Материалы по подготовке к ОГЭ - 2022 Модуль "Алгебра" (задача 13)
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (9 класс)

«ПАЛАТКА. ОТДЫХ»

ПРАКТИКО – ОРИЕНТИРОВАННЫЙ МОДУЛЬ

Петр с сыном в пятницу вечером приехали в гости к дедушке и бабушке в село Сосновка, обозначенное цифрой 3. Петр обещал родителям сначала помочь собрать вишню, которая уже созрела, а затем показать сыну любимые с детства места в окрестностях Сосновки. Петр с сыном еще дома разработали маршрут, представленный на схеме, сторона клетки соответствует 2 км. В субботу удалось выехать из Сосновки в 10 часов утра и сразу отправиться на северо-восток в заказник, обозначенный цифрой 1, который находится в лесу. Чтобы в него попасть, через 20 км от Сосновки сразу за указателем автомобиль свернул на юго-восток, въехал в лес и по лесной дороге доехал до самого заказника. После посещения заказника по той же дороге автомобиль возвратился к указателю и продолжил путь к деревне Медовка. Из Медовки Петр с сыном вместо того, чтобы отправиться в Большую Сосновку (цифра 4 на схеме), по ошибке поехали в Малую Сосновку, зато они побывали на пасеке, где купили банку майского меда. После они вернулись в Медовку, а оттуда отправились в Большую Сосновку. Из Большой Сосновки пешком Петр с сыном отправились к скалам, где понаблюдали за альпинистами, искупались в реке, позагорали, а потом вернулись в Сосновку.

ЗАДАНИЕ 1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в ответе запишите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

РЕШЕНИЕ:

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в ответе запишите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

При прочтении задачи выясняется, что

3 - Сосновка;         1 – Заказник;                      8 - Лес;                                     5 - Указатель;

6 - Медовка;          7 - Малая Сосновка;          4 - Большая Сосновка;           2 - Скалы.

Ответ: 5862.

ЗАДАНИЕ 2. Из 5 кг вишни бабушка сварила варенье. Она будет разливать его в поллитровые банки. Сколько банок должна подготовить бабушка, если из одного килограмма вишни получается 1,3 л варенья?

РЕШЕНИЕ:

Если из 1 кг вишни получается 1,3 л варенья, то из 5 кг получится

5 · 1,3 = 6,5 л варенья.

В одну банку помещается 0,5 л варенья (т.к. банки поллитровые), значит, банок потребуется

6,5 : 0,5 = 65 : 5 = 13 штук.

Ответ: 13.

ЗАДАНИЕ 3. Найдите площадь, которую занимает лес (вместе с заказником). Ответ дайте в квадратных метрах.

РЕШЕНИЕ:

      Лес с заказником имеет форму неправильного многоугольника, поэтому разделим его на 2 фигуры: прямоугольную трапецию и прямоугольный треугольник.

Для того, чтобы найти площадь трапеции, надо полусумму оснований умножить на высоту (основания и высота выделены желтым цветом).

Для того, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, надо произведение катетов разделить на 2 (катеты выделены красным цветом).

Найти длины нужных нам отрезков не сложно, зная, что сторона одной клетки равна 2 км.

Найдем площади:

Значит, площадь всего леса вместе с заказником равна

110 + 24 = 134 км2.                                           Ответ: 134.

ЗАДАНИЕ 4.  Найдите расстояние, которое проехал автомобиль по лесной дороге. Ответ дайте в километрах.

РЕШЕНИЕ:

Лесная дорога отмечена на плане пунктирной линией. Достроим ее до прямоугольного треугольника.

По теореме Пифагора найдем длину L лесной дороги.

L2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100;

L = √100 = 10.                                                   Ответ: 10.

ЗАДАНИЕ 5. По дороге домой в автомобиле спустило колесо. В шиномонтажной мастерской стало понятно, что шина ремонту не подлежит. Петр позвонил в два магазина, чтобы принять решение о покупке шины, а заодно приобрести 2 лампочки для фар и четырехлитровую канистру машинного масла. Цены на товары приведены в таблице.

    И в магазин "Автолюбитель", и в магазин "Скорость" шина поступит в продажу в течение 3-х дней после заказа. В магазине "Автолюбитель" заказ будет принят, если внесена предоплата наличными деньгами. Время работы обоих магазинов совпадает с рабочим временем Петра, поэтому при обращении в магазин "Скорость" он потеряет в зарплате 3 000 рублей, а при обращении в магазин "Автолюбитель" - 1 800 рублей при внесении предоплаты и 1 800 рублей при получении заказа.

    На сколько рублей будут отличаться затраты при обращении в эти магазины с учетом потерянного рабочего времени?

РЕШЕНИЕ:

У Петра уменьшение средств происходит не только из-за трат в магазине, но и с вычетом денег из зарплаты. Подсчитаем, сколько денег он потеряет, если "затарится" в магазине "Автолюбитель". 5 000 + 1 899 + 895 · 2 + 1 800 + 1 800 = 12 289 рублей.

Теперь подсчитаем, сколько денег Петр потеряет, если купит всё необходимое в магазине "Скорость". 7 000 + 1 699 + 920 · 2 + 3 000 = 13 539 рублей.

И напоследок, ответим на вопрос задачи: на сколько рублей будут отличаться затраты при обращении в эти магазины?    13 539 - 12 289 = 1 250 рублей.                      Ответ: 1250.

«ПЛАН КВАРТИРЫ»

ПРАКТИКО – ОРИЕНТИРОВАННЫЙ МОДУЛЬ

Можно на план сразу добавить дополнительную информацию: площадь одной клетки 0,16 кв. м. Находим её по формуле площади квадрата   S = 0.4 ∙ 0.4 = 0.16

РЕШЕНИЕ:

Внимательно читаем описание под картинкой. Главное определиться со входом :-) Так что, определяем условное обозначение двери и находим вход на внешней стене квартиры. Заходим в коридор. Итак, коридор – 2. Слева от входа санузел – 1, а в противоположном конце коридора находится кладовая – 3. Рядом с кладовой спальня – 4, из которой есть вход в лоджию – 5. Самое большое помещение – гостиная – 6, из которой можно попасть на кухню – 7. Из кухни есть выход ещё на одну лоджию – 8.                               Ответ: 2346

РЕШЕНИЕ:

Почему-то это самое трудное задание в данной теме для учеников. Попробуем разобраться. Прежде чем искать количество упаковок, давайте узнаем, сколько плитки нам потребуется для пола в санузле. Что можно заметить в нашей задаче? Размер клетки плана 0,4 м ˟ 0,4 м. Размер плитки 40 см ˟ 40 см = 0,4 м ˟ 0,4 м. Тогда можно просто посчитать количество клеток, т.к. размеры совпадают. Значит, нам потребуется 30 плиток.

В упаковке 12 штук, следовательно 30 : 12 = 2 (ост. 6) Остаток показывает, что если мы купим 2 упаковки, то нам не хватит 6 плиток, дробное число упаковок нам никто не продаст, поэтому придется купить 3 упаковки.

Можете проверить себя: в 3-х упаковках 3 ∙ 12 = 36. Точно хватит.                           Ответ: 3

РЕШЕНИЕ:

Из предыдущей задачи мы знаем, что санузел занимает 30 клеток. Площадь одной клетки 0,16 кв. м. Тогда площадь равна: 30 ∙ 0,16 = 4,8 кв. м                                                Ответ: 4,8

РЕШЕНИЕ:

В задаче сравниваются площади коридора и кладовой в процентах. Предлагаю составить пропорцию. Напомню, за 100% обозначаем то, с ЧЕМ сравниваем!

Площадь коридора больше, ЧЕМ площадь кладовой, следовательно, получим:

Кладовая 20 кл. – 100%

Коридор 125 кл. – х %

Коридор 625%, кладовая 100%, следовательно, 625 – 100 = 525. Коридор больше кладовой на 525%. 

Совет. Используем основное свойство пропорции, решаем накрест: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.

Ответ: 525

РЕШЕНИЕ:

Это самая лёгкая пятая задача. Её решают даже все двоечники. Находим все строки таблицы, где тип загрузки «верт.» и габариты (высота – первое число) «85». Таких машинок у нас две: А и К.

Считаем их стоимость с подключением. Доставка у обеих бесплатная.

А) 28000 + 1700 = 29700

К) 27000 + 1800 = 28800

Дешевле машинка К, её стоимость 28800 рублей.

Ответ: 28800

«ПЛАН ТРЕХКОМНАТНОЙ КВАРТИРЫ»

ПРАКТИКО – ОРИЕНТИРОВАННЫЙ МОДУЛЬ

Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1 – 5. На рисунке изображен план трехкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме.

ЗАДАНИЕ 1

РЕШЕНИЕ:

Из текста описания к задаче ясно, что детская комната на плане обозначена цифрой 2. Гостиная (5) расположена напротив спальни (7), а кухня (4) напротив детской. Прихожая на плане трехкомнатной квартиры обозначена цифрой 3.                                    Ответ: 25437.

ЗАДАНИЕ 2.

Найдите длину остекления лоджии в спальне. Ответ дайте в метрах.

РЕШЕНИЕ:

Длина лоджии в спальне на плане равна 7 клеткам. Длина одной клетки составляет 0,5 м. 0,5 * 7 = 3,5 (м).                                                                                                         Ответ: 3,5 м.

ЗАДАНИЕ 3

РЕШЕНИЕ:

Найдем площадь пола в гостиной. 7 * 12 * 0,5 * 0,5 = 21(кв. м)

Площадь одной паркетной доски. 100 * 25 = 2500(кв. см) = 0,25(кв. м).

21 : 0,25 = 84 (шт.) плитки нужно, чтобы выложить пол в гостиной.

84 : 5 = 16,8. Нужно 17 упаковок паркетной доски.                                                   Ответ: 17.

ЗАДАНИЕ 4.

Найдите площадь, которую занимает прихожая. Ответ дайте в квадратных метрах.

РЕШЕНИЕ:

На рисунке, изображенного в описании к задаче, плана трехкомнатной квартиры прихожая обозначена цифрой 3. Найдем площадь прихожей, для этого подсчитаем количество клеток, то есть 11 * 9 = 99.

Площадь одной клетки составляет: 0,5 * 0,5 = 0,25 (кв. м).

Площадь гостиной равна: 99 * 0,25 = 24,75 (кв. м).                                              Ответ: 24,75.

ЗАДАНИЕ 5.

На сколько процентов площадь спальни (без лоджии) меньше площади кухни?

РЕШЕНИЕ:

Решаем данную задачу с помощью пропорции.

Для этого найдем площади спальни и кухни. Площадь кухни будем брать за 100%.

• 12 * 6 = 72 – площадь кухни на плане,
• 9 * 7 = 63 – площадь спальни на рисунке.

Составим пропорцию.

72 – 100%

63 – х%

Найдем неизвестный член пропорции.

х = 6300 / 72 = 87,5 (%) – спальня.

100% – 87,5% = 12,5% – на столько процентов спальня меньше кухни.

Ответ: 12,5.

«ПЛАН УЧАСТКА»

ПРАКТИКО – ОРИЕНТИРОВАННЫЙ МОДУЛЬ

На плане изображено домохозяйство по адресу: с. Авдеево, 3-й Поперечный пер., д. 13. Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота… 

При входе на участок напротив ворот находится гараж, а за гаражом – жилой дом.

Площадь, занятая гаражом, равна 54 кв. м.

На газоне имеются круглый бассейн, беседка и ромбовидная клумба.

Беседка отмечена на плане цифрой 4.

При въезде на участок имеется площадка, вымощенная тротуарной плиткой с размером каждой плитки 0,2 м. х 0,2 м и обозначенная на плане цифрой 7.

ЗАДАНИЕ 1.

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк перенесите последовательность четырёх цифр.

РЕШЕНИЕ:

Читаем ещё раз условие задачи. Напротив ворот находится гараж, на схеме – цифра 2. За гаражом отмечен жилой дом ̶ это цифра 1. Клумба имеет форму ромба, значит – цифра 6. И наконец, бассейн, он обозначен цифрой 3, т.к. под номером 4 отмечена беседка.

Ответ: 1236.

ЗАДАНИЕ 2.

Найдите площадь, которую занимает клумба. Ответ дайте в квадратных метрах.

РЕШЕНИЕ:

Площадь ромба можно найти как половину произведения диагоналей. Получим,

                                                                                        Ответ: 12.

ЗАДАНИЕ 3.

Тротуарная плитка продаётся в упаковках по 45 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить площадку перед гаражом?

РЕШЕНИЕ:

Найдём сначала общую площадь, которую необходимо выложить плиткой. Она состоит из двух прямоугольников 8×4 и 9×2. Итак, площадь 32 + 18 = 50 кв. м. Теперь вычислим площадь одной плитки: 0,2×0,2 = 0,04 кв. м. Далее разделим площадь территории перед гаражом на площадь одной плитки:

Таким образом, необходимо 1250 штук плиток. Но плитки продаются только упаковками. Осталось разделить на 45:   Т.к. невозможно купить нецелое число упаковок, то необходимо их купить или 27, или 28. А всё же сколько? Но 27 упаковок не хватит. Тогда придётся купить 28 (это даже к лучшему, оставшиеся плитки пригодятся для замены поврежденных).                                                                                                Ответ: 28.

ЗАДАНИЕ 4.

Во сколько раз площадь бассейна больше площади беседки?

РЕШЕНИЕ:

Бассейн и беседка имеют круглую форму. Напомним, что площадь круга равна . Выясним, какие радиусы имеют бассейн и беседка. По рисунку видно, что радиус бассейна равен 3, а радиус беседки равен 2. Составим и вычислим отношение площадей:                                                                                 Ответ: 2,25.

ЗАДАНИЕ 5.

Хозяин участка хочет обновить газон к новому дачному сезону. Для этого он планирует купить семена газонной травы. Цена одной упаковки семян, её масса и рекомендуемый расход указаны в таблице. Во сколько рублей обойдётся наиболее дешёвый вариант? (Территорию, занятую бассейном и беседкой, засевать не предполагается. Клумбу планируется убрать, и на её место тоже засеять газонную траву. Число возьмите равным 3. Считаем, что все купленные семена - одного сорта).

РЕШЕНИЕ:

Заметим, что масса упаковки семян в задаче ̶ это избыточная информация, никак не влияющая на расход, который зависит от засеваемой площади. Найдём сначала площадь, которую необходимо засеять, по рисунку ̶ это прямоугольник 24×12. Но на газоне расположены бассейн и беседка, и их площади нет необходимости учитывать при расчётах. При этом клумбу планируется тоже засеять травой, значит, её площадь не вычитается. Итак,

Далее произведём расчёты по каждому поставщику в отдельности.

Таким образом, самая дешёвая покупка обойдётся в 2 400 руб.

Ответ: 2400.

«ПОСТРОЕНИЕ ТЕПЛИЦЫ»

ПРАКТИКО – ОРИЕНТИРОВАННЫЙ МОДУЛЬ

ЗАДАНИЕ 1

Какое наименьшее количество дуг нужно заказать, чтобы расстояние между соседними дугами было не более 60 см?

РЕШЕНИЕ:

Длина теплицы составляет 4 м = 400 см. Рассчитаем количество дуг для теплицы, соблюдая условие: расстояние между соседними дугами меньше или равно 60 см. Разделим 400 на 60. Получится 6 дуг и в остатке 40 см. Учитывая две крайние дуги, получается:6 + 2 = 8 (дуг).

Ответ: 8.

ЗАДАНИЕ 2

Сколько упаковок плитки необходимо купить для дорожек между грядками, если она продается в упаковках по 6 штук?

РЕШЕНИЕ:

Из условия задачи имеем, что грядок в теплице планируется 3. Дорожек будет 2. Длина дорожки совпадает с длиной теплицы, то есть 4 м = 400 см. Ширина дорожки – 40 см. Найдем площадь двух дорожек. 2 * 40 * 400 = 32000 (кв. см).

Площадь одной плитки: 20 * 20 = 400 (кв. см).

32000 : 400 = 80 (штук) плиток нужно купить для двух дорожек.

80 : 6 = 13 (остаток 2).

Понадобится 13 + 1 = 14 упаковок плитки.

Ответ: 14.

ЗАДАНИЕ 3 

Найдите ширину теплицы. Ответ дайте в метрах с точностью до десятых.

РЕШЕНИЕ

Дуги для теплицы имеют форму полуокружности. Чтобы найти ширину теплицы, нужно достроить окружность и найти радиус окружности OD.

Ширина теплицы AD является диаметром окружности. AD = 2 * OD.

Длина дуги теплицы равна 5 м и вычисляется по формуле П * OD (это длина полуокружности).

OD = 5 : 3,14 = 1,6 (м).

AD = 2 * OD = 2 * 1,6 = 3,2 (м).

Ответ: 3,2.

ЗАДАНИЕ 4 

Найдите ширину центральной грядки, если она в два раза больше ширины узкой грядки. Ответ дайте в сантиметрах с точностью до десятых.

РЕШЕНИЕ:

Ширина теплицы 3,2 м = 320 см. В теплице есть 2 дорожки по 40 см и три грядки. Пусть ширина узкой грядки х см, тогда широкой грядки – 2х см.

Составим уравнение 2х + х + х + 2 * 40 = 320 и решим его.

4х + 80 = 320,

4х = 320 – 80,

4х = 240,

х = 60 (см) – ширина узкой грядки.

Найдем ширину центральной грядки (широкой). 2х = 2 * 60 = 120 (см).

Ответ: 120.

ЗАДАНИЕ 5

Найдите высоту входа в теплицу. Ответ дайте в сантиметрах.

РЕШЕНИЕ:

Чтобы найти высоту входа в теплицу, нужно рассмотреть прямоугольный треугольник OC1A. Применив теорему Пифагора, вычислим высоту CC1 теплицы.

По условию AB = BO = OC = CD = 320 см : 4 = 80 см.

ОС1 = OD = 160 см – радиусы.

По теореме Пифагора имеем: СС1 = 80√3 см = 136 см.                                 Ответ: 136.

«Постройка теплицы»

Алексей Юрьевич решил построить на дачном участке теплицу длиной NP = 4,5 м. Для этого он сделал прямоугольный фундамент. Для каркаса теплицы Алексей Юрьевич заказывает металлические дуги в форме полуокружностей длиной 5,2 м каждая и плёнку для обтяжки. В передней стенке планируется вход, показанный на рисунке прямоугольником ACDB. Точки A и B — середины отрезков MO и ON соответственно.

Задание 1 

Какое наименьшее количество дуг нужно заказать, чтобы расстояние между соседними дугами было не более 60 см?

Решение.

Переведем 60 см = 0,6 м. Найдем количество дуг: 4,5 : 0,6 = 7,5. Так как промежутков на рисунке два, а дуг — три, имеем 8 + 1 = 9.                                                                            Ответ: 9.

Задание 2 

Найдите примерную ширину MN теплицы в метрах. Число π возьмите равным 3,14. Результат округлите до десятых.

Решение.

Ширина MN представляет собой диаметр окружности. Длина окружности равна 5,2 · 2 = 10,4. Зная о том, что длина окружности может быть вычислена по формуле  имеем  Таким образом, D = 3,3.                          Ответ: 3,3.

Задание 3 

Найдите примерную площадь участка внутри теплицы в квадратных метрах. Ответ округлите до целых.

Решение.

Площадь участка представляет собой прямоугольник. Вычислим площадь: S = 4,5 · 3,3 = 14,85 м2. Округлим до целых: S = 15.                                                                                                Ответ: 15.

Задание 4

Сколько квадратных метров плёнки нужно купить для теплицы с учётом передней и задней стенок, включая дверь? Для крепежа плёнку нужно покупать с запасом 10 %. Число π возьмите равным 3,14. Ответ округлите до целых.

Решение.

Для начала необходимо посчитать площадь крыши теплицы. Крыша представляет собой прямоугольник со сторонами, равными 4,5 м и 5,2 м. Вычислим его площадь: S = 4,5 · 5,2 = 23,4 м2. Передняя и задняя стенка — это два полукруга, то есть вместе они составляют круг. Найдем площадь круга:  Поскольку плёнки надо купить с запасом, прибавляем по 10% к уже имеющимся значениям. Получаем:  Округляя до целых, получаем 35.                            Ответ: 35.

Задание 5 

Найдите примерную высоту входа в теплицу в метрах. Число π возьмите равным 3,14. Ответ округлите до десятых.

Решение.

Треугольник COD — равносторонний. Высота треугольника COD является высотой входа. Воспользуемся формулой высоты равностороннего треугольника:  где a — это сторона треугольника. Таким образом, высота равна:

                                                                                             Ответ: 1,4.