возможно появление посторонних корней. Поэтому необходимым условием решения является проверка корней.

Если х = 5, то  = 10 - 7

3 = 3 – верно

х = 5 – корень уравнения

Если х = 2,25, то  = 4,5 - 7

2,5 = - 2,5 – неверно

х = 2,25 посторонний корень

Ответ: х = 5

Предлагаю решить в классе уравнение:   

2 ученик. Решение уравнения методом исследования области определения уравнения.

   Пусть дано уравнение:   -    =  –

Возведение обеих частей в квадрат приведёт нас к громоздким вычислениям и трате времени на экзамене.

Воспользуемся методом исследования области допустимых значений заданного уравнения.

Область допустимых значений данного уравнения определяется системой неравенств      <=>   <=> х=2

Данное уравнение определено только при х = 2.

Проверим, является ли число 2 корнем уравнения:

 -  =  –

5 = 5 – верно.

Ответ: х = 2.

 Попробуйте решить уравнение:         = х - 2

    3 ученик.   Использование свойства монотонности функции.

Я хочу рассказать об уравнениях, решение которых   основывается на  свойстве монотонности функций. Существуют теоремы:

     Теорема 1. Пусть уравнение имеет вид:   f(x) = с, где f(x) –монотонно  возрастающая (убывающая) функция, а с – число, входящее область значений функции f(x), тогда уравнение f(x) = с имеет единственный корень.

Теорема 2. Пусть уравнение имеет вид  f(x)= g(x),  где функции f(x) и g(x)    «встречно монотонны», т.е. f(x)  возрастает, а g(x)  убывает или наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня.

  Если удается заметить эти свойства функций в уравнении или привести уравнение к таким видам, и при этом нетрудно угадать корень уравнения, то он и будет единственным решением данного уравнения.

    Пример для изучения

Пусть  дано  уравнение:       + = 6

  ОДЗ уравнения:  х+60;  х

Функции   =     и  =  являются возрастающими на промежутке [- 6; , поэтому функция у =  + так же является возрастающей на этом промежутке, и следовательно принимает любое значение, в том числе и 6, только один раз. Значит, уравнение имеет единственный корень.

Найдём этот корень подбором.

 х = 2.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем данного уравнения.

Ответ: х = 2.

 Я предлагаю решить на уроке уравнение:

 + = 9 –

Это уравнение можно попытаться решить возведением обеих частей в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени.

Попробуйте использовать свойства монотонности функций, входящих в уравнение.

Ответ: х = 1

4 ученик Метод введения новой перменной.  

Удобным средством решения иррациональных уравнений иногда является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.

Пример для изучения:

Дано уравнение:        +  =

ОДЗ уравнения: х   х

Пусть ,     тогда     

Получаем уравнение t +  =  

 =        = 2

Тогда  

               или      

Возведём обе части уравнения в 5-ю степень. При возведении обеих частей уравнения в нечётную степень получаем уравнение, равносильное данному, следовательно, не требуется проверка найденных корней. Получаем

;  х =                      ;    х = 2

Ответ: х =  ;    х = 2

 В классе я предлагаю решить уравнение:  

5 ученик Метод оценки частей уравнения.

Рассмотрим уравнение: + = 14х -  

Запишем уравнение в виде    +  = -( +49)

 +  = -

Так как левая часть данного уравнения неотрицательная, а

правая - неположительная при любых допустимых значениях x ,

то равенство возможно только в том случае, когда они обе части уравнения

равны нулю. Легко убедиться, что это возможно только при х = 7.

Для решения в классе предлагаю уравнение:  

 +  = 0

III. Работа учеников в группах.

После прослушивания выступающих начинается работа учеников в группах  по решению предложенных уравнений.

Учитель контролирует работу групп, даёт консультации.

IV . Домашнее задание  № 1712 – 1719 (а) стр 253 задачника

V/  Итог урока:  

    рефлексия

Вопросы рефлексии:

Как вы считаете, насколько полезным было проведенное занятие?

Получены ли новые знания и умения?

Кратко опишите, какие моменты занятия вам особенно запомнились.

Каких моментов занятия вам хотелось бы избежать?

Какие трудности вы испытали при изучении материала, при ответе на вопросы, в ходе решения заданий? Сумели ли вы их преодолеть? Если да, то как?

Опишите свои впечатления от проведенного занятия. Хотели бы вы в будущем принимать участие в таких занятиях?

Тест  по теме « Тела Вращения»

Вариант 1

Тест по теме « Тела Вращения»

Вариант 2

Система прикладных задач по теме

« Объемы тел и многогранников» .11 класс.

1. Объем жидкости в цилиндрической цистерне можно измерить с помощью вертикального прута. Как?
2. Классные помещения должны быть рассчитаны так, чтобы на одного учащегося пришлось не менее 6м³ воздуха. Какое количество человек может находиться в кабинете математики по нормам Сан Пи? Можно ли в класс , имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 8,3 м х 6,25м х3,6м , вместить 30 человек не нарушая санитарной нормы?
3. Найдите вместимость сарая прямоугольной формы с двускатной крышей и прямым углом между стропилами( см.рисунок) , если длина сарая а= 12,5м,  ширина в=7,6м,  высота стен с =7,3м.
4. Суточное выпадение осадков составило 15 мм. Сколько воды могло бы выпасть на круглую клумбу, диаметр которой равен 8 м?
5. Коническая куча зерна имеет высоту 2,4 м, а окружность основания 20м. Сколько тонн зерна в куче, если масса 1м³ равна 750 кг?
6. Высота домика, имеющего форму пирамиды, на садовом  участке равна 8 м. на расстоянии 3м от вершины параллельно основанию сделан потолок. Площадь его равна 27м². найдите объем  домика.

7.   Щебень укладывается  в  кучу,  имеющую форму  конуса  с углом  откоса  30°.  Какой  высоты должна  быть  куча,  чтобы  ее объем был равен 10 м3?

8.   Образующая конуса рожка мороженого  равна 16 см, а угол при вершине осевого сечения равен 30°. Найдите объем мороженого в рожеке, без верхушки .

9. Сколько нужно рабочих для переноса дубовой балки размером 6,5 м х30см х 4,5 дм? Каждый рабочий может поднять в среднем 80 кг. Плотность дуба считать равной 800 кг/м3.

10.  Свинцовый брусок массой 18 кг имеет форму прямой призмы, высота которой 30 см. Основанием призмы является равнобокая трапеция, параллельные стороны которой равны 3,5 и 11,5 см, а боковая сторона 8,5 см. Узнайте, имеются ли внутри бруска пустоты или же он сплошной. Плотность свинца 11,3 х 103 кг/м3.

11. При постройке городского водопровода длиной 1 км были использованы трубы диаметром 60 см. Определите объем земли, подлежащей вывозу при прокладке водопровода.

12. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Длина его 0,8м,  ширина 37,5 см. Он должен вмещать 0,18 м3. Найдите высоту аквариума.

13. При рытье колодца, имеющего форму правильной восьмиугольной призмы со стороной основания а = 6 дм, было вынуто 25 т земли (плотность земли 1,8х 103 кг/м3). Найдите глубину колодца.

14. Определите вместимость зернового элеватора, имеющего 40 резервуаров. Размеры резервуаров: высота 30 м, диаметр 10 м. Объемная масса зерна 0,8 т.

15. Сосуд имеет вид усеченного конуса, высота которого 27 см и длины окружностей оснований равны 66 и 96 см. Сколько литров вмещает сосуд?

16. Бак прямоугольного сечения 3,2 м х 1,2 м вмещает 9000 л воды. Сколько квадратных метров оцинкованного железа пошло на его изготовление?

17. Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два водяных цилиндра. Размеры каждого цилиндра: ход поршня 150 мм, диаметр 80 мм. Определите часовую подачу этого насоса, если известно, что каждый поршень делает 50 рабочих ходов в минуту.

18. 25  м  медной   проволоки  имеют  массу   100,7  г.  Найдите диаметр проволоки, если плотность меди 8,9 г/см3.

19.  Найдите объем шахтного отвода диаметром 8 м, если его глубина 500 м.

20.   В цилиндрический сосуд, внутренний диаметр которого 20 см , опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 12 см. Чему равен объем детали?

21.  Развертка боковой поверхности бочки , в форме цилиндра — квадрат со стороной 1,8 дм. Найдите объем бочки.

22.  Длины двух круглых бревен равны, а их диаметры относятся как 2 : 3. Как относятся их объемы?

23.  В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 дм. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 2 раза больше первого?

24.  Сколько метров стальной проволоки в мотке, если его масса  30  кг,  а  диаметр   проволоки  6   мм?   Плотность  стали 7600 кг/м3.

25.  Железобетонная панель имеет размеры 600 х 120 х  22 см. По всей ее длине — 6 цилиндрических отверстий, диаметры которых 14 см. Найдите массу панели, если плотность материала 2,5 т/м3.

26.  Сколько тонн стальных труб пошло на сооружение газопровода Уренгой — Помары — Ужгород длиной 4451 км, если его внешний диаметр 1420 мм, а толщина трубы 22 мм? Плотность стали 7600 кг/м3.

27.  Сколько квадратных метров бумаги в рулоне, высота которого 85 см, а радиусы 45 см и 2 см? Толщина бумаги 0,1 мм. 

28.Найдите объем двухметрового прута, форма и размеры сечения которого (в мм) изображены на рисунке

29.  Свинцовый конус, высота которого 18 см, переплавили в цилиндр такого же основания. Найдите высоту цилиндра.

30.  Куча щебня имеет форму конуса, образующая которого 4 м. Найдите ее объем, если угол естественного укоса (угол наклона образующей к плоскости основания)  для щебня 30°.

31.  Имеется два конуса одинакового зерна, один вдвое выше второго. Во сколько раз в первом конусе больше зерна, чем во втором?